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文档简介
江苏南京师范大附属中学2023-2024学年中考三模数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列各数中,为无理数的是()A. B. C. D.2.如图,BC平分∠ABE,AB∥CD,E是CD上一点,若∠C=35°,则∠BED的度数为()A.70° B.65° C.62° D.60°3.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是().A.(x+1)(x-1)=x2-1B.x2-2x+1=x(x-2)+1C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.mx+my+nx+ny=m(x+y)+n(x+y)4.如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=,则四边形MABN的面积是()A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,将点P(﹣4,2)绕原点O顺时针旋转90°,则其对应点Q的坐标为()A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(﹣2,4) D.(﹣2,﹣4)6.某小组7名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是()劳动时间(小时)33.544.5人数1132A.中位数是4,众数是4 B.中位数是3.5,众数是4C.平均数是3.5,众数是4 D.平均数是4,众数是3.57.如图,扇形AOB中,半径OA=2,∠AOB=120°,C是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是()A. B.C. D.8.下面的统计图反映了我国最近十年间核电发电量的增长情况,根据统计图提供的信息,下列判断合理的是()A.2011年我国的核电发电量占总发电量的比值约为1.5%B.2006年我国的总发电量约为25000亿千瓦时C.2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的2倍D.我国的核电发电量从2008年开始突破1000亿千瓦时9.将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2﹣5B.y=(x+2)2+5C.y=(x﹣2)2﹣5D.y=(x﹣2)2+510.如图,一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上,∠ABG=46°,则∠FAE的度数是()A.26°. B.44°. C.46°. D.72°二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2017的值为____.12.如图,AC是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠ACB=_____.13.点(a-1,y1)、(a+1,y2)在反比例函数y=(k>0)的图象上,若y1<y2,则a的范围是________.14.“五一”期间,一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览,面包车的租金为300元,出发时,又增加了4名同学,且租金不变,这样每个同学比原来少分摊了20元车费.若设参加游览的同学一共有x人,为求x,可列方程_____.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数值y与自变量x的部分对应值如下表:x…-5-4-3-2-1…y…3-2-5-6-5…则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根是______.16.一个n边形的内角和为1080°,则n=________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”,已知分别为“果圆”与坐标轴的交点,直线与“果圆”中的抛物线交于两点(1)求“果圆”中抛物线的解析式,并直接写出“果圆”被轴截得的线段的长;(2)如图,为直线下方“果圆”上一点,连接,设与交于,的面积记为,的面积即为,求的最小值(3)“果圆”上是否存在点,使,如果存在,直接写出点坐标,如果不存在,请说明理由18.(8分)某校航模小组借助无人飞机航拍校园,如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需10秒,A在地面C的北偏东12°方向,B在地面C的北偏东57°方向.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒,求这架无人飞机的飞行高度.(结果精确到0.1米,参考数据:sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65)19.(8分)化简:(x-1-)÷.20.(8分)如图,AB为⊙O的直径,点D、E位于AB两侧的半圆上,射线DC切⊙O于点D,已知点E是半圆弧AB上的动点,点F是射线DC上的动点,连接DE、AE,DE与AB交于点P,再连接FP、FB,且∠AED=45°.求证:CD∥AB;填空:①当∠DAE=时,四边形ADFP是菱形;②当∠DAE=时,四边形BFDP是正方形.21.(8分)如图,在△ABC中,点D是AB边的中点,点E是CD边的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.求证:DB=CF;(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.22.(10分)如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD.试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由;若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值.23.(12分)某市旅游部门统计了今年“五•一”放假期间该市A、B、C、D四个旅游景区的旅游人数,并绘制出如图所示的条形统计图和扇形统计图,根据图中的信息解答下列问题:(1)求今年“五•一”放假期间该市这四个景点共接待游客的总人数;(2)扇形统计图中景点A所对应的圆心角的度数是多少,请直接补全条形统计图;(3)根据预测,明年“五•一”放假期间将有90万游客选择到该市的这四个景点旅游,请你估计有多少人会选择去景点D旅游?24.如图,在直角三角形ABC中,(1)过点A作AB的垂线与∠B的平分线相交于点D(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)若∠A=30°,AB=2,则△ABD的面积为.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】A.=2,是有理数;B.=2,是有理数;C.,是有理数;D.,是无理数,故选D.2、A【解析】
