数学知识巧解学案：向量减法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量,记作—a.对相反向量的把握要注意以下几点:(1）a与-a互为相反向量,即—（—a）=a.（2)规定：零向量的相反向量仍是零向量.（3)任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（-a)=（-a)+a=0。又如与互为相反向量,+=0。(4)如果a、b互为相反向量，那么a=-b，b=—a，a+b=0.学法一得向量的减法与加法互为逆运算,有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.二、向量减法1.a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.像这种求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作a—b.2.已知a、b,求作a—b。由(a—b）+b=a+（-b）+b=a+0=a，可知a—b就是这样一个向量,它与b的和等于a。已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a—b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.这是向量减法的几何意义.图2—2—17(2）在定义相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，求作a—b.图2-2—18在平面内任取一点O,作=a，=—b，则由向量加法的平行四边形法则可得=a+(-b）=a—b。即a-b也可看作：从同一点O出发作向量a与-b为邻边作平行四边形，则从公共顶点O出发的对角线所对应的向量与a—b相对应。三、向量的位置与向量的减法1。已知a、b是从同一点出发的两个向量，从a的终点到b的终点作向量,那么所得的向量是b-a.2。当a∥b时，图2—2-19中(1)(2)给出了已知向量a、b，只需在平面上任取一点O，作=a，=b，则即为所求向量a—b.如图2—2—20所示.图2—2-19图2—2—20记忆要诀我们在求两向量a、b的和向量时,常按规律“两向量首尾（起点与终点）相接"求解，求向量a、b的差向量时，常按规律“起点重合,由减数向量的终点指向被减数向量的终点”来求解.四、向量的加、减法与平行四边形ABCD中,若设=a，=b,则两条对角线都可以用a与b表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质。从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线。在平行四边形中，改变一些条件，会得到不同的结论，可以帮助我们进一步加强对向量计算的理解.图2-2—21变式训练1：当a、b满足什么条件时，a+b与a—b垂直?变式训练2:当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a—b|？变式训练3：a+b与a—b可能是相等向量吗?变式训练4：当a与b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角？1。｜a|=|b|，即ABCD为菱形时，对角线互相垂直。2.｜a+b|=|a—b|，即ABCD的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直。3。a+b与a—b不可能相等，因为ABCD的对角线方向不同.4。当|a|=｜b|时，对角线平分a与b所夹的角.典题•热题知识点一向量的减法例1填空：（1）=_________;(2）=_________;(3）=_________；（4)=__________;(5)=___________。思路分析：从同一点出发的两个向量的差与连接两个向量的终点且指向被减数的向量对应。对于向量和的形式，若能利用相反向量转化成从同一点出发的两个向量的差,也可利用减法的几何意义去解.答案：(1）(2)（3)（4)(5）例2化简下列各式：（1）；(2）;(3）；（4）.解：（1）原式=()-()=—=0;(2）原式=（）+（）==;（3）原式=；（4)原式=。知识点二用向量加法与减法的运算求解例3已知向量a、b、c，如图2—2-22所示，求作向量a—b+c.图2—2-22思路分析：在平面内任选一点O，先把a与b的起点移至O点，求a-b，再求(a—b）+c.解:如图2-2-23，在平面上任取一点O，作=a，=b，则BA=a-b。再作=c，并以、为邻边作BADC,则=a-b+c.图2-2—23知识点三向量减法与三角形法则、平行四边形法则例4已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量等于(）A.a+b+cB。