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文档简介
济南市莱芜地区2024年中考数学五模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.某商品的标价为200元,8折销售仍赚40元,则商品进价为()元.A. B. C. D.2.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为(
)A.﹣1 B.0 C.1 D.33.如图所示,在长为8cm,宽为6cm的矩形中,截去一个矩形(图中阴影部分),如果剩下的矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是()A.28cm2 B.27cm2 C.21cm2 D.20cm24.如图,点D在△ABC边延长线上,点O是边AC上一个动点,过O作直线EF∥BC,交∠BCA的平分线于点F,交∠BCA的外角平分线于E,当点O在线段AC上移动(不与点A,C重合)时,下列结论不一定成立的是()A.2∠ACE=∠BAC+∠B B.EF=2OC C.∠FCE=90° D.四边形AFCE是矩形5.如图,为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离,某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点,测得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之间的距离为50m,则A、B之间的距离为()A.50m B.25m C.(50﹣)m D.(50﹣25)m6.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为(
)A.9人 B.10人 C.11人 D.12人7.2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里,居世界第一,将数据135000用科学计数法表示正确的是()A.1.35×106 B.1.35×105 C.13.5×104 D.135×1038.的相反数是()A. B.- C. D.9.的算术平方根为()A. B. C. D.10.自2013年10月总书记提出“精准扶贫”的重要思想以来.各地积极推进精准扶贫,加大帮扶力度.全国脱贫人口数不断增加.仅2017年我国减少的贫困人口就接近1100万人.将1100万人用科学记数法表示为()A.1.1×103人 B.1.1×107人 C.1.1×108人 D.11×106人二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知点P(3,1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,﹣1﹣b),则ab的值为_____.12.化简:①=_____;②=_____;③=_____.13.已知一组数据4,x,5,y,7,9的平均数为6,众数为5,则这组数据的中位数是_____.14.化简:=.15.如果正比例函数的图像经过第一、三象限,那么的取值范围是__.16.不等式组的解集为________.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,每个小正方形的边长都为1,和的顶点都在格点上,回答下列问题:可以看作是经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的,写出一种由得到的过程:______;画出绕点B逆时针旋转的图形;在中,点C所形成的路径的长度为______.18.(8分)如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<1.(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.19.(8分)解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答:(I)解不等式(1),得;(II)解不等式(2),得;(III)把不等式(1)和(2)的解集在数轴上表示出来:(IV)原不等式组的解集为.20.(8分)如图,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是⊙O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.(1)求证:DF⊥AC;(2)求tan∠E的值.21.(8分)解不等式:3x﹣1>2(x﹣1),并把它的解集在数轴上表示出来.22.(10分)如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,,垂足为F.(1)求证:;(2)如果,求的余切值.23.(12分)在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球,这些球除颜色外均相同(1)搅匀后从袋中任意摸出1个球,摸出红球的概率是.(2)甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球,记录颜色后不放回,试求出乙摸到白球的概率24.如图1,△ABC中,AB=AC=6,BC=4,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=1,连接DE、CD,点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点,连接MP、PN、MN.(1)求证:△PMN是等腰三角形;(2)将△ADE绕点A逆时针旋转,①如图2,当点D、E分别在边AC两侧时,求证:△PMN是等腰三角形;②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时,请直接写出此时BD的长.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】
