江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试（1.5模）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试（1.5模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=xx>a,BA．aa≥12 B．aa>2．若抛物线y=12x2的准线为直线l，则lA．3 B．32 C．3743．在公差不为0的等差数列an中，若as+atA．53 B．95 C．654．若非零向量a，b满足a=2b，且向量b在向量a上的投影向量是−14a，则向量A．π6 B．2π3 C．55．在复平面内，复数z=sinα−2sinβA．−18 B．154 C．16．已知(1+x)2A．60 B．80 C．84 D．1207．已知一几何体上半部分为圆台PO，下半部分为圆锥SO，其中圆锥SO底面的半径为r，高为h．圆台PO的两底面的半径分别为r和217r，高为2hA．10+21π B．210+218．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，称点Px0,y0和直线l:x0xa2+y0yb2A．x+2y−4=0 B．二、多选题9．某市对高三年级学生进行体育测试，其中甲班的成绩X与乙班的成绩Y均服从正态分布，且X∼N120A．EX=120C．P(X<10．把函数f(x)=3A．f(xB．f(x)C．f(x)D．若f(x)在区间[−11．已知正项等比数列an的公比为q，前n项的积为Tn，当且仅当n=99时，A．0B．数列nTC．使数列nTn的前n项的积取最大值时，最大正整数D．若数列nTn的前n项的积大于1成立最大正整数n的值为396，则Tn三、填空题12．一组从小到大排列的数据：0,1,3,4,613．从公比不为1的正项等比数列an的前8项中任取三项，则这3项能构成等比数列的概率为14．已知y=fx−3x是定义域为R的偶函数，fx的导函数四、解答题15．近年来，盲盒经济在消费市场中掀起了一阵热潮，成为一种普遍的经济现象．商家通过不断变换花样吸引消费者．某商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出3款不同颜色（分别记为红色、黄色、蓝色）的某一商品，开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为13(1)若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率；(2)若某顾客只想要红色商品，与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给他为了得到红色商品，求该顾客的平均花费．16．在四棱锥P−ABCD中，底面ABC

(1)证明：AB(2)求平面ACP与平面17．已知△ABC的三边a(1)求证：tanA(2)若B∈π618．若函数fx=λ(1)当λ=1时，求函数fx(2)求a的最小值；(3)求证：当x>0时，19．双曲线Ei:25x2−9y2=a(1)求双曲线Ei(2)作射线l:y=kxx≥0（异于l1①求证：A1②若k1=1,k2=答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省南通市如皋市2025届高三第一次适应性考试（1.5模）数学试题》参考答案题号12345678910答案CADBCDDAACABD题号11答案ABD1．C【分析】由对数函数的单调性可得集合B，再由集合间的包含关系可得.【详解】log1因为A∩B=所以a≤0，即实数a的取值范围为故选：C2．A【分析】求出准线l的方程，进而可求出圆心到直线l的距离，结合勾股定理可求得结果.【详解】抛物线x2=2圆C的圆心为原点，半径为1，圆心到直线l的距离为d=所以，l截圆C所得的弦长为21故选：A.3．D【分析】依题意可得s+【详解】∵as+at=2∴4当且仅当2t3s=s故选：D．4．B【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.【详解】b在a上投影向量a→∴a⋅b则，由于，，故选：B．5．C【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可.【详解】sinα−∴1−4cosα故选：C．6．D【分析】根据条件，利用多项式的运算及组合，得a2【详解】由题知a2故选：D．7．