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文档简介
吉林省长春市朝阳区达标名校2024年中考冲刺卷数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.长春市奥林匹克公园即将于2018年年底建成,它的总投资额约为2500000000元,2500000000这个数用科学记数法表示为()A.0.25×1010B.2.5×1010C.2.5×109D.25×1082.a的倒数是3,则a的值是()A. B.﹣ C.3 D.﹣33.如图,反比例函数(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()A.1 B.2 C.3 D.44.如图,正方形被分割成四部分,其中I、II为正方形,III、IV为长方形,I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍,若II的边长为2,且I的面积小于II的面积,则I的边长为()A.4 B.3 C. D.5.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为(
)A.9人 B.10人 C.11人 D.12人6.若x=-2是关于x的一元二次方程x2-ax+a2=0的一个根,则a的值为()A.1或4 B.-1或-4 C.-1或4 D.1或-47.的负倒数是()A. B.- C.3 D.﹣38.一元二次方程x2+2x﹣15=0的两个根为()A.x1=﹣3,x2=﹣5B.x1=3,x2=5C.x1=3,x2=﹣5D.x1=﹣3,x2=59.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线l交AC于点D,则∠CBD的度数为()A.30° B.45° C.50° D.75°10.如图,在△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,则△ABC的面积是()A. B.12 C.14 D.21二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.方程的根是__________.12.不等式组的整数解是_____.13.一个不透明的口袋中有5个红球,2个白球和1个黑球,它们除颜色外完全相同,从中任意摸出一个球,则摸出的是红球的概率是_____.14.为了求1+2+22+23+…+22016+22017的值,可令S=1+2+22+23+…+22016+22017,则2S=2+22+23+24+…+22017+22018,因此2S﹣S=22018﹣1,所以1+22+23+…+22017=22018﹣1.请你仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52017的值是_____.15.已知点P(2,3)在一次函数y=2x-m的图象上,则m=_______.16.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示,那么乙的速度是__km/h.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线与F,且AF=BD,连接BF。求证:D是BC的中点;如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论。18.(8分)如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值.19.(8分)(1)问题发现:如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为;(2)深入探究:如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图③,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中点,连接CN,若BC=10,CN=,试求EF的长.20.(8分)在某校举办的2012年秋季运动会结束之后,学校需要为参加运动会的同学们发纪念品.小王负责到某商场买某种纪念品,该商场规定:一次性购买该纪念品200个以上可以按折扣价出售;购买200个以下(包括200个)只能按原价出售.小王若按照原计划的数量购买纪念品,只能按原价付款,共需要1050元;若多买35个,则按折扣价付款,恰好共需1050元.设小王按原计划购买纪念品x个.(1)求x的范围;(2)如果按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同,那么小王原计划购买多少个纪念品?21.(8分)一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外完全相同,其中红球有个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为.()请直接写出袋子中白球的个数.()随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图或列表解答)22.(10分)如图,已知:AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD是⊙O的切线,AD⊥CD于点D,E是AB延长线上一点,CE交⊙O于点F,连接OC、AC.(1)求证:AC平分∠DAO.(2)若∠DAO=105°,∠E=30°①求∠OCE的度数;②若⊙O的半径为2,求线段EF的长.23.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点,AB⊥OA交x轴于点B,且OA=AB.求双曲线的解析式;求点C的坐标,并直接写出y1<y2时x的取值范围.24.已知抛物线y=ax2+c(a≠0).(1)若抛物线与x轴交于点B(4,0),且过点P(1,–3),求该抛物线的解析式;(2)若a>0,c=0,OA、OB是过抛物线顶点的两条互相垂直的直线,与抛物线分别交于A、B两点,求证:直线AB恒经过定点(0,);(3)若a>0,c<0,抛物线与x轴交于A,B两点(A在B左边),顶点为C,点P在抛物线上且位于第四象限.直线PA、PB与y轴分别交于M、N两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.【详解】2500000000的小数点向左移动9位得到2.5,所以2500000000用科学记数表示为:2.5×1.故选C.【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.2、A【解析】
根据倒数的定义进行解答即可.【详解】∵a的倒数是3,∴3a=1,解得:a=.故选A.【点睛】本题考查的是倒数的定义,即乘积为1的两个数叫互为倒数.3、C【解析】
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手,分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系,列出等式求出k值.【详解】由题意得:E、M、D位于反比例函数图象上,则,过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S□ONMG=|k|.又∵M为矩形ABCO对角线的交点,∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|,∵函数图象在第一象限,k>0,∴.解得:k=1.故选C.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.4、C【解析】
设I的边长为x,根据“I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍”列出方程并解方程即可.【详解】设I的边长为x根据题意有解得或(舍去)故选:C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,能够根据题意列出方程是解题的关键.5、C【解析】
设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人,依题可得:
x(x-1)=55,
化简得:x2-x-110=0,
解得:x1=11,x2=-10(舍去),
故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.6、B【解析】
试题分析:把x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0即:4+5a+a2=0解得:a=-1或-4,故答案选B.考点:一元二次方程的解;一元二次方程的解法.7、D【解析】
根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为1,2×=1.再求出2的相反数即可解答.【详解】根据倒数的定义得:2×=1.
