数学知识巧解学案：三角函数的诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、公式二（π+α与α的三角函数关系)1。公式sin(π+α)=—sinαcos（π+α)=—cosαtan（π+α)=tanα2。公式二的推导设β∈［0，2π），α∈［0,]，则以下四种情形中有且仅有一种成立。β=α，β∈[0,）或β=π—α,β∈［,π)或β=π+α,β∈［π，)或β=2π—α,β∈［，2π）.在以上四种情形中,π+α的终边可由角α的终边按逆时针方向旋转πrad而得到，即角π+α终边上的点关于原点的对称点一定在角α的终边上.如图1—3—2，不妨设α为任意角，若角α的终边与单位圆交于点P（x,y）,则其反向延长线(即π+α角的终边）与单位圆交于点P′（-x，-y）。图1-3—2由于单位圆的半径是1，即r=1,根据任意角的正弦、余弦函数的定义，可得sinα=y，cosα=x，tanα=;sin(π+α）=-y,cos(π+α）=-x，tan（π+α)=.于是，我们得到公式二.特别地，由于角π+α与角α的终边关于原点对称，故有公式成立.二、公式三(—α与α的三角函数关系）1。公式sin（—α）=—sinαcos(—α)=cosαtan(—α）=—tanα2.公式三的推导由于360°—α角是与—α角的终边相同的角，所以它的同名三角函数值相等，而α与—α是按不同的方向旋转形成的绝对值大小相同的角。显然，α角与-α角的终边关于x轴对称.设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），则角—α的终边与单位圆的交点为P′（x,—y）,如图1—3-3。图1—3-3由于单位圆的半径r=1，根据任意角的正弦、余弦函数的定义,可得sinα=y，cosα=x，tanα=,sin(-α)=-y，cos（-α）=x，tan(—α)=.于是，我们得到公式三.特别地，角-α与角α的终边关于x轴对称，故有公式成立.学法一得因为正、余弦函数的定义域是x∈R,正切函数的定义域是x≠+kπ，k∈Z，它们都关于原点对称。故由该公式可知正弦与正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数.三、公式四(π-α与α的三角函数关系)1.公式sin(π-α)=sinαcos(π—α)=-cosαtan（π-α）=—tanα2.公式四的推导由于sin（π+α)=—sinα，cos（π+α）=—cosα,tan（π+α)=tanα，sin(-α)=-sinα，cos（—α)=cosα，tan（-α)=-tanα，所以sin(π-α）=sin[π+（-α)］=—sin（-α）=sinα，cos(π-α）=cos［π+(—α)］=—cos（-α）=—cosα，tan（π-α)=tan［π+(-α）］=tan(-α）=—tanα.于是，我们得到公式四.特别地，角π—α与角α的终边关于y轴对称，故有公式成立.学法一得两个互为补角的角的正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数.例如，，.四、诱导公式1.公式一、二、三、四都叫做诱导公式，抛去各自的特点，可把它们概括如下:对于α+k·2π（k∈Z），—α,π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，由于把角α视为锐角，所以α+2kπ(k∈Z)，π—α,π+α，—α的函数值应分别按与一、二、三、四象限相对应的符号进行标注。以上四组诱导公式是用弧度制表示的，若采用角度制，写成α+k·360°(k∈Z），—α，180°±α的形式，其规律是一样的.2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤:3.诱导公式的作用:利用上述诱导公式，可对任意角的三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明。记忆要诀根据公式，可将四组诱导公式编成口诀“函数名不变,符号看象限”记忆。五、公式五与公式六1.公式sin（—α)=cosαcos(-α）=sinαsin(+α)=cosαcos（+α)=-sinα2.公式五和公式六可以概括为±α，±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.诱导公式五、六的出现，进一步丰富了三角函数的化简过程，拓宽了三角函数式的化简渠道。对同一三角函数式，使用不同的诱导公式，可以获得不同的解题途径.记忆要诀两套诱导公式可概括为k·±α（k∈Z)的各三角函数值，当k为偶数时,得α的同名函数值，当k为奇数时，得α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，还可编成口诀“奇变偶不变，符号看象限”或“奇余偶同，象限定号”去记忆.典题•热题知识点一公式二的应用例1求下列各式的三角函数值：（1)cos;（2）cos1290°；(3)sin(—480°）.