由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,即可求得∠ABC的度数,又由BC平分∠ABE,即可求得∠ABE的度数,继而求得答案.【详解】∵AB∥CD,∠C=35°,∴∠ABC=∠C=35°,∵BC平分∠ABE,∴∠ABE=2∠ABC=70°,∵AB∥CD,∴∠BED=∠ABE=70°.故选:A.【点睛】本题考查了平行线的性质,解题的关键是掌握平行线的性质进行解答.3、C【解析】
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,据此进行解答即可.【详解】解:A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式,故都不是因式分解,只有C选项符合因式分解的定义,故选择C.【点睛】本题考查了因式分解的定义,牢记定义是解题关键.4、C【解析】连接CD,交MN于E,∵将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD,且CE=DE.∴CD=2CE.∵MN∥AB,∴CD⊥AB.∴△CMN∽△CAB.∴.∵在△CMN中,∠C=90°,MC=6,NC=,∴∴.∴.故选C.5、A【解析】
首先求出∠MPO=∠QON,利用AAS证明△PMO≌△ONQ,即可得到PM=ON,OM=QN,进而求出Q点坐标.【详解】作图如下,∵∠MPO+∠POM=90°,∠QON+∠POM=90°,∴∠MPO=∠QON,在△PMO和△ONQ中,∵,∴△PMO≌△ONQ,∴PM=ON,OM=QN,∵P点坐标为(﹣4,2),∴Q点坐标为(2,4),故选A.【点睛】此题主要考查了旋转的性质,以及全等三角形的判定和性质,关键是掌握旋转后对应线段相等.6、A【解析】
根据众数和中位数的概念求解.【详解】这组数据中4出现的次数最多,众数为4,∵共有7个人,∴第4个人的劳动时间为中位数,所以中位数为4,故选A.【点睛】本题考查众数与中位数的意义,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.7、A【解析】试题分析:连接AB、OC,ABOC,所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB,进行求面积,求得四边形面积是,扇形面积是S=πr2=,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即.故选A.8、B【解析】
由折线统计图和条形统计图对各选项逐一判断即可得.【详解】解:A、2011年我国的核电发电量占总发电量的比值大于1.5%、小于2%,此选项错误;B、2006年我国的总发电量约为500÷2.0%=25000亿千瓦时,此选项正确;C、2013年我国的核电发电量占总发电量的比值是2006年的显然不到2倍,此选项错误;D、我国的核电发电量从2012年开始突破1000亿千瓦时,此选项错误;故选:B.【点睛】本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;折线统计图表示的是事物的变化情况.9、A【解析】
直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可.【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为(﹣2,﹣1),所以,平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2﹣1.故选:A.【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键.10、A【解析】
先根据正五边形的性质求出∠EAB的度数,再由平行线的性质即可得出结论.【详解】解:∵图中是正五边形.∴∠EAB=108°.∵太阳光线互相平行,∠ABG=46°,∴∠FAE=180°﹣∠ABG﹣∠EAB=180°﹣46°﹣108°=26°.故选A.【点睛】此题考查平行线的性质,多边形内角与外角,解题关键在于求出∠EAB.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、1【解析】
把点(m,0)代入y=x2﹣x﹣1,求出m2﹣m=1,代入即可求出答案.【详解】∵二次函数y=x2﹣x﹣1的图象与x轴的一个交点为(m,0),∴m2﹣m﹣1=0,∴m2﹣m=1,∴m2﹣m+2017=1+2017=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,求代数式的值的应用,解答此题的关键是求出m2﹣m=1,难度适中.12、36°【解析】
由正五边形的性质得出∠B=108°,AB=CB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果.【详解】∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠B=108°,AB=CB,∴∠ACB=(180°﹣108°)÷2=36°;故答案为36°.13、﹣1<a<1【解析】
解:∵k>0,∴在图象的每一支上,y随x的增大而减小,①当点(a-1,y1)、(a+1,y2)在图象的同一支上,∵y1<y2,∴a-1>a+1,解得:无解;②当点(a-1,y1)、(a+1,y2)在图象的两支上,∵y1<y2,∴a-1<0,a+1>0,解得:-1<a<1.故答案为:-1<a<1.【点睛】本题考查反比例函数的性质.14、﹣=1.【解析】原有的同学每人分担的车费应该为,而实际每人分担的车费为,方程应该表示为:﹣=1.故答案是:﹣=1.15、x1=-4,x1=2【解析】解:∵x=﹣3,x=﹣1的函数值都是﹣5,相等,∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1.∵x=﹣4时,y=﹣1,∴x=2时,y=﹣1,∴方程ax1+bx+c=3的解是x1=﹣4,x1=2.故答案为x1=﹣4,x1=2.点睛:本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称性,读懂图表信息,求出对称轴解析式是解题的关键.16、1【解析】
直接根据内角和公式计算即可求解.【详解】(n﹣2)•110°=1010°,解得n=1.故答案为1.【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式:.三、解答题(共8题,共72分)17、(1);6;(2)有最小值;(3),.【解析】
(1)先求出点B,C坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式,进而求出点A坐标,即可求出半圆的直径,再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD;
(2)先判断出要求的最小值,只要CG最大即可,再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点,求出直线EG解析式,即可求出CG,结论得证.