因此的负倒数是-2.
故选D.【点睛】本题考查了倒数,解题的关键是掌握倒数的概念.8、C【解析】
运用配方法解方程即可.【详解】解:x2+2x﹣15=x2+2x+1-16=(x+1)2-16=0,即(x+1)2=16,解得,x1=3,x2=-5.故选择C.【点睛】本题考查了解一元二次方程,选择合适的解方程方法是解题关键.9、B【解析】试题解析:∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∵AB的垂直平分线交AC于D,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=30°,∴∠BDC=60°,∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°.故选B.10、A【解析】
根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长,即可得出三角形的面积.【详解】解:过点A作AD⊥BC,∵△ABC中,cosB=,sinC=,AC=5,
∴cosB==,
∴∠B=45°,
∵sinC===,
∴AD=3,
∴CD==4,
∴BD=3,
则△ABC的面积是:×AD×BC=×3×(3+4)=.
故选:A.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识,作出AD⊥BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、1.【解析】
把无理方程转化为整式方程即可解决问题.【详解】两边平方得到:2x﹣1=1,解得:x=1,经检验:x=1是原方程的解.故答案为:1.【点睛】本题考查了无理方程,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,注意必须检验.12、﹣1、0、1【解析】
求出每个不等式的解集,根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集,即可得出答案.【详解】,解不等式得:,解不等式得:,不等式组的解集为,不等式组的整数解为-1,0,1.故答案为:-1,0,1.【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式组的整数解,解题关键是注意解集范围从而得出整数解.13、【解析】
根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【详解】解:由于共有8个球,其中红球有5个,则从袋子中随机摸出一个球,摸出红球的概率是.故答案为.【点睛】本题考查了概率的求法,如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.14、【解析】
根据上面的方法,可以令S=1+5+52+53+…+52017,则5S=5+52+53+…+52012+52018,再相减算出S的值即可.【详解】解:令S=1+5+52+53+…+52017,则5S=5+52+53+…+52012+52018,5S﹣S=﹣1+52018,4S=52018﹣1,则S=,故答案为:.【点睛】此题参照例子,采用类比的方法就可以解决,注意这里由于都是5的次方,所以要用5S来达到抵消的目的.15、1【解析】
根据待定系数法求得一次函数的解析式,解答即可.【详解】解:∵一次函数y=2x-m的图象经过点P(2,3),∴3=4-m,解得m=1,故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,关键是根据待定系数法求得一次函数的解析式.16、3.6【解析】分析:根据题意,甲的速度为6km/h,乙出发后2.5小时两人相遇,可以用方程思想解决问题.详解:由题意,甲速度为6km/h.当甲开始运动时相距36km,两小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇.设乙的速度为xkm/h4.5×6+2.5x=36解得x=3.6故答案为3.6点睛:本题为一次函数实际应用问题,考查一次函数图象在实际背景下所代表的意义.解答这类问题时,也可以通过构造方程解决问题.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)详见解析;(2)详见解析【解析】
(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解;(2)由(1)知AF平行等于BD,易证四边形AFBD是平行四边形,而AB=AC,AD是中线,利用等腰三角形三线合一定理,可证AD⊥BC,即∠ADB=90°,那么可证四边形AFBD是矩形.【详解】(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵点E为AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD,∴D是BC的中点;(2)若AB=AC,则四边形AFBD是矩形.理由如下:∵△AEF≌△DEC,∴AF=CD,∵AF=BD,∴CD=BD;∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD=CD,∴∠ADB=90°,∴平行四边形AFBD是矩形.【点睛】本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.18、(1)PD是⊙O的切线.证明见解析.(2)1.【解析】试题分析:(1)连结OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出∠PAD和∠D的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明PD是⊙O的切线;(2)连结BC,首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,然后可得AC长,再证明△CAE∽△CPA,进而可得,然后可得CE•CP的值.试题解析:(1)如图,PD是⊙O的切线.证明如下:连结OP,∵∠ACP=60°,∴∠AOP=120°,∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°,∵PA=PD,∴∠PAO=∠D=30°,∴∠OPD=90°,∴PD是⊙O的切线.(2)连结BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,又∵C为弧AB的中点,∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,∵AB=4,AC=Absin45°=.∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,∴△CAE∽△CPA,∴,∴CP•CE=CA2=()2=1.考点:相似三角形的判定与性质;圆心角、弧、弦的关系;直线与圆的位置关系;探究型.19、(1)NC∥AB;理由见解析;(2)∠ABC=∠ACN;理由见解析;(3);【解析】
(1)根据△ABC,△AMN为等边三角形,得到AB=AC,AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,证明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN.
