二模文科数学试题及答案

二模文科数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共50分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x，则f(x)的对称中心为：

A.(0,0)

B.(1,-1)

C.(0,-1)

D.(1,0)

2.若等差数列{an}的公差d>0，且a1+a5=a2+a4，则数列{an}的通项公式为：

A.an=2n-1

B.an=n^2-1

C.an=n

D.an=n^2

3.若直线l：x+2y-1=0与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，则弦AB的中点到原点的距离为：

A.2

B.1

C.√2

D.√3

4.已知等比数列{an}的公比q>1，且a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=54，则数列{an}的通项公式为：

A.an=2^n

B.an=3^n

C.an=6^n

D.an=9^n

5.若函数f(x)=x^3-3x在区间[0,2]上的最大值为1，则函数f(x)在区间[-2,0]上的最大值为：

A.-1

B.1

C.-3

D.3

二、填空题（每题5分，共50分）

6.函数f(x)=x^2-2x+1的图像的对称轴方程为______。

7.若等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差d为______。

8.圆C：x^2+y^2=4的圆心坐标为______。

9.若函数f(x)=x^3-3x在区间[0,2]上的最小值为-1，则函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为______。

10.若等比数列{an}的公比q>1，且a1+a2+a3=6，a4+a5+a6=54，则数列{an}的公比q为______。

三、解答题（每题20分，共60分）

11.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的图像的对称中心。

12.已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，求该数列的前10项和。

13.已知直线l：x+2y-1=0与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，求弦AB的长度。

四、解答题（每题20分，共60分）

14.已知函数f(x)=(x-1)^2-2，求函数f(x)的图像的顶点坐标和对称轴方程。

15.已知等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，求该数列的前n项和Sn的表达式。

16.已知直线l：2x-y+1=0与圆C：x^2+y^2=4相交于A、B两点，求弦AB的中垂线方程。

五、证明题（每题20分，共40分）

17.证明：若等差数列{an}的第一项a1=1，公差d=2，则数列{an}的任意两项之和大于等于4。

18.证明：若等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，则数列{an}的任意两项之积大于等于1。

六、应用题（每题20分，共40分）

19.某工厂生产一批产品，已知每件产品的成本为100元，售价为150元。为了促销，工厂决定对每件产品进行打折，使得销售利润提高20%。求打折后的售价。

20.某市计划修建一条长为10公里的公路，已知每公里的修建成本为100万元。为了筹集资金，市政府决定发行债券，每张债券面值为100万元，年利率为5%。求市政府至少需要发行多少张债券才能筹集到足够的资金修建公路。

试卷答案如下：

一、选择题

1.答案：B

解析思路：对称中心为函数图像的对称轴与y轴的交点，计算可得对称中心为(1,-1)。

2.答案：C

解析思路：等差数列的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d，根据题意，a1+a5=a2+a4，代入得a1+2d=a1+d+a1+d，解得d=0，所以an=a1，即an=n。

3.答案：C

解析思路：弦AB的中点坐标为直线l与圆C的交点坐标的平均值，计算可得中点坐标为(1,-1)，到原点的距离为√2。

4.答案：A

解析思路：根据等比数列的性质，a4=a1*q^3，a5=a1*q^4，a6=a1*q^5，代入a4+a5+a6=54，得a1*q^3+a1*q^4+a1*q^5=54，化简得a1*q^3*(1+q+q^2)=54，代入a1+a2+a3=6，得a1+aq+aq^2=6，解得q=2，代入a1+a2+a3=6，得a1=1，所以an=2^n。

5.答案：B

解析思路：函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为1，对称轴方程为x=1，代入x=-2，得f(-2)=-8+6=-2，所以函数f(x)在区间[-2,0]上的最大值为1。

二、填空题

6.答案：x=1

解析思路：函数f(x)=x^2-2x+1是一个完全平方公式，其图像的对称轴为x=1。

7.答案：1

解析思路：等差数列的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d，根据题意，a1+a5=a2+a4，代入得a1+2d=a1+d+a1+d，解得d=0，所以公差d=1。

8.答案：(0,0)

解析思路：圆C的方程为x^2+y^2=4，圆心坐标为(0,0)。

9.答案：-1

解析思路：函数f(x)在区间[0,2]上的最小值为-1，对称轴方程为x=1，代入x=-2，得f(-2)=-8+6=-2，所以函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为-1。

10.答案：2

解析思路：根据等比数列的性质，a4=a1*q^3，a5=a1*q^4，a6=a1*q^5，代入a4+a5+a6=54，得a1*q^3*(1+q+q^2)=54，代入a1+a2+a3=6，得a1+aq+aq^2=6，解得q=2。

三、解答题

11.答案：对称中心为(1,-2)，对称轴方程为x=1。

解析思路：函数f(x)=(x-1)^2-2是一个完全平方公式，其图像的顶点坐标为(1,-2)，对称轴方程为x=1。

12.答案：Sn=5n+5/2。

解析思路：等差数列的前n项和Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，代入a1=3，d=2，得Sn=n/2*(6+2(n-1))，化简得Sn=5n+5/2。

13.答案：弦AB的长度为2√3。

解析思路：弦AB的长度等于圆C的直径，即2r=2√4=2*2=4，所以弦AB的长度为2√3。

四、解答题

14.答案：顶点坐标为(1,-2)，对称轴方程为x=1。

解析思路：函数f(x)=(x-1)^2-2是一个完全平方公式，其图像的顶点坐标为(1,-2)，对称轴方程为x=1。

15.答案：Sn=n^2+2n。

解析思路：等差数列的前n项和Sn=n/2*(2a1+(n-1)d)，代入a1=3，d=2，得Sn=n/2*(6+2(n-1))，化简得Sn=n^2+2n。

16.答案：中垂线方程为x+2y=3。

解析思路：弦AB的中垂线垂直于直线l，斜率为-1/2，设中垂线方程为y=mx+b，代入直线l的方程得2x-y+1=0，解得m=1/2，代入中垂线方程得y=(1/2)x+b，代入圆C的方程得x^2+((1/2)x+b)^2=4，化简得x^2+(1/4)x^2+bx+b^2=4，代入圆C的方程得(5/4)x^2+bx+b^2-4=0，由于圆C与中垂线只有一个交点，所以判别式Δ=b^2-4*(5/4)*(b^2-4)=0，解得b=3，所以中垂线方程为x+2y=3。

五、证明题

17.答案：证明如下：

解析思路：等差数列{an}的第一项a1=1，公差d=2，所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1，任意两项之和为a1+a2+a3+a4+a5+...+an，代入an=2n-1，得2a1+2a2+2a3+2a4+2a5+...+2an=2(a1+a2+a3+a4+a5+...+an)=2Sn，所以任意两项之和大于等于4。

18.答案：证明如下：

解析思路：等比数列{an}的第一项a1=1，公比q=2，所以an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)，任意两项之积为a1*a2*a3*a4*a5*...*an，代入an=2^(n-1)，得a1*a2*a3*a4*a5*...*an=2^(1+2+3+...+(n-1))=2^(n*(n-1)/2)，由于n*(n-1)/2为整数，所以任意两项之积大于等于1。

六、应用题

19.答案：打折