思路分析：先用公式一能把任意角的三角函数值转化成0°到360°角的三角函数值，再借助公式二把180°到270°角的三角函数值转化为求锐角的函数值。解：(1）cos=cos(π+)=—cos=。(2)cos1290°=cos(210°+3×360°)=cos210°=cos(180°+30°）=-cos30°=。(3）sin（—480°)=sin（240°-2×360°)=sin240°=sin（180°+60°）=—sin60°=。方法归纳化简终边落在第三象限的角β的三角函数值的步骤：（1)先把β转化成β=α+2kπ，k∈Z，其中α∈(π，）的形式,根据公式一，把求β的三角函数值就转化成了求α的三角函数值；(2）再把α写成α=π+θ,θ∈（0，）的形式,根据公式二，把求α的三角函数值转化成了求锐角的三角函数值.特别地，若β∈(π,)，可直接按第（2）步进行化简.知识点二公式三的应用例2求下列各式的值.(1）sin(）;（2)cos（—60°）;(3)tan(-750°）.思路分析:可先利用公式三，把负角的三角函数转化成正角的三角函数,再利于诱导公式，把正角的三角函数转化成锐角的三角函数进行求值.解：（1）sin()=—sin=;（2）cos(-60°）=cos60°=；(3）tan(-750°）=-tan750°=—tan（2×360°+30°）=-tan30°=.例3已知tanα=3，求的值。思路分析:先由诱导公式二、三进行化简，再把齐次弦函数式转化成切函数的形式求解，或直接利于同角的三角函数的基本关系式进行求解。解：原式=。∵tanα=3，∴α是第一、三象限的角.当α是第一象限角时,cosα=，sinα=cosα·tanα=。∴原式=。当α是第三象限角时,同理,可得原式=.综上可知，所求代数式的值为.巧解提示：∵tanα=3，∴cosα≠0.∴原式=。方法归纳已知α的切函数值,求与α有关的弦函数式的值①可考虑用同角的三角函数的基本关系式进行求值,但要注意角α所在的象限;②若弦函数式是一齐次式，可将齐次式的分子、分母同除以一个齐次项进行化简，但要保证所除因式不为零。例4判断下列函数的奇偶性：(1）f（x）=1-cosx；(2）g（x）=x—sinx;（3)h（x）=x2-tanx。思路分析：要判断函数的奇偶性,一看函数的定义域是否关于原点对称，二看f（-x）与f(x)的关系.解：(1)函数的定义域为R，因为f(-x）=1-cos（—x）=1—cosx=f(x),所以f（x）是偶函数。(2)函数的定义域为R,因为g（-x)=（-x)—sin（-x）=—x-（-sinx）=-(x—sinx)=—g(x）,所以g(x)是奇函数.(3）函数的定义域为R且x≠+kπ,k∈Z,因为h（-x)=（-x）2—tan(-x）=x2+tanx，显然h（—x)≠h（x)并且h(-x)≠-h(x)，所以h(x)是非奇非偶函数.方法归纳①诱导公式三是化负角为正角的依据；②诱导公式三是判断函数奇偶性的依据。知识点三公式四的应用例5已知cos（—α）=，求cos（+α）—sin2（α—）的值.思路分析:由于三角函数的自变量是角,所以对三角函数的分析应从角入手,合理进行角的变换，使所求角的三角函数能用已知角的三角函数表示出来.因为(—α)+（+α）=π，所以+α可化成π—（—α）。又因为α—=—(—α)，所以可用诱导公式进行求解。解:∵cos(-α）=,∴原式=cos［π-（—α）］-［1—cos2(α-)]=-cos(-α）-1+cos2(-α)==。例6已知sin(—x)=，且0＜x＜,求cos（+x）的值.思路分析：注意到（—x)+（+x）=π，因此，可将问题转化成求cos（-x)的值.解：∵0＜x＜,∴—＜-x＜0.∴＜—x＜。又∵sin（—x)=,∴.∴cos(+x）=—cos（—x）=.方法归纳化简条件代数式的常见思路有：若条件简单，结论复杂,可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们,直到找出它们间的联系为止.无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标,据果变形.知识点四诱导公式的应用例7先把下列各任意角的三角函数转化成锐角的三角函数，再求值。(1)cos；(2);（3）cos（)；（4)cos(-1650°）；(5)cos(-150°15′)。解：（1)cos=cos（2π-）=cos=.（2)。(3）cos()=cos=cos(π)=-cos=.（4）cos(—1650°)=cos1650°=cos（4×360°+210°)=cos210°=cos（180°+30°)=—cos30°=.（5）cos(—150°15′）=cos150°15′=cos(180°—29°45′）=—cos29°45′。例8求sin120°+cos750°+sin(—690°）cos(-660°）+tan(-675°)+tan765°—tan1020°+tan(—1230°)的值。