设商品进价为x元,则售价为每件0.8×200元,由利润=售价-进价建立方程求出其解即可.【详解】解:设商品的进价为x元,售价为每件0.8×200元,由题意得0.8×200=x+40解得:x=120答:商品进价为120元.故选:B.【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用,掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价,建立方程是关键.2、D【解析】分析:由于方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,所以∆=b2﹣4ac=0,可得关于c的一元一次方程,然后解方程求出c的值.详解:由题意得,(-4)2-4(c+1)=0,c=3.故选D.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∆=b2﹣4ac:当∆>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当∆=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当∆<0时,一元二次方程没有实数根.3、B【解析】
根据题意,剩下矩形与原矩形相似,利用相似形的对应边的比相等可得.【详解】解:依题意,在矩形ABDC中截取矩形ABFE,则矩形ABDC∽矩形FDCE,则设DF=xcm,得到:解得:x=4.5,则剩下的矩形面积是:4.5×6=17cm1.【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等,分清矩形的对应边是解决本题的关键.4、D【解析】
依据三角形外角性质,角平分线的定义,以及平行线的性质,即可得到2∠ACE=∠BAC+∠B,EF=2OC,∠FCE=90°,进而得到结论.【详解】解:∵∠ACD是△ABC的外角,∴∠ACD=∠BAC+∠B,∵CE平分∠DCA,∴∠ACD=2∠ACE,∴2∠ACE=∠BAC+∠B,故A选项正确;∵EF∥BC,CF平分∠BCA,∴∠BCF=∠CFE,∠BCF=∠ACF,∴∠ACF=∠EFC,∴OF=OC,同理可得OE=OC,∴EF=2OC,故B选项正确;∵CF平分∠BCA,CE平分∠ACD,∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=×180°=90°,故C选项正确;∵O不一定是AC的中点,∴四边形AECF不一定是平行四边形,∴四边形AFCE不一定是矩形,故D选项错误,故选D.【点睛】本题考查三角形外角性质,角平分线的定义,以及平行线的性质.5、C【解析】
如图,过点A作AM⊥DC于点M,过点B作BN⊥DC于点N.则AM=BN.通过解直角△ACM和△BCN分别求得CM、CN的长度,则易得AB=MN=CM﹣CN,即可得到结论.【详解】如图,过点A作AM⊥DC于点M,过点B作BN⊥DC于点N.则AB=MN,AM=BN.在直角△ACM中,∵∠ACM=45°,AM=50m,∴CM=AM=50m.在直角△BCN中,∵∠BCN=∠ACB+∠ACD=60°,BN=50m,∴CN=(m),∴MN=CM﹣CN=50﹣(m).则AB=MN=(50﹣)m.故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.6、C【解析】
设参加酒会的人数为x人,根据每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,列出一元二次方程,解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人,依题可得:
x(x-1)=55,
化简得:x2-x-110=0,
解得:x1=11,x2=-10(舍去),
故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.7、B【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:135000=1.35×105故选B.【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.8、C【解析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可.【详解】与只有符号不同,所以的相反数是,故选C.【点睛】本题考查了相反数的定义,熟练掌握相反数的定义是解题的关键.9、B【解析】分析:先求得的值,再继续求所求数的算术平方根即可.详解:∵=2,而2的算术平方根是,∴的算术平方根是,故选B.点睛:此题主要考查了算术平方根的定义,解题时应先明确是求哪个数的算术平方根,否则容易出现选A的错误.10、B【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.【详解】解:1100万=11000000=1.1×107.故选B.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、2【解析】
根据“关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数”求出ab的值即可.【详解】∵点P(3,1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b,﹣1﹣b),∴a+b=-3,-1-b=1;解得a=-1,b=-2,∴ab=2.故答案为2.【点睛】本题考查了关于x轴,y轴对称的点的坐标,解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的坐标的性质.12、455【解析】
根据二次根式的性质即可求出答案.【详解】①原式=4;②原式==5;③原式==5,故答案为:①4;②5;③5【点睛】本题考查二次根式的性质,解题的关键是熟练运用二次根式的性质,本题属于基础题型.13、1.1【解析】【分析】先判断出x,y中至少有一个是1,再用平均数求出x+y=11,即可得出结论.【详解】∵一组数据4,x,1,y,7,9的众数为1,∴x,y中至少有一个是1,∵一组数据4,x,1,y,7,9的平均数为6,∴(4+x+1+y+7+9)=6,∴x+y=11,∴x,y中一个是1,另一个是6,∴这组数为4,1,1,6,7,9,∴这组数据的中位数是×(1+6)=1.1,故答案为:1.1.【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念,熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x,y中至少有一个是1是解本题的关键.14、2【解析】
根据算术平方根的定义,求数a的算术平方根,也就是求一个正数x,使得x2=a,则x就是a的算术平方根,特别地,规定0的算术平方根是0.【详解】∵22=4,∴=2.【点睛】本题考查求算术平方根,熟记定义是关键.15、k>1【解析】
根据正比例函数y=(k-1)x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可.【详解】因为正比例函数y=(k-1)x的图象经过第一、三象限,所以k-1>0,解得:k>1,故答案为:k>1.【点睛】此题考查一次函数问题,关键是根据正比例函数y=(k-1)x的图象经过第一、三象限解答.16、x>1【解析】
