安徽省阜阳市北外附属新华外国语高级中学2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）

第1页/共1页北外新华2024-2025学年第一学期高二年级期末检测数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第一部分（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l：，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把一般式转化为斜截式即可得出斜率.【详解】由题意得：直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为.故选：B2.已知等比数列中，，，则公比（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得.故选：B.3.直线与直线的位置关系是（）A.垂直 B.相交且不垂直 C.平行 D.平行或重合【答案】A【解析】【分析】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断.【详解】当时，直线，直线，此时两直线垂直，当时，直线的斜率，直线的斜率，因为，则两直线垂直，综上两直线位置关系是垂直，故选：A.4.已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（）A. B. C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】由的长度的M点坐标，求得的周长.【详解】设M点坐标为，由题，，所以，代入抛物线方程得，所以，的周长为.故选：A.5.已知，，且，则和可分别作为（）A.双曲线和抛物线的离心率 B.双曲线和椭圆的离心率C.椭圆和抛物线的离心率 D.两双曲线的离心率【答案】A【解析】【分析】由题意可得，结合圆锥曲线离心率范围即可得解.【详解】由题意，，且，所以，解得，所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率.故选：A.6.如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解．【详解】由已知，故选：D．7.已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，所以，又，故，故选：B8.在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解．【详解】设分别为与同方向的单位向量，则．得，，由题可得，即，即，解得．故选：B【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9已知直线：与圆：相交于，两点，则（）A.圆心的坐标为 B.圆的半径为C.圆心到直线的距离为2 D.【答案】ACD【解析】【分析】化圆的方程为标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误；对于C，点到直线：的距离，C正确；对于D，，D正确.故选：ACD10.已知双曲线的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为，则（）A.双曲线C的焦点坐标为B.双曲线C的渐近线方程为C.点在双曲线C上D.直线与双曲线C恒有两个交点【答案】AB【解析】【分析】由题意求出，，，即可求得双曲线方程、焦点坐标、渐近线方程即可判断A项、B项；点代入双曲线方程可判断C项；求出直线恒过定点，可判断点在双曲线内，当过该点的直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个焦点即可判断D项.【详解】由题意知，，解得，所以双曲线方程为，所以焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，故A项正确，B项正确；对于C项，因为，所以点不在双曲线上，故C项错误；对于D项，由整理得，所以直线恒过点，又因为，所以点在双曲线内，所以当时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D项错误.故选：AB.11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可.【详解】依题意可得，A正确；由，B错误；，C正确；，累加得，D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用题目给定定义，然后结合累加法得到所证明的等量关系即可．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果.【详解】∵，，∴，，，∴，∴.故答案为：.13.数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则__________.【答案】116【解析】【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案.【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为，故为首项为2，公差为6的等差数列，所以，所以.故答案为：11614.已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是__________.【答案】【解析】【分析】首先根据题意，利用向量变形得，如图在上取一点M，使得，连接，则，再结合内心的性质得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，如图，在上取一点M，使得，连接，则，则点为上靠近点的三等分点，所以，所以，设，则，由椭圆定义可知：，即，所以，所以，，,故点与上顶点重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以椭圆离心率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的三个顶点分别为.（1）求边所在直线的方程；（2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程；（3）求的外接圆的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程；（2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程；（3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程.【小问1详解】由，由两点式可得边所在直线的方程为，即边所在直线的方程；【小问2详解】由，可得的中点为，又，所以边的垂直平分线的斜率为，所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即.【小问3详解】设的外接圆的方程为，则，解得，所以的外接圆的方程为.16.已知是等差数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由等差数列通项公式基本量、d列方程求解，即可由定义得出通项公式；（2）由列项相消法求和.【小问1详解】设等差数列的前n项为，公差为d，则，解得.故数列通项公式；【小问2详解】，故17.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可得到线线垂直；（2）利用空间向量的坐标运算求二面夹角的正弦值.【小问1详解】因为底面，底面，则，因为四边形为矩形，所以，又因为，平面，所以平面，又因平面，故.【小问2详解】因为底面，，所以以为坐标原点，建立如图所示坐标系，则设平面的法向量为，则，取，可得,易知平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，所以平面与平面夹角的正弦值为.18.椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点．（1）求椭圆C的方程；（2）若面积为3，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及，即可求解.【小问1详解】由已知可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】当直线与轴重合时，不符合题意，设直线的方程为，联立，可得，，设，由韦达定理可得，，则，则，解得，所以直线的方程为.19.对于，若数列满足，则称这个数列为“K数列”．（1）已知数列1，2m，是“K数列”，求实数m的取值范围．（2）是否存在首项为的等差数列为“K数列”，且其前n项和使得恒成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知各项均为正整数的等比数列是“K数列”，数列不是“K数列”，若，试判断数列是否为“K数列”，并说明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列符合要求，从而得到成立，再分类讨论和情况，即可得到答案.（3）首先设数列的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案.【小问1详解】由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．【小问2详解】不存在．理由：假设存在等差数列符合要求，设公差为d，则，由得．由题意，得对均成立，即．当时，；当时，恒成立，因为，所以，与矛盾，所以这样的等差数列不存在．【小问3详解】设数列的公比为q，则．因为的每一项均为