数学知识巧解学案：平面向量共线的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、用坐标表示两个共线向量向量a与非零向量b共线,当且仅当存在一个实数λ，使得a=λb。这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式。设a=(x1，y1），b=(x2,y2）(x2，y2不同时为零）。根据实数与向量的积的坐标可得λb=（λx2，λy2）。因为a=λb，即（x1，y1)=(λx2，λy2），则必有消去λ后，得x1y2—x2y1=0.这就是说，当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量b与a(a≠0)共线。若x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断a与b共线.由此可知，设a=（x1，y1)，b=（x2,y2），若a∥b,则x1y2—x2y1=0；反之，若x1y2—x2y1=0，则a∥b.该条件成立,是在假设b≠0的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行,所以可去掉b≠0这一限制条件.学法一得向量共线有两种刻画形式：（1)b∥a(a≠0）b=λa，λ是唯一确定的实数;（2）b∥a（a≠0)x1y2-x2y1=0。典题•热题知识点一利用坐标解决向量共线例1判断下列向量是否平行：（1)a=(1，3)，b=(2，4）；（2）a=（1,2），b=（，1）.解:(1)∵1×4-3×2=-2≠0,∴a与b不平行。（2)∵1×1-2×=0,∴a∥b。巧解提示：(1）∵≠，a与b不平行;(2）∵,∴a∥b.本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.知识点二利用两个向量共线求未知数例2已知向量a=（1,1），b=(4，x),μ=a+2b，v=2a+b且μ∥v思路分析:由于平面向量可用坐标表示,所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.解:μ=（1,1)+2（4，x)=（1，1）+（8，2x)=（9,1+2x），v=2(1,1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=（6，2+x).∵μ∥v，∴9(2+x）-6（1+2x)=0.解得x=4。例3求与向量a=（3，4)共线的单位向量。解：设与a共线的单位向量为e=（x，y），则x2+y2=1.①又e∥a，所以3y-4x=0.②解由①②组成的方程组得或即e=(）或（)。巧解提示：∵a=（3，4),∴|a|=.∴与a共线的单位向量e=a，或e=a,即e=(）或().方法归纳利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由x1y2-x2y1=0可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值。例4平面内给定三个向量a=（3，2），b=(-1,2)，c=（4，1).（1)求3a+b-(2）求满足a=mb+nc的实数m、n;（3)若(a+kc）∥（2b—a），求实数k；（4）设d=（x，y)满足(d-c)∥（a+b）且|d—c｜=1，求d。思路分析：在引入向量的坐标表示后，向量的加、减、数乘运算完全代数化,这样更简洁，但必须对平面向量基本定理、向量的有关概念有深刻的理解.解：（1)3a+b—2c=3（3，2)+（—1,2)-2(4,1)=（9，6）+(-1，2）-（8,2)=(（2)∵a=mb+nc，∴（3，2）=m（—1，2）+n(4，1）=(—m+4n,2m+n).∴解之，得（3）∵(a+kc)∥(2b-a），又a+kc=（3+4k，2+k），2b—a=（—5，2)，∴2×（3+4k）-（-5)×(2+k）=0.∴k=。（4）∵d—c=(x—4，y—1)，a+b=(2，4)，又（d-c）∥(a+b）且｜d—c|=1，∴解之,得或∴d=()或d=（).方法归纳求未知数的值，需列含有未知数的方程或方程组，这就是方程思想.由于平面向量的坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积、共线向量、向量的模等，都可用于列方程求未知数的值.知识点三向量平行与三点共线例5向量=(k，12），=(4，5），=(10,k），当k为何值时，A、B、C三点共线?解:=-=（k，12）—(4，5)=（k—4，7），=—=（k，12)—(10，k）=(k—10,12—k).∵A、B、C三点共线，∴∥，即（k-4)(12-k)—(k—10)×7=0.整理，得k2-9k-22=0。解得k1=-2或k2=11.所以当k=-2或11时，A、B、C三点共线。例6如果向量=i-2j,=i+mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,试确定实数m的值使A、B、C三点共线.思路分析：只需根据向量共线的条件，解关于m的方程即可。解：∵A、B、C三点共线,即、共线，∴存在实数λ使得=λ,即i—2j=λ（i+mj）。∴∴m=—2，即m=—2时,A、B、C三点共线.方法归纳利用向量证明三点共线的思路是:先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数λ使得两向量共线.由于两向量必过同一点，所以两向量所在的直线必重合,即三点共线.知识点四定比分点坐标公式例7已知两点P（-1，6）和Q（3，0)，延长线段QP到A,使|AP|=｜PQ｜，求A点坐标。思路分析：由于A、P、Q三点共线,且|AP｜=|PQ|,所以可先从三点中任取两点，确定出两个共线向量间的共线，再借助于向量运算法则进行求解.解:如图2-3—25，∵｜AP｜=｜PQ|,图2-3—25∴=。∴=+=+=+(-）=—=(,8)-（1,0）=(，8）.∴A（,8）。例8若直线y=—ax-2与连结P（—2，1）、Q（3，2）两点的线段有交点，求实数a的取值范围.思路分析:当直线与线段PQ有交点时,这个交点分有向线段PQ所成的比λ不小于0，从而得到关于a的不等式，但应注意考虑端点的情况.解:当直线过P点时,有2a—2=1，∴a=。当直线过Q点时，有—3a—2=2，∴a=。当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为λ，它的坐标为M（x0，y0)，则x0=，y0=，而直线过M点,则，整理,得.由λ＞0,得，解得a＜或a＞.故所求实数a的取值范围为a≤或a≥.例9连结直角三角形的顶点与斜边的两个三等分点，所得两条线段的长分别是sinα和cosα(0＜α＜)，求直角三角形的斜边长。思路分析:建立适当的坐标系,设定点的坐标，然后根据已知条件列关系式求解。图2—3-26解：以直角三角形的两直角边为坐标轴，如图2—3-26所示，建立直角坐标系,设A（a，0)，B（0，b）,D、E分别为AB的三等分点，把D点看成分成定比为λ=的定比分点，由定比分点坐标公式可求得,，即D(a，b)。同理可求得E（a,b），又∵｜OD|=sinα,｜OE｜=cosα，即∴(a2+b2)=1.又∵｜AB｜=，∴|AB|=.问题•探究材料信息探究问题假如有两个质点M1、M2，它们的质量分别为m1、m2，由物理学知识，这两个质点的重心M在线段M1M2上，并且分此线段为与质量成反比例的两部分，即或.设点M1、M2、M对应的向量分别是r1、r2、r，则上式可以写成m1（r-r1）=m2（r2-r），所以r=,即点M处的质量为m1+m2.那么如何利用向量