分别求出两个不等式的解集,再求其公共解集.【详解】,解不等式①,得:x>1,解不等式②,得:x>-3,所以不等式组的解集为:x>1,故答案为:x>1.【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法,属于基础题.求不等式组的解集,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)先沿y轴翻折,再向右平移1个单位,向下平移3个单位;先向左平移1个单位,向下平移3个单位,再沿y轴翻折;(2)见解析;(3).【解析】
(1)△ABC先沿y轴翻折,再向右平移1个单位,向下平移3个单位;或先向左平移1个单位,向下平移3个单位,再沿y轴翻折,即可得到△DEF;按照旋转中心、旋转角度以及旋转方向,即可得到△ABC绕点B逆时针旋转的图形△;依据点C所形成的路径为扇形的弧,利用弧长计算公式进行计算即可.【详解】解:(1)答案不唯一例如:先沿y轴翻折,再向右平移1个单位,向下平移3个单位;先向左平移1个单位,向下平移3个单位,再沿y轴翻折.(2)分别将点C、A绕点B逆时针旋转得到点、,如图所示,△即为所求;(3)点C所形成的路径的长为:.故答案为(1)先沿y轴翻折,再向右平移1个单位,向下平移3个单位;先向左平移1个单位,向下平移3个单位,再沿y轴翻折;(2)见解析;(3)π..【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转,平移,对称,解题时需要注意:平移的距离等于对应点连线的长度,对称轴为对应点连线的垂直平分线,旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小.18、(1)S=﹣2(0<t<1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)如图1,根据S=S△ABC-S△APQ,代入可得S与t的关系式;
(2)设PM=x,则AM=2x,可得AP=x=4t,计算x的值,根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值;
(3)存在,通过画图可知:N在CD上时,直线PN平分四边形APMN的面积,根据面积相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°,AC⊥BD,∴∠OAB=30°,∵AB=20,∴OB=10,AO=10,由题意得:AP=4t,∴PQ=2t,AQ=2t,∴S=S△ABC﹣S△APQ,=,=,=﹣2t2+100(0<t<1);(2)如图2,在Rt△APM中,AP=4t,∵点Q关于O的对称点为M,∴OM=OQ,设PM=x,则AM=2x,∴AP=x=4t,∴x=,∴AM=2PM=,∵AM=AO+OM,∴=10+10﹣2t,t=;答:当t为秒时,点P、M、N在一直线上;(3)存在,如图3,∵直线PN平分四边形APMN的面积,∴S△APN=S△PMN,过M作MG⊥PN于G,∴,∴MG=AP,易得△APH≌△MGH,∴AH=HM=t,∵AM=AO+OM,同理可知:OM=OQ=10﹣2t,t=10=10﹣2t,t=.答:当t为秒时,使得直线PN平分四边形APMN的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.19、(I)x≥1;(Ⅱ)x>2;(III)见解析;(Ⅳ)x≥1.【解析】
分别求出每一个不等式的解集,将不等式解集表示在数轴上即可得出两不等式解集的公共部分,从而确定不等式组的解集.【详解】(I)解不等式(1),得x≥1;(Ⅱ)解不等式(2),得x>2;(Ⅲ)把不等式(1)和(2)解集在数轴上表示出来,如下图所示:(Ⅳ)原不等式组的解集为x≥1.【点睛】此题考查了解一元一次不等式组,以及在数轴上表示不等式的解集,准确求出每个不等式的解集是解本题的关键.20、(1)证明见解析;(2)tan∠CBG=.【解析】
(1)连接OD,CD,根据圆周角定理得∠BDC=90°,由等腰三角形三线合一的性质得D为AB的中点,所以OD是中位线,由三角形中位线性质得:OD∥AC,根据切线的性质可得结论;
(2)如图,连接BG,先证明EF∥BG,则∠CBG=∠E,求∠CBG的正切即可.【详解】解:(1)证明:连接OD,CD,∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°,∴CD⊥AB,∵AC=BC,∴AD=BD,∵OB=OC,∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC,∵DF为⊙O的切线,∴OD⊥DF,∴DF⊥AC;(2)解:如图,连接BG,∵BC是⊙O的直径,∴∠BGC=90°,∵∠EFC=90°=∠BGC,∴EF∥BG,∴∠CBG=∠E,Rt△BDC中,∵BD=3,BC=5,∴CD=4,∵S△ABC=,即6×4=5BG,∴BG=,由勾股定理得:CG=,∴tan∠CBG=tan∠E=.【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用;把所求角的正切进行转移是基本思路,利用面积法求BG的长是解决本题的难点.21、【解析】试题分析:按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可.试题解析:,,.解集在数轴上表示如下点睛:解一元一次不等式一般步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,把系数化为1.22、(1)见解析;(2).【解析】
(1)矩形的性质得到,得到,根据定理证明;(2)根据全等三角形的性质、勾股定理、余切的定义计算即可.【详解】解:(1)证明:四边形是矩形,,,在和中,,,;(2),,设,,,,,,,,.【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及余切的定义,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.23、(1);(2).【解析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出乙摸到白球的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】解:(1)搅匀后从袋中任意摸出1个球
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