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文档简介
广东茂名十七中2024-2025学年高三4月一模试卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()A. B. C. D.2.如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框①处应填入的是()A. B. C. D.3.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支(单位:万元)如图2所示,则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为()A. B. C. D.4.设全集,集合,.则集合等于()A. B. C. D.5.复数的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()A.6 B.7 C.8 D.97.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.8.已知函数,若关于的方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.设,,,则的大小关系是()A. B. C. D.10.在中,内角所对的边分别为,若依次成等差数列,则()A.依次成等差数列 B.依次成等差数列C.依次成等差数列 D.依次成等差数列11.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,是圆的直径,弦的延长线相交于点垂直的延长线于点.求证:14.已知平面向量,,满足||=1,||=2,,的夹角等于,且()•()=0,则||的取值范围是_____.15.设函数,若在上的最大值为,则________.16.内角,,的对边分别为,,,若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.18.(12分)改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.安全意识强安全意识不强合计男性女性合计(Ⅰ)求的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率;(Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人,求抽到的女性人数的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82819.(12分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:123456758810141517(1)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式:,,,.20.(12分)已知函数,,且.(1)当时,求函数的减区间;(2)求证:方程有两个不相等的实数根;(3)若方程的两个实数根是,试比较,与的大小,并说明理由.21.(12分)已知等比数列中,,是和的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)记,求数列的前项和.22.(10分)设实数满足.(1)若,求的取值范围;(2)若,,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.【详解】由题意,,第1次循环,,满足判断条件;第2次循环,,满足判断条件;第3次循环,,满足判断条件;可得的值满足以3项为周期的计算规律,所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.故选:C.本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.2.C【解析】
根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.3.A【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例,再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选:A本题考查折线图与柱形图,属于基础题.4.A【解析】
先算出集合,再与集合B求交集即可.【详解】因为或.所以,又因为.所以.故选:A.本题考查集合间的基本运算,涉及到解一元二次不等式、指数不等式,是一道容易题.5.C【解析】所对应的点为(-1,-2)位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念,属于简单题.6.A【解析】
先令,找出的关系,再令,得到的关系,从而可求出,然后令,可得,得出数列为等差数列,得,可求出取最小值.【详解】解法一:由,所以,由条件可得,对任意的,所以是等差数列,,要使最小,由解得,则.解法二:由赋值法易求得,可知当时,取最小值.故选:A此题考查的是由数列的递推式求数列的通项,采用了赋值法,属于中档题.7.D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.8.C【解析】
求导,先求出在单增,在单减,且知设,则方程有4个不同的实数根等价于方程在上有两个不同的实数根,再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.【详解】依题意,,令,解得,,故当时,,当,,且,故方程在上有两个不同的实数根,故,解得.故选:C.本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法:(1)构造法:构造函数(易求,可解),转化为确定的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出的图象草图,数形结合求解;(2)定理法:先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.9.A【解析】
选取中间值和,利用对数函数,和指数函数的单调性即可求解.【详解】因为对数函数在上单调递增,所以,因为对数函数在上单调递减,所以,因为指数函数在上单调递增,所以,综上可知,.故选:A本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10.C【解析】
由等差数列的性质、同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式可得,由正弦定理可得,再由余弦定理可得,从而可得结果.【详解】依次成等差数列,,正弦定理得,由余弦定理得,,即依次成等差数列,故选C.本题主要考查等差数列的定义、正弦定理、余弦定理,属于难题.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.11.B【解析】
设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.12.D【解析】
设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.证明见解析.【解析】试题分析:四点共圆,所以,又△∽△,所以,即,得证.试题解析:A.连接,因为为圆的直径,所以,又,则四点共圆,所以.又△∽△,所以,即,∴.14.【解析】
计算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根据三角函数的有界性计算范围得到答案.【详解】由()•()=0可得()•||•||cosα﹣1×2cos||•||cosα﹣1,α为与的夹角.再由2•1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案为.本题考查了向量模的范围,意在考查学生的计算能力,利用三角函数的有界性是解题的关键.15.【解析】
求出函数的导数,由在上,可得在上单调递增,则函数最大值为,即可求出参数的值.【详解】解:定义域为,在上单调递增,故在上的最大值为故答案为:本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,属于基础题.16.【解析】∵,∴,即,∴,∴.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)答案见解析(2)【解析】
(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.18.(Ⅰ).0.2(Ⅱ)见解析,有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)见解析,【解析】
(Ⅰ)直接根据频率和为1计算得到答案.(Ⅱ)完善列联表,计算,对比临界值表得到答案.(Ⅲ)的取值为,计算概率得到分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(Ⅰ),解得.所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率.(Ⅱ)安全意识强安全意识不强合计男性163450女性44650合计2080100,所以有的把握认为交通安全意识与性别有关(Ⅲ)的取值为所以的分布列为期望.本题考查了独立性检验,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.(1);(2)见解析【解析】试题分析:(I)由题意可得,,则,,关于的线性回归方程为.(II)由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元,它们所对应的概率分别为:,,,.据此可得分布列,计算相应的数学期望为元.试题解析:(I)依题意:,,,,,,则关于的线性回归方程为.(II)二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元,它们所对应的概率分别为:,,,,.所以,总金额的分布列如下表:03006009001200总金额的数学期望为元.20.(1)(2)详见解析(3)【解析】
试题分析:(1)当时,,由得减区间;(2)因为,所以,因为所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,所以试题解析:(1)当时,,由得减区间;(2)法1:,,,所以,方程有两个不相等的实数根;法2:,,是开口向上的二次函数,所以,方程有两个不相等的实数根;(3)因为,,又在和增,在减,所以.考点:利用导数求函数减区间,二次函数与二次方程关系21.(1)(2)【解析】
(1)用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件,解方程组即可求得公比,代入等比数列的通项公式即可求得结果;(2)把(1)中求得的结果代入bn=an•log
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