2024年高考数学真题完全解读（新高考Ⅰ卷）

2024年高考数学真题完全解读（新高考I卷）

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辿试卷总评~~jp

2024年高考数学全国卷，考主干、考能力、考素养，重思维、重创新、重应用，突出考查思维过程、思

维方法和创新能力.创设全新的试卷培构，减少题量，给学生充足的思考时间，加强思维考直，强化素养导向,

给不同水平的学生提供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才选拔，助推素质教行发展，助力教育强国

建设.

一、依托高考评价体系，创新试卷结构设计

2024年数学新课标卷调减了题量，同时增加了解答题的总分值，优化了多选题的赋分方式，强化了考

查思维过程和思维能力的功能.试卷题量减少能够增加用于思考的时间，学生不必过多地关注做题的进度

和速度，可以更专注、更深入地思考，更从容地试错，使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖

而出，发挥了高考的选拔功能，引导数学教学关注对学生核心素养的培葬.

新课标卷打破以往的模式，灵活科学地确定试题的内容、顺序.机动调整题目顺序,有助于打破学生机

械应试的套路，打破教学中僵化、固定的训练模式,防止猜题押题，同时测试学生的应变能力和解决各种难

度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力，灵活地整合知识解决问题.如新课标

I卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，数列内容则结合新情境,安排在最后压轴题的位置.

试卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法，着重考查数学学科核心素养用导中学教学遵循教育规律,

突出数学教学本质，回归课标，重视教材,重视概念教学，夯实学生学习基础，给学生留出思考和深度学习的

空间.避免超纲学、超量学，助力减轻学生学业负担.如新课标I卷第1。题以基本求导公式及求导法则、

利用导数判断函数单调性的方法为素材，考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力，以及学生的逻辑

推理能力、运算求解能力.

二、突出思维能力考查,助力拔尖创新人才选拔

数学作为一门重要的基础学科,也是唯一一门理科性质的统考科目，在服务人才选拔、服务国家发展

战略、助力强国建设方面承担重要责任、发挥关键作用.2024年高考数学重点考查学生逻辑推理、批判

性思维、创新思维等关键能力，助力拔尖创新人才选拔,引导培育支撑终身发展和适应时代要求的能力.

试卷贯彻改革要求,注重整体设计，很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系，统筹协调

试题的思维量、计算量和阅读量.优化题量设置、合理控制试题的计算量，尽量避免繁难运算，保证学生在

分析问题的过程中有充裕的时间进行思考，强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.如新课

标I卷第12题，通过应用双曲线的定义和性质，可以避免较为复杂的会标计算以及联立方程求解,从而有

效地减少计算量，节省考试时间.

试题突出创新导向,新课标卷根据试卷结构调整后整卷题量减少的客观情况，创新能力考查策略，谀

计全新的试题情境、呈现方式和设问方式，加强解答题部分对基本能力的考查,提升压轴题的思维量，突已

理性思维和数学探究，考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.如新课

标I卷第19题以等差数列为知识背景,创新设问方式，设置数学新定义，搭建思维平台,引导学生积极思考,

在思维过程中领悟数学方法，自主选择路径和策略分析问题、解决问题.试题强化综合性考查,强调对原理、

方法的深入理解和综合应用，考查知识之间的内在联系，引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的

深刻理解与掌握，引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学，培养学生形成完整的知识体系和网

络结构.如新课标I卷第5题将圆柱与圆锥结合，综合考查侧面积、体积的计算，第18题在函数导数试题

中考查了曲线的对称性的这一几何性质.

三、加强考教衔接，引导中学教学

2024年高考数学试卷立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容，注重考查学生对基

础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用，强调知识的整体性和连贯性，引导教学以课程目标和核心素养

为指引，避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性，避免百目钻研套路和机械训练.

高考数学通过创新试卷结构设计和题目风格，深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理

解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.增加

基础题比例、降低初始题起点,增强试题的灵活性和开放性.如新课标I卷第14题,不是考查学生记住了

哪些知识点,而是突出考查学生的理性思维和探究能力，使得一些套路无用、模板失效，让死记硬背的教学

方式不能适应现在高考的新要求.

题型新变化

I.总题量由21题减少为19题，多选题由4题减少为I题，填空题由4题减少为I题，解答题由6道减少为

5题.

2.多选题分值由每题5分调整为每题6分，解答题分值增加，由原来的70分增加到77分.

