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文档简介
福建省永安一中2025届高三高中毕业生第二次复习统一检测试题数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.3.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.24.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称5.已知向量,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件6.设正项等差数列的前项和为,且满足,则的最小值为A.8 B.16 C.24 D.367.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.8.函数,,的部分图象如图所示,则函数表达式为()A. B.C. D.9.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是10.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.12.若复数满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.14.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.15.已知集合,若,且,则实数所有的可能取值构成的集合是________.16.已知数列为等差数列,数列为等比数列,满足,其中,,则的值为_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,平面平面,若,四边形是平行四边形,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若点在线段上,且平面,,,求二面角的余弦值.18.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.19.(12分)如图,四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中点.(1)求证:VA∥平面BDE;(2)求证:平面VAC⊥平面BDE.20.(12分)在△ABC中,分别为三个内角A、B、C的对边,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面积.21.(12分)中国古代数学经典《数书九章》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).(1)证明:平面,并判断四面体MCDA是否是鳖臑,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知函数.(1)当时,解关于x的不等式;(2)当时,若对任意实数,都成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.2.B【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.3.C【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.4.C【解析】
依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.5.A【解析】
向量,,,则,即,或者-1,判断出即可.【详解】解:向量,,,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A.本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.6.B【解析】
方法一:由题意得,根据等差数列的性质,得成等差数列,设,则,,则,当且仅当时等号成立,从而的最小值为16,故选B.方法二:设正项等差数列的公差为d,由等差数列的前项和公式及,化简可得,即,则,当且仅当,即时等号成立,从而的最小值为16,故选B.7.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8.A【解析】
根据图像的最值求出,由周期求出,可得,再代入特殊点求出,化简即得所求.【详解】由图像知,,,解得,因为函数过点,所以,,即,解得,因为,所以,.故选:A本题考查根据图像求正弦型函数的解析式,三角函数诱导公式,属于基础题.9.D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.10.B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题11.B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.12.C【解析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的除法运算化简,再由复数模的计算公式求解.【详解】解:由,得,∴.故选C.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.14.3﹣4i【解析】
计算得到z2=(2+i)2=3+4i,再计算得到答案.【详解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,则.故答案为:3﹣4i.本题考查了复数的运算,共轭复数,意在考查学生的计算能力.15..【解析】
化简集合,由,以及,即可求出结论.【详解】集合,若,则的可能取值为,0,2,3,又因为,所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.本题考查集合与元素的关系,理解题意是解题的关键,属于基础题.16.【解析】
根据题意,判断出,根据等比数列的性质可得,再令数列中的,,,根据等差数列的性质,列出等式,求出和的值即可.【详解】解:由,其中,,可得,则,令,,可得.①又令数列中的,,,根据等差数列的性质,可得,所以.②根据①②得出,.所以.故答案为.本题主要考查等差数列、等比数列的性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推导出BC⊥CE,从而EC⊥平面ABCD,进而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,从而BD⊥AC,进而四边形ABCD是菱形,由此能证明AB=AD.(Ⅱ)设AC与BD的交点为G,推导出EC//FG,取BC的中点为O,连结OD,则OD⊥BC,以O为坐标原点,以过点O且与CE平行的直线为x轴,以BC为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【详解】(Ⅰ)证明:,即,因为平面平面,所以平面,所以,因为,所以平面,所以,因为四边形是平行四边形,所以四边形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)设与的交点为,因为平面,平面平面于,所以,因为是中点,所以是的中点,因为,取的中点为,连接,则,因为平面平面,所以面,以为坐标原点,以过点且与平行的直线为轴,以所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系.不妨设,则,,,,,,,设平面的法向量,则,取,同理可得平面的法向量,设平面与平面的夹角为,因为,所以二面角的余弦值为.解法二:(Ⅱ)设与的交点为,因为平面,平面平面于,所以,因为是中点,所以是的中点,因为,,所以平面,所以,取中点,连接、,因为,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨设,因为,,在中,,所以,所以二面角的余弦值为.本题考查求空间角中的二面角的余弦值,还考查由空间中线面关系进而证明线线相等,属于中档题.18.(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.【详解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以点P的直角坐标为(1,1).(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,依题意,点M对应的参数为,所以|PM|=||.本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.19.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连结OE,证明VA∥OE得到答案.(2)证明VO⊥BD,BD⊥AC,得到BD⊥平面VAC,得到证明.【详解】(1)连结OE.因为底面ABCD是菱形,所以O为AC的中点,又因为E是棱VC的中点,所以VA∥OE,又因为OE⊂平面BDE,VA⊄平面BDE,所以VA∥平面BDE;(2)因为VO⊥平面ABCD,又BD⊂平面ABCD,所以VO⊥BD,因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,VO,AC⊂平面VAC,所以BD⊥平面VAC.又因为BD⊂平面BDE,所以平面VAC⊥平面BDE.本题考查了线面平行,面面垂直,意在考查学生的推断能力和空间想象能力.20.(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,问题得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【详解】(1)由题意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式,考查了转化思想及化简能力,属于基础题.21.(1)证明见解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根据是球的直径,则,又平面,得到,再由线面垂直的判定定理得到平面,,进而得到,再利用线面垂直的判定定理得到平面.(2)以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,设,由,解得,得到,从而得到,然后求得平面的一个法向量,代入公式求解.【详解】(1)因为是球的直径,则,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根据证明可知,四面体是鳖臑.它的每个面的直角分别是,,,.(2)如图,以A为原点,,,所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,则,,,,.M为中点,从而.所以,设,则.由,得.由得,即.所以.设平面的一个法向量为.由.取,,,得到.记与平面所成角为θ,则.所以直线与
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