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文档简介
吉林省长春六中学2024届中考三模数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,a,b,c的取值范围()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c<0C.a>0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c<02.﹣22×3的结果是()A.﹣5 B.﹣12 C.﹣6 D.123.《九章算术》是中国传统数学的重要著作,方程术是它的最高成就.其中记载:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?译文:今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又会差4钱,问人数、物价各是多少?设合伙人数为x人,物价为y钱,以下列出的方程组正确的是(
)A. B. C. D.4.据报道,目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一,其运算速度达到了每秒338600000亿次,数字338600000用科学记数法可简洁表示为()A.3.386×108 B.0.3386×109 C.33.86×107 D.3.386×1095.如图1,一个扇形纸片的圆心角为90°,半径为1.如图2,将这张扇形纸片折叠,使点A与点O恰好重合,折痕为CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为()A. B. C. D.6.函数y=中,x的取值范围是()A.x≠0 B.x>﹣2 C.x<﹣2 D.x≠﹣27.用6个相同的小正方体搭成一个几何体,若它的俯视图如图所示,则它的主视图不可能是()A. B. C. D.8.若代数式2x2+3x﹣1的值为1,则代数式4x2+6x﹣1的值为()A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.39.已知,,且,则的值为()A.2或12 B.2或 C.或12 D.或10.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()A.m<3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是CB边上一点,过点D作DE⊥AB于点E,点F是AD的中点,连结EF、FC、CE.若AD=2,∠CFE=90°,则CE=_____.12.如图,已知⊙O是△ABD的外接圆,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数是_____.13.化简:_____________.14.如图,是由一些小立方块所搭几何体的三种视图,若在所搭几何体的基础上(不改变原几何体中小立方块的位置),继续添加相同的小立方块,以搭成一个大正方体,至少还需要________个小立方块.15.如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,延长连心线O1O2交⊙O2于点P,联结PA、PB,若∠APB=60°,AP=6,那么⊙O2的半径等于________.16.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载:“今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为_____.17.已知扇形的弧长为,圆心角为45°,则扇形半径为_____.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E,连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若∠A=60°,DF=,求☉O的直径BC的长.19.(5分)菏泽市牡丹区中学生运动会即将举行,各个学校都在积极地做准备,某校为奖励在运动会上取得好成绩的学生,计划购买甲、乙两种奖品共100件,已知甲种奖品的单价是30元,乙种奖品的单价是20元.(1)若购买这批奖品共用2800元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件?(2)若购买这批奖品的总费用不超过2900元,则最多购买甲种奖品多少件?20.(8分)如图,点C、E、B、F在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,BC=EF,求证:AB=DE21.(10分)如图1,点为正的边上一点(不与点重合),点分别在边上,且.(1)求证:;(2)设,的面积为,的面积为,求(用含的式子表示);(3)如图2,若点为边的中点,求证:.图1图222.(10分)我市正在创建“全国文明城市”,某校拟举办“创文知识”抢答赛,欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元.A、B两种奖品每件各多少元?现要购买A、B两种奖品共100件,总费用不超过900元,那么A种奖品最多购买多少件?23.(12分)如图,在平面直角坐标系中有三点(1,2),(3,1),(-2,-1),其中有两点同时在反比例函数的图象上,将这两点分别记为A,B,另一点记为C,(1)求出的值;(2)求直线AB对应的一次函数的表达式;(3)设点C关于直线AB的对称点为D,P是轴上的一个动点,直接写出PC+PD的最小值(不必说明理由).24.(14分)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC边于点D,连接AD,过D作AC的垂线,交AC边于点E,交AB边的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若∠F=30°,BF=3,求弧AD的长.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解析】试题分析:根据二次函数的图象依次分析各项即可。由抛物线开口向上,可得,再由对称轴是,可得,由图象与y轴的交点再x轴下方,可得,故选D.考点:本题考查的是二次函数的性质点评:解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质:的正负决定抛物线开口方向,对称轴是,C的正负决定与Y轴的交点位置。2、B【解析】
先算乘方,再算乘法即可.【详解】解:﹣22×3=﹣4×3=﹣1.故选:B.【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算,熟练掌握法则是解答本题的关键.有理数的混合运算,先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号内的.3、C【解析】【分析】分析题意,根据“每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又会差4钱,”可分别列出方程.【详解】设合伙人数为x人,物价为y钱,根据题意得故选C【点睛】本题考核知识点:列方程组解应用题.解题关键点:找出相等关系,列出方程.4、A【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:数字338600000用科学记数法可简洁表示为3.386×108故选:A【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数.5、C【解析】
连接OD,根据勾股定理求出CD,根据直角三角形的性质求出∠AOD,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算,得到答案.【详解】解:连接OD,在Rt△OCD中,OC=OD=2,∴∠ODC=30°,CD=∴∠COD=60°,∴阴影部分的面积=,故选:C.【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理,掌握扇形面积公式是解题的关键.6、D【解析】试题分析:由分式有意义的条件得出x+1≠0,解得x≠﹣1.故选D.点睛:本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件;由分式有意义得出不等式是解决问题的关键.7、D【解析】分析:根据主视图和俯视图之间的关系可以得出答案.详解:∵主视图和俯视图的长要相等,∴只有D选项中的长和俯视图不相等,故选D.点睛:本题主要考查的就是三视图的画法,属于基础题型.三视图的画法为:主视图和俯视图的长要相等;主视图和左视图的高要相等;左视图和俯视图的宽要相等.8、D【解析】
由2x2+1x﹣1=1知2x2+1x=2,代入原式2(2x2+1x)﹣1计算可得.【详解】解:∵2x2+1x﹣1=1,∴2x2+1x=2,则4x2+6x﹣1=2(2x2+1x)﹣1=2×2﹣1=4﹣1=1.故本题答案为:D.【点睛】本题主要考查代数式的求值,运用整体代入的思想是解题的关键.9、D【解析】