思路分析：对于形如sin（-690°)的化简可先写成sin(—690°）=-sin690°=—sin（330°+360°)=—sin330°=-sin(360°-30°）=sin30°=，解：原式=sin（180°-60°)+cos（30°+2×360°)+sin(30°—2×360°）·cos(60°-2×360°）—tan(2×360°—45°)+tan（2×360°+45°)—tan（3×360°-60°)—tan(3×360°+150°）=sin60°+cos30°+sin30°cos60°+tan45°+tan45°+tan60°—tan(180°—30°)。例9化简下列各式：（1）；(2）(n∈Z).思路分析：先合理进行角的变换,把角转化成能使用诱导公式的形式，用诱导公式将分子、分母化简，再约分求值.证明：（1）原式=。(2）原式=.例10求证：（1）sin（nπ+α)=（-1）nsinα（n∈Z）;(2）cos（nπ+α）=（-1)ncosα(n∈Z)。思路分析：因为n∈Z，所以应把n分成奇数、偶数两种情况，结合诱导公式求解。证明：(1)当n为奇数时,设n=2k—1(k∈Z），则sin（nπ+α）=sin［（2k—1)π+α］=sin（—π+α）=—sin(π-α）=—sinα=(-1）nsinα；当n为偶数时，设n=2k(k∈Z),则sin(nπ+α)=sin（2kπ+α）=sinα=(—1)nsinα，∴sin（nπ+α)=（-1）nsinα（n∈Z）。(2)当n为奇数时,设n=2k-1(k∈Z)，则cos（nπ+α)=cos［(2k—1)π+α］=cos(-π+α）=cos(π—α)=-cosα=（—1）ncosα；当n为偶数时，设n=2k（k∈Z），则cos(nπ+α)=cos（2kπ+α)=cosα=（-1）ncosα，∴cos(nπ+α)=（-1）ncosα（n∈Z).方法归纳三角函数式的求值与证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°—90°角的过程。对同一角的化归方式可以多种多样,但化简的基本要求都是:（1）能求值的要求出值；（2）使项数尽量少；(3）使次数尽可能低;(4）函数种类尽可能少；(5）分母中尽量不含被开方数等。知识点五公式五、六的应用例11已知cos(75°+α）=，且—180°＜α＜—90°，求cos（15°-α)的值.思路分析:注意到(15°-α）+(75°+α）=90°，因此可将问题转化成求sin（75°+α)的值.解：∵-180°＜α＜—90°,∴-105°＜75°+α＜-15°.∴sin（75°+α)＜0.又cos（75°+α)=,∴cos（15°—α）=cos[90°-（75°+α）］=sin（75°+α)=。方法归纳利用公式五和六，可把±α中角去掉，从而实现正、余弦函数的相互转化，反过来，也可通过添加来实现正、余弦函数的互化.问题•探究思想方法探究问题三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些常用方法？应当注意些什么问题?探究过程：三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则。它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结.探究结论:（1)化简三角函数时，在题设的要求下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有：异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等.(2)化简一定要尽量化为最简形式。例如最后被化简为cos80°，如果只化到cos440°，则不能认为这是最后结果；另外由于80°不是特殊角，一般无需求出其余弦值(实际上，写出的余弦值只是一个近似值，这不符合恒等变形的要求）。（3)证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法,由一个已知成立的等式（如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想，即“a=b等价于c=d，所以a=b成立的充要条件是c=d成立”；③中间法,证明等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等,即“a=c，b=c，则a=b”，它可由关系的传递性及对称性推出；④分析法,即从结论出发,逐步向已知要条件，其形式通常是“要怎样，只需怎样”,只要所需的条件都已经具备，则结论就成立，而书写证明过程时,只要逆写回去即可.交流讨论探究问题1教材同角基本关系式只给出：“sin2α+cos2α=1”和“tanα=”两种,结合你们所学过的三角知识，你们还能找出什么关系式？探究过程:学生甲：由于sinα=,cosα=，secα=，cscα=，则可得出sinαcscα=1，cosαsecα=1。学生乙：由于cotα=,tanα=,则可以得出tanαcotα=1，cotα==cosαcscα等一些结论。学生丙：由于x2+y2=r，则1+tan2α==sec2α.学生丁：除