a-b+cC.a+b—cD.a—b—c思路分析:如图2-2-24，点O到平行四边形的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，结合图形有=a+b—c。图2-2—24答案：C例5如图2—2—25，已知点D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点，求证:(1)；(2)=0。图2—2-25思路分析：解题的关键，一是利用D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点的条件,二是合理地选取向量加法的三角形法则和平行四边形法则。解:（1)在△ABE中，;在△ACE中，。所以.（2)因为D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、CA的中点,所以四边形ADEF为平行四边形。在平行四边形ADEF中，;①在平行四边形BEFD中,;②在平行四边形CFDE中,。③将①②③式相加得=0.例6已知｜a|=6,｜b|=8，且｜a+b｜=｜a-b｜，求｜a-b｜。图2-2-26思路分析:两个向量不共线，则a、b、a+b、a—b组成一个平行四边形的边与对角线.求模的运算往往与模的平方有关。解：设=a，=b，以AB、AD为邻边作ABCD，则=a+b，=a-b.因为｜a+b|=｜a—b|，所以｜｜=｜|。又四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为矩形.故AD⊥AB.在Rt△DAB中，｜|=6，|｜=8,由勾股定理，得｜｜=。所以｜a+b|=|a-b｜=10。巧解提示：由｜a+b|2+|a—b|2=2(｜a｜2+|b｜2）,据题意，得2|a—b｜2=2（62+82)，即｜a—b|2=100.∴|a-b|=10.问题•探究误区陷阱探究问题求证：对于任意两个向量a、b，都有｜｜a|-｜b||≤|a+b｜≤|a｜+|b|.图2—2—27证明:由于不等式本身有明显的几何意义，故可选用向量的几何意义进行证明.如图2-｜｜｜—｜｜｜<｜|<｜|+｜|，即｜|a|—|b｜|〈｜a+b｜<｜a|+|b｜，当a、b中有一个为零向量时,等号成立，所以||a|—|b｜|≤｜a+b｜≤|a|+｜b｜.同理可证明||a｜-|b｜｜≤|a—b｜≤|a｜+｜b|.探究过程：证明问题时只想到了一般情况，即向量a、b不共线时的情况，共线时只说了一种特殊情况，即其中一个为零向量的情况.探究结论：证明:由于不等式本身有明显的几何意义，故可选用向量的几何意义进行证明。根据向量a、b共线与不共线两种情况讨论.若a、b中有一个为零向量,则不等式显然成立.若a、b都不是零向量,记=a，=b，则=a+b。（1）当a、b不共线时，如图2—2-33所示，则有|||-|｜｜<|｜<｜｜+｜｜，即｜｜a|—｜b||≤|a+b|≤|a｜+｜b｜.（2）当a、b共线时,若a、b同向，如图2-2-28(1）所示,|｜=｜|+||，即|a+b|=|a|+|b｜。（1）（2)图2—2-28若a、b反向，如图2-2-28（2)所示，|｜|—｜｜|=|｜，即｜｜a｜—｜b｜|=|a+b｜。综上可知，｜|a｜—｜b｜|≤|a+b|≤｜a|+｜b|.同理可证明｜｜a|-|b｜｜≤｜a-b|≤｜a｜+|b｜。材料信息探究材料：采访零向量W：你好！零向量.我是《数学天地》的一名记者，为了让在校的高中生更好地了解你，能不能对你进行一次采访呢?零向量:当然可以，我们向量王国随时恭候大家的光临,很乐意接受你的采访，让高中生朋友更加了解我，更好地为他们服务.W：好的，那就开始吧!你的名字有什么特殊的含义吗？零向量：零向量就是长度为零的向量，它与数字0有着密切的联系，所以用0来表示我.W:你与其他向量有什么共同之处呢？零向量：既然我是向量王国的一个成员,就具有向量的基本性质，如既有大小又有方向，在进行加、减法运算时满足交换律和结合律，还定义了与实数的积。W:你有哪些值得骄傲的特殊荣耀呢？零向量：首先，我的方向是不定的，可以与任意的向量平行。其次，我还有其他一些向量所没有的特殊待遇：如我的相反向量仍是零向量；在向量的线性运算中，我与实数0很有相似之处.W：你有如此多的荣耀，那么是否还有烦恼之事呢？零向量：当然有了，在向量王国还有许多“权利和义务”却大有把我排斥在外之意，如平行向量的定义，向量共线定理，两向量夹角的定义都对我进行了限制。所有这些确实给一些高中生带来了很多苦恼,在此我向大家真诚地说一声：对不起，这不是我的错.但我还是很高兴有这次机会与大家见面。W:OK!采访就到这里吧，非常感谢你的合作，再见！零向量：Bye！问题应用零向量时应注意哪些问题?探究过程:零向量是向量，它应具有向量应具有的性质，也具有它本身的特性.所以,在应用零向量时应从它与其他向量的相同之处和不同之处两方面进行考虑。例如,相同之处，它既然是向量就具有向量的两个