(2)根据△ABC,△AMN为等腰三角形,得到AB:BC=1:1且∠ABC=∠AMN,根据相似三角形的性质得到,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN,根据相似三角形的性质即可得到结论;
(3)如图3,连接AB,AN,根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根据相似三角形的性质得出,得到BM=2,CM=8,再根据勾股定理即可得到答案.【详解】(1)NC∥AB,理由如下:∵△ABC与△MN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,在△ABM与△ACN中,,∴△ABM≌△ACN(SAS),∴∠B=∠ACN=60°,∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°,∴CN∥AB;(2)∠ABC=∠ACN,理由如下:∵=1且∠ABC=∠AMN,∴△ABC~△AMN∴,∵AB=BC,∴∠BAC=(180°﹣∠ABC),∵AM=MN∴∠MAN=(180°﹣∠AMN),∵∠ABC=∠AMN,∴∠BAC=∠MAN,∴∠BAM=∠CAN,∴△ABM~△ACN,∴∠ABC=∠ACN;(3)如图3,连接AB,AN,∵四边形ADBC,AMEF为正方形,∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC即∠BAM=∠CAN,∵,∴,∴△ABM~△ACN∴,∴=cos45°=,∴,∴BM=2,∴CM=BC﹣BM=8,在Rt△AMC,AM=,∴EF=AM=2.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.20、(1)0<x≤200,且x是整数(2)175【解析】
(1)根据商场的规定确定出x的范围即可;(2)设小王原计划购买x个纪念品,根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程,求出解即可得到结果.【详解】(1)根据题意得:0<x≤200,且x为整数;(2)设小王原计划购买x个纪念品,根据题意得:,整理得:5x+175=6x,解得:x=175,经检验x=175是分式方程的解,且满足题意,则小王原计划购买175个纪念品.【点睛】此题考查了分式方程的应用,弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”是解本题的关键.21、(1)袋子中白球有2个;(2).【解析】试题分析:(1)设袋子中白球有x个,根据概率公式列方程解方程即可求得答案;(2)根据题意画出树状图,求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况,再利用概率公式即可求得答案.试题解析:(1)设袋子中白球有x个,根据题意得:=,解得:x=2,经检验,x=2是原分式方程的解,∴袋子中白球有2个;(2)画树状图得:∵共有9种等可能的结果,两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况,∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为:.考点:列表法与树状图法;概率公式.22、(1)证明见解析;(2)①∠OCE=45°;②EF=-2.【解析】【试题分析】(1)根据直线与⊙O相切的性质,得OC⊥CD.又因为AD⊥CD,根据同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线也平行,得:AD//OC.∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA,根据等边对等角,得∠OAC=∠OCA.等量代换得:∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得:AC平分∠DAO.(2)①因为AD//OC,∠DAO=105°,根据两直线平行,同位角相等得,∠EOC=∠DAO=105°,在中,∠E=30°,利用内角和定理,得:∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G,根据垂径定理可得FG=CG,因为OC=,∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的倍,得CG=OG=2.FG=2.在Rt△OGE中,∠E=30°,得GE=,则EF=GE-FG=-2.【试题解析】(1)∵直线与⊙O相切,∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°,∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°,∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG∵OC=,∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中,∠E=30°,∴GE=.∴EF=GE-FG=-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目,涉及到圆的切线的性质,平行线的性质及判定,三角形内角和,垂径定理,难度为中等.23、(1);(1)C(﹣1,﹣4),x的取值范围是
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