D【分析】组合体的存在外接球，作出图形，由图形去列出关系式，从而求出半径和高，然后求体积．【详解】外接球半径R，则4πMR设外接球球心M，在Rt△P在Rt△M则(5−∴V故选：D．8．A【分析】根据极点极线的定义，写出极点坐标和极线方程，再利用切点弦和弦中点斜率乘积为定值，得直线MN【详解】设Px0,−1整理得,x由x−2y=MT=TN，则TMN:y故选：A.9．AC【分析】根据条件，利用正态分布的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.【详解】因为X∼N120,9所以选项A正确，选项B错误，对于选项C，因为P(对于选项D，易知P(故选：AC．10．ABD【分析】利用辅助角公式化简函数f(x)【详解】f(由f(x+5π而0<ω<3，则对于A，f(x)对于BC，由2x+π6=π2对于D，由−π12≤x<a，得则2a+π故选：ABD11．ABD【分析】根据等比数列结合前n项的积分别判断A，B，再根据通项与1的大小关系计算前n项的积的最大值判断C，D.【详解】正项等比数列，当且仅当n=99时，则0<q<1且1≤Tna1∴前197项积最大，C错误；nTn的前na1qn即a1q99<1,a1∴T故选：ABD．12．11【分析】根据百分位数计算规则得到第80百分位数，从而得到方程，解得即可.【详解】原来有10个数据，10×80%=8删去x后有9个数据，9×80%=7.2依题意可得x+112故答案为：1113．3【分析】根据等比数列的性质，可知任取3项能构成等比数列共有12种取法，根据计数原理，前8项中任取三项，共有C8【详解】从公比不为1的正项等比数列an的前8项中任取三项，共有C其中能构成等比数列的有a1,a2,a3，a2,a3,a4，a3,a4,假设任取三项并能构成等比数列为事件A，所以PA故答案为：31414．3【分析】先根据y=f(x)−3x是偶函数得出f(【详解】因为y=f(x)−3f(−x)+因为f′(1+x)=用−x代替x可得f将f′(−x)用x+2代替x可得由②-①可得：f′所以f′(x所以f′在f′(x)+又因为f′(x)的图象关于直线在f′(x)+f′所以f′(2故答案为：3.15．(1)2(2)65【分析】（1）由二项分布求解概率；（2）记该顾客打开盲盒的次数为X，X的所有可能取值为1,【详解】（1）记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件A，PA（2）为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为X，X的所有可能取值为1,∴PPX∴XX1234P1248∴则该顾客的平均花费为652716．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用面面垂直的性质可得PA⊥平面（2）以A为原点，以AB,AC,AP【详解】（1）∵平面PAC⊥平面PACPA⊂平面P又因为AB⊂平面AB（2）因为底面ABCDAB∴A∴A由（1）PA⊥以A为原点，以AB,A

∴C0∴设平面CDP的一个法向量∴n令x=23而平面ACP的一个法向量设平面ACP与平面C∴cos17．(1)证明见解析(2)5【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到5a（2）有了A，B两角之间的正切关系，直接将C用A和B表示，转变成关于B的函数，借助函数单调性求范围即可．【详解】（1）由正弦定理得5∴cosB∴∴sin（2）tan∵π6<tanC=54t则原函数也是在t∈∴33<4t18．(1)y(2)1(3)证明见解析【分析】（1）设x0,y0为（2）设Px0,y0为fx与（3）证：x>0时，x1−1【详解】（1）当λ=1时，fx=lnx，设f′x=1x,∴fx与gx（2）设Px0,y0为λlnx0=⇒ax令h当1e<x<1当x>1时，h′x<0,hx当且仅当x0=1,λ（3）由（2）知，a⇔证：x>0时，即证：x0x+令Fx当0<x<x0时，F′x<0当x=x0时，F′x∴F19．(1)34(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据题意可得Ei:x（2）①中将直线与双曲线方程分别联立求出A1a125−9k12,k1a125−9k12，B1a125−9k22,k2a125−9k22【详解】（1）双曲线Ei∴双曲线Ei的离心率e（2）①证明：由题意将l1与双曲线联立，y化简得x2=a∴A同理将l2与双曲线联立，y=k∴∴同理A∴kA2B2从而可证∴A②由（1）可知，当k1=1时，A直线AiB