(3)求出线段AC,BC进而判断出满足条件的一个点P和点B重合,再利用抛物线的对称性求出另一个点P.【详解】解:(1)对于直线y=x-3,令x=0,
∴y=-3,
∴B(0,-3),
令y=0,
∴x-3=0,
∴x=4,
∴C(4,0),
∵抛物线y=x2+bx+c过B,C两点,∴∴∴抛物线的解析式为y=;令y=0,
∴=0,∴x=4或x=-1,
∴A(-1,0),
∴AC=5,
如图2,记半圆的圆心为O',连接O'D,
∴O'A=O'D=O'C=AC=,
∴OO'=OC-O'C=4-=,
在Rt△O'OD中,OD==2,∴D(0,2),
∴BD=2-(-3)=5;(2)如图3,
∵A(-1,0),C(4,0),
∴AC=5,
过点E作EG∥BC交x轴于G,
∵△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等,设高为h,
∴S△ABF=AF•h,S△BEF=EF•h,∴==∵的最小值,∴最小,∵CF∥GE,∴∴最小,即:CG最大,∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时,CG最大,
∵直线BC的解析式为y=x-3,
设直线EG的解析式为y=x+m①,
∵抛物线的解析式为y=x2-x-3②,
联立①②化简得,3x2-12x-12-4m=0,
∴△=144+4×3×(12+4m)=0,
∴m=-6,
∴直线EG的解析式为y=x-6,
令y=0,
∴x-6=0,
∴x=8,
∴CG=4,∴=;(3),.理由:如图1,∵AC是半圆的直径,
∴半圆上除点A,C外任意一点Q,都有∠AQC=90°,
∴点P只能在抛物线部分上,
∵B(0,-3),C(4,0),
∴BC=5,
∵AC=5,
∴AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC,
当∠APC=∠CAB时,点P和点B重合,即:P(0,-3),
由抛物线的对称性知,另一个点P的坐标为(3,-3),
即:使∠APC=∠CAB,点P坐标为(0,-3)或(3,-3).【点睛】本题是二次函数综合题,考查待定系数法,圆的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,抛物线的对称性,等腰三角形的判定和性质,判断出CG最大时,两三角形面积之比最小是解本题的关键.18、29.8米.【解析】
作,,根据题意确定出与的度数,利用锐角三角函数定义求出与的长度,由求出的长度,即可求出的长度.【详解】解:如图,作,,由题意得:米,米,则米,答:这架无人飞机的飞行高度为米.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.19、【解析】
根据分式的混合运算先计算括号里的再进行乘除.【详解】(x-1-)÷=·=·=【点睛】此题主要考查分式的计算,解题的关键是先进行通分,再进行加减乘除运算.20、(1)详见解析;(2)①67.5°;②90°.【解析】
(1)要证明CD∥AB,只要证明∠ODF=∠AOD即可,根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD,从而可以解答本题;(2)①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质,可以求得∠DAE的度数;②根据四边形BFDP是正方形,可以求得∠DAE的度数.【详解】(1)证明:连接OD,如图所示,∵射线DC切⊙O于点D,∴OD⊥CD,即∠ODF=90°,∵∠AED=45°,∴∠AOD=2∠AED=90°,∴∠ODF=∠AOD,∴CD∥AB;(2)①连接AF与DP交于点G,如图所示,∵四边形ADFP是菱形,∠AED=45°,OA=OD,∴AF⊥DP,∠AOD=90°,∠DAG=∠PAG,∴∠AGE=90°,∠DAO=45°,∴∠EAG=45°,∠DAG=∠PEG=22.5°,∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°,故答案为:67.5°;②∵四边形BFDP是正方形,∴BF=FD=DP=PB,∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°,∴此时点P与点O重合,∴此时DE是直径,∴∠EAD=90°,故答案为:90°.【点睛】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用菱形的性质和正方形的性质解答.21、(1)证明见解析;(2)四边形BDCF是矩形,理由见解析.【解析】(1)证明:∵CF∥AB,∴∠DAE=∠CFE.又∵DE=CE,∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.∵AD=DB,∴DB=CF.(2)四边形BDCF是矩形.证明:由(1)知DB=CF,又DB∥CF,∴四边形BDCF为平行四边形.∵AC=BC,AD=DB,∴CD⊥AB.∴四边形BDCF是矩形.22、(1)PD是⊙O的切线.证明见解析.(2)1.【解析】试题分析:(1)连结OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出∠PAD和∠D的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明PD是⊙O的切线;(2)连结BC,首先求出∠CAB=∠ABC=∠APC=45°,然后可得AC长,再证明△CAE∽△CPA,进而可得,然后可得CE•CP的值.试题解析:(1)如图,PD是⊙O的切线.证明如下:连结OP,∵∠ACP=60°,∴∠AOP=120°,∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°,∵PA=PD,∴∠PAO=∠D=30°,∴∠OPD=90°,∴PD是⊙O的切线.(2)连结BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
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