2025届四川省联合性联考二诊模拟考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届四川省联合性联考二诊模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间中向量AB=（0，1，0），向量AC的单位向量为（−33，33，−A．33 B．63 C．23【答案】B【分析】由点B到直线AC的距离为：AB⃗【详解】设向量AC的单位向量为e，则e=−3点B到直线AC的距离为：AB⃗故选：B.2．双曲线x²a²−y²12=1a>0两个焦点F1,F2A．1 B．1或9 C．9 D．3【答案】C【分析】由双曲线的定义和性质可得；【详解】由题意可得b2=12,2c=8，即又a2+b由双曲线的定义可得MF1−又MF1+故选：C3．若函数y=2−x−1,x≤0x12,x>0，当x=A．−1,1； B．−1,+∞C．−∞,−2∪0,+∞【答案】D【分析】分x0≤0与x0【详解】当x0≤0时，2−x0−1>1，解得：x0<−1，与x0≤0取交集，结果为x0故选：D4．存在狄利克雷函数fx=0,x为无理数1,x为有理数，若x=2A．3 B．6 C．12 D．13【答案】D【分析】令fx=1，则x为有理数，从而得到−1+y22必须是整数，令−1+y2【详解】令fx=1，则又因为x=2−1+y即x=2−1+y要使x=2−1+y令−1+y22因为y∈0,5，所以y2∈解得−1所以k的可能取值有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共13个，所以fx=1的次数为则fx的所有值之和为13故选：D5．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（

）A．2πR2 B．94πR2【答案】B【详解】设内接圆柱的底面半径为r(0<r<R)，母线长为ℎ，则rR=3R−ℎ3R，即ℎ=3R−3r，则该圆柱的全面积为S=2πrr+3R−3r6．若方程x2−2x+mx2−2x+n=0的四个根组成一个首项为A．1 B．3C．12 D．【答案】C【分析】设方程x2−2x+mx【详解】解：设方程x2−2x+mx则x1+x又因为方程x2−2x+mx设x1=1设等差数列的公差为d，则3d=x解得d=12，则等差数列为所以m=7则m−n=故选：C7．下列说法正确的个数为（

）①180的正因数有16个②以正方体为顶点的三棱锥有70个③5555④投一枚质地均匀的硬币十次，正面朝上频率在0.4,0.6的概率为21A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据180的因数计算判断①，分不同的四点共面情况求解判断②，根据二项式定理计算判断③，应用重复抛掷10次正面朝上出现的频率在0.4,0.6得到4≤X≤6，再结合二项分布即可求解④.【详解】因为180=2×2×3×3×5，所以180的正因数有1,2,3,5,4,6,10,9,15,12,18,20,30,45,36,60,90,180，共18个，①不正确；以正方体为顶点的三棱锥，首先从8个顶点中选4个，共有C8在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，所以满足条件的结果有C855=C=56抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为PA重复抛掷10次正面朝上出现的频率在0.4,0.6内，即4≤X≤6，所以P(4≤X≤6)=C正确的个数是1个.故选：A.8．已知长方形的四个顶点A0,0、B2,0、C2,1、D0,1.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA、AB上的点P2、A．13,1 B．13,23【答案】C【详解】解：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1-x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ=P1B/P0B=x．又tanθ=CP1/CP2=(1-x)/CP2=x，∴CP2=(1-x)/x=1/x-1．而tanθ=P3D/P2D