根据=5,=7,得,因为,则,则=5-7=-2或-5-7=-12.故选D.10、A【解析】分析:根据关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=(-2)2-4m>0,求出m的取值范围即可.详解:∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,∴△=(-2)2-4m>0,∴m<3,故选A.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2-4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解析】
根据直角三角形的中点性质结合勾股定理解答即可.【详解】解:,点F是AD的中点,.故答案为:.【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的理解。熟练掌握勾股定理是解题的关键.12、32°【解析】
根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°,求出∠A的度数,根据圆周角定理解答即可.【详解】∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ABD=58°,
∴∠A=32°,
∴∠BCD=32°,
故答案为32°.13、【解析】
根据分式的运算法则即可求解.【详解】原式=.故答案为:.【点睛】此题主要考查分式的运算,解题的关键是熟知分式的运算法则.14、54【解析】试题解析:由主视图可知,搭成的几何体有三层,且有4列;由左视图可知,搭成的几何体共有3行;第一层有7个正方体,第二层有2个正方体,第三层有1个正方体,共有10个正方体,∵搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体,以搭成一个大正方体,∴搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体,∴至少还需要64-10=54个小正方体.【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体,再根据搭成的大正方体的共有4×4×4=64个小正方体,即可得出答案.本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查,关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体.15、2【解析】
由题意得出△ABP为等边三角形,在Rt△ACO2中,AO2=即可.【详解】由题意易知:PO1⊥AB,∵∠APB=60°∴△ABP为等边三角形,AC=BC=3∴圆心角∠AO2O1=60°∴在Rt△ACO2中,AO2==2.故答案为2.【点睛】本题考查的知识点是圆的性质,解题的关键是熟练的掌握圆的性质.16、【解析】试题分析:根据“5头牛,2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.”列方程组即可.考点:二元一次方程组的应用17、1【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可.【详解】解:∵,∴.故答案为1.【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握弧长公式:l=.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)证明过程见解析;(2)【解析】
(1)根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB,然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE,从而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°,然后得出切线;(2)根据Rt△AFD和Rt△BFD的性质得出AF和DF的长度,然后根据△ADF和△ACB相似得出相似比,从而得出BC的长度.【详解】(1)∵CB=CD∴∠CBD=∠CDB又∵∠CEB=90°∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD∴∠ABD=∠BCE∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°∴CB⊥AB垂足为B又∵CB为直径∴AB是⊙O的切线.(2)∵∠A=60°,DF=∴在Rt△AFD中得出AF=1在Rt△BFD中得出DF=3∵∠ADF=∠ACB∠A=∠A∴△ADF∽△ACB∴即解得:CB=考点:(1)圆的切线的判定;(2)三角函数;(3)三角形相似的判定19、(1)甲80件,乙20件;(2)x≤90【解析】
(1)甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(100﹣x)件,利用共用2800元,列出方程后求解即可;(2)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(100﹣x)件,根据购买这批奖品的总费用不超过2900元列不等式求解即可.【详解】解:(1)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(100﹣x)件,根据题意得30x+20(100﹣x)=2800,解得x=80,则100﹣x=20,答:甲种奖品购买了80件,乙种奖品购买了20件;(2)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(100﹣x)件,根据题意得:30x+20(100﹣x)≤2900,解得:x≤90,【点睛】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用,根据已知条件正确列出方程与不等式是解题的关键.20、证明见解析.【解析】证明:∵AC//DF∴∠C=∠F在ΔACB和ΔDFE中∴△ABC≌△DEF(SAS)21、(1)详见解析;(1)详见解析;(3)详见解析.【解析】
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断;
(1)如图1中,分别过E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,S1=•BD•EG=•BD•EG=•a•BE•sin60°=•a•BE,S1=•CD•FH=•b•CF,可得S1•S1=ab•BE•CF,由(1)得△BDE∽△CFD,,即BE•FC=BD•CD=ab,即可推出S1•S1=a1b1;
(3)想办法证明△DFE∽△CFD,推出,即DF1=EF•FC;【详解】(1)证明:如图1中,
在△BDE中,∠BDE+∠DEB+∠B=180°,又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°,
∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC,
∵∠EDF=∠B,
∴∠DEB=∠FDC,
又∠B=∠C,
∴△BDE∽△CFD.
(1)如图1中,分别过E,F作EG⊥BC于G,FH⊥BC于H,
S1=•BD•EG=•BD•EG=•a•BE•sin60°=•a•BE,S1=•CD•FH=•b•CF,
∴S1•S1=ab•BE•CF
由(1)得△BDE∽△CFD,
∴,即BE•FC=BD•CD=ab,
∴S1•S1=a1b1.(3)由(1)得△BDE∽△CFD,
∴,
又BD=CD,
∴,
又∠EDF=∠C=60°,
∴△DFE∽△CFD,
∴,即DF1=EF•FC.【点睛】本题考查了相似形综合题、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件.22、(1)A种奖品每件16元,B种奖品每件4元.(2)A种奖品最多购买41件.【解析】【分析】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,根据“如果购买A种20件,B种15件,共需380元;如果购买A种15件,B种10件,共需280元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中最大的整数即可得出结论.【详解】(1)设A种奖品每件x元,B种奖品每件y元,根据题意得:,解得:,答:A种奖品每件16元,B种奖品每件4元;(2)设A种奖品购买a件,则B种奖品购买(100﹣a)件,根据题意得:16a+4(100﹣a)≤900,解得:a≤,∵a为整数,∴a≤41,答:A种奖品最多购买41件.【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的
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