=DP3/(3-1/x)=x，∴DP3=x（3-1/x）=3x-1．又tanθ=AP3/AP4=(2-3x)/AP4=x，∴AP4=2/x-3．依题设1＜AP4＜2，即1＜2/x-3＜2，∴4＜2/x＜5，1/4＞x/2＞1/5．∴1/2＞tanθ＞2/5二、多选题9．我们知道一元二次方程a2x2+a1x+A．x1+x2+B．x1x2+x2C．x1xD．x12+x2【答案】ACD【分析】用类比推理得到−2x3+4【详解】设方程−2x3+4则方程可变形为−2x−展开可得−2比较可得，−−2−2x−−2x1故选：ACD10．如图所示，在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点M,N,P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用线面垂直的判定定理证明AD满足，结合空间向量在BC中证明直线l与平面内的某条直线不垂直，即可得线面不可能垂直.【详解】如图所示，正方体ABCD−A′B′C′D∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BB′⊥平面ABCD，AC⊂∴BB∵AC⊥BD，BD∩BB′=B，∴AC⊥平面DBB′，∴D∵MP//AC，∴DB′⊥MP，同理，可证D∵MP∩NP=P，MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，∴DB′⊥平面MNP，即l垂直平面MNP在D中，由A中证明同理可证l⊥MP，l⊥MN，又∵MP∩MN=M，∴l⊥平面MNP.故D正确.假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.对于B选项建立直角坐标系如图：设棱长为2，M(1,0,0),N(2,2,1)，直线l所在体对角线两个顶点坐标(0,0,2),(2,2,0)，所以其方向向量n=(2,2,−2),n⋅MN=4≠0同理可在C中建立相同直角坐标系，M(2,0,1),N(1,2,0),MNn⋅MN=4≠0故选：AD.【点睛】此题考查空间线面垂直的辨析，在四个图形中分别判定是否满足线面垂直，根据线面垂直的判定定理证明.11．函数fx=x+1exA．fx的极小值点为B．当fx=kC．若b=g23，c=gD．若fx=gx【答案】BCD【分析】由fx求得f′x，解不等式f′x>0,f′x<0可得单调区间得极值点，即可判断A；fx=k有两解相当于fx的图象与y=k有两个不同交点，由A作出fx的图象，即可判断B；根据【详解】对于A，f′x=x+2ex，由f′∴fx在−∞,−2上单调递减；在−2,+∞上单调递增.故fx在x=−2对于B，由A知可知fx单调性，fx极小值为f−2故x<−1时，fx=x+1ex<0，当x>−1时，fx=x+1ex>0.则方程fx=k有两解相当于fx图象与y=k对于C，因为gx由fx向右平移3个单位得到，所以由A知gx在−∞,1上单调递减；在1,+∞上单调递增.故对于D，由fx=gx，得x+1ex=x−2故选：BCD.三、填空题12．x2−12x【答案】−【分析】先求出二项式x2−12x9的展开式的通项公式，令x的指数等于9【详解】x2−1令18−3r=9⇒r=3，所以x2−12x9故答案为−21【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F7,0，直线y=x−1与其相交于M，N两点，MN中点横坐标为−2【答案】x【分析】设双曲线的标准方程为x2a2−y2b【详解】设点Mx1,由题意可得x1+x22直线MN的斜率为kMN则x12a所以b2由于双曲线的一个焦点为F7,0，则a2+b因此，该双曲线的标准方程为x2故答案为：x2【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.14．已知c>0.设P：函数y=cx在R上单调递减.Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，则c的取值范围为【答案】(0,【分析】根据指数函数单调递减可得0<c<1,根据不等式x+x−2c>1的解集为R,得到x+x−2c的最小值大于1.再根据P和Q【详解】解：函数y=cx不等式x+|x−2c|>1的解集为R⇔x+x−2cx+x−2c=2x−2c,x≥2c2c,x<2c即Q:c>12.因为P所以当P正确，Q错误，则0<c<10<c≤12当P错误，Q正确，则c≥1c>1所以c的取值范围为(0,故答案为：(0,四、解答题15．记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asin(1)求sinA(2)若b=2，求a【答案】(1)2(2)1,【分析】（1）先应用切化弦，再应用正弦定理结合两角和差公式得出A=π（2）先根据三角形是锐角三角形得出π4【详解】（1）因为asinB=c所以asin又因为sinB>0，所以a应用正弦定理得sinA所以sinA因为sinB>0，所以sin所以tanA=1,A∈0,π（2）因为C是锐角△ABC的内角，又因为A=π4，所以得出所以sinC∈设a边上的高为ℎ，S=1ℎ=bc×16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1(Ⅰ)求A1B与平面(Ⅱ)求点A1到平面AED【答案】（Ⅰ）73；（Ⅱ）2【分析】（Ⅰ）先利用线面角的定义找出线面角，再利用解直角三角形进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，再利用面面垂直的性质作出线面垂直，得到点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连接EF,FC，∵D,E分别是CC1,A1B的中点，又DC⊥平面ABC，则CDEF为矩形，连接DE，G是△ADB的重心，且G∈DF，在直角三角形EFD中，EF2=FG⋅FD=13∴cos（Ⅱ）∵ED⊥AB,ED⊥EF,又EF∩AB=F,∴ED⊥面即平面AED⊥平面A1AB，作A1K⊥AE，垂足为K，所以A1K⊥平面AED，即A1K是A1到平面AED的距离，在三角形△17．小杨上的高中食堂有3种套餐，小王第一次选择A，B，C三种套餐的概率相等，若某次选择A之后，下一次仍会在三种套餐以相等概率继续选择，若某次选择B套餐之后，下一次只会在B，C两种套餐中以相等概率去选择，在某次选择C套餐之后，以后只会选择C套餐，根据以上规则回答下列问题：(1)试写出第n次选择时，小王选A套餐的概率表达式，并求出第3次选择B套餐的概率.(2)试写出第n次选择时，小王选B套餐的概率表达式，并求出选A套餐的均值.【答案】(1)P(2)PBn【分析】（1）应用古典概型结合独立事件的乘积公式计算求解；（2）先应用独立事件乘法公式求概率，再应用错位相减法计算即可.【详解】（1）设事件An，Bn，Cn为分别为第n次选择A，B，C如图得PAPB3=P（2）由（1）知：PBnPB则32②－①得到：1PBX1234．．．nP1111．．．1EX则13③－④得：23EX18．已知常数a>0,在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且BEBC=CFCD=DGDA(1)试求P的一个坐标，并计算出P的轨迹方程.(2)是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)P0,2a(2)答案见解析【分析】（1）根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，（2）根据方程化简再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.【详解】（1）如图建系，按题意有A−2,0,B2,0,C设BEBC=CFCD=DG直线OF的方程为：2ax+(2k−1)y=0①直线GE的方程为：−a(2k−1)x+y−2a=0②取k=12时，2ax=0y−2a=0，计算得x=0从①，②消去参数k，得点P(x,y)的坐标满足方程2（2）整理得:x2当a2=1当a2≠12时，点当0<a2<12时，点P到椭圆两个焦点−当a2>12时，点P到椭圆两个焦点0,a−a19．设数列bn是集合2t+2s|0≤s<t且s,t∈Z中的数从小到大排列而成，即a1=3，（1）写出这个三角形的第四行和第五行的数；（2）求a100（3）设bn是集合2t+2s+2【答案】（1）第四行为17，18，20，24；第五行为33，34，36，40，48；（2）【分析】（1）根据集合元素的属性，结合指数的运算可得结果；（2）根据等差数列的求和公式，判断出t=14，s=8，从而可得结果；（3）根据元素特征可得当r=n+1时，可得12Cn1Cn+11=nn+12个数，利用分组求和法可求得以r=n+1时所得数的个数为各项的数列dn的前n项和Tn【详解】（1）由题意知：第i行时，t=i，∴第四行为24+20，24+21，24+2同理可得：第五行为33，34，36，40，48.（2）以三角形数表中每行的数字个数作为数列各项建立等差数列cn，则c1=1，c则