3.增加新定义问题,全国卷I为数列新定义问题压轴，解答题中少了单调考查概率统计的试题，导数题目增

加为3道,立体几何题由3道减少为2道,导数解答题中出现对“纯”函数内容的考查.

4.大部分题目都比较简单，考查基胆知识与基本技能题占100分左右，难题数量少，但更难,难在数学上忍

维上.减少题量，体现“多想少算”,加强思维考查，强化素养导向,容易题占多数，难题更难,给不同水平的学生提

供充分展现才华的空间，服务拔尖创新人才选拔，助推素质教育发展，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学

把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养.

考情分析

题号分值题型考查内容模块（题目数）

I5分单选题集合与不等式1.集合（共1题）

2.不等式（共2题）

25分单选题复数的运算复数（共1题）

35分单选题平面向量的数量积平面向量（共1题）

45分单选题三角变换三角函数与解三角形

（共3题）

55分单选题圆锥的体积立体几何（共2题）

65分单选题分段函数单调性函数（共2题）

75分单选题三角函数的图象三角函数与解三角形

（共3题）

85分单选题抽象函数函数（共2题）

96分多选题正态分布概率统计（共3题）

106分多选题导数应用1导数（共3题）

2.不等式（共2道）

II6分多选题曲线与方程解析几何（共3题）

125分填空题双曲线解析几何（共3题）

135分填空题导数的儿何意义导数（共3题）

145分填空题概率概率统计（共3题）

1513分解答题解二角形二角函数与解二角形

（共3题）

1615分解答题椭圆、面积解析几何（共3题）

1715分解答题线面平行、二面角立体几何（共2题）

1817分解答题导数应用、对称问题导数（共3题）

1917分解答题新定义、数列数列（共1题）

备考指津

1.重视“双基”复习，首轮复习时在概念定义、通性通法上回归教材,把教材上典型的例题、习题（复习题）

过一下，做到：正确地理解基本概念的内涵和外延；熟练地掌握和应用相关的公式与定理；熟悉并运用常见

的基本技能和方法.

2.一轮更月要做到：各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范化.

3.对复习资料要处理，删去偏难、偏怪、超纲、解法太唯一的题目，对基本运算能力、空间想象能力、推

理论证能力、数据处理能力等在复习时要逐步提高,达到高考要求

4.第一轮复习结束后，要做好以卜几个方面的工作：抓住每一专题(板块)的宏观主线，提纲挈领，将板

块知识及题型和解题方法等高度系统化、条理化.把高考试题进行专题整合，采对重要知识、方法和技能通过高

考试题的链式分析，体会”突出重点、突破难点、关注热点、把握通性、注重通法、淡化技巧”的内涵，真正明

白高考到底考什么、怎么考，对高考试题的认识和把握形成清晰的思维脓络.

5.对于大部分考生高考数学考不好的原因不是难题没有作对,二是基础题失分过多，可以说会做做不对

是失分的主要原因.所以平时的复习要注意纠错,对每次考试中“会做做不对的题”,要找出错误原因进行标注,

同时再找几道类似的题进行巩固，做到以例及类、题不二错.

真题解读

2024年高考数学真题完全解读(新高考I卷)

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜卜5</<5},8={-3,-1,0,2,3},则ACI8=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0.2}

【命题意图】本题考查集合的交集运算及简单不等式的解法，考查数学运算的核心素养.难度：易.

【解析】由-5<V<5得75<工<巧,囚为1<5<8，1<</5<2，所以人。3-{-10，故选人.

【快解】因为一3-'=-27<一52'=8>5，排除BCD,故选A.

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题而目呈现,考查热点一是集合的并集、交集、补集运算,

二是集合之间的关系，所给集合多为简单不等式的解集、离散的数集或点集，这种考行方式多年来保持稳定.

【知识链接】

1.求解集合的运算问题的三个步骤：

(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等，女口{=/(x)},{山={工)},{(x,y)|y=/(x)}Z2者足不同的；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，光化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

2.若三=l+i,则z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iDl+i.

【命题意图】本题考查复数的运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：易.

【答案】C

【解析】由二=l+i得,z=?=l-i,故选C.

Z-I1

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，新高考复数题单选题、多选题、填空题都可能

出现，考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共挽宓数、纯虚数、复数相等、复数的几何

意义等，二是复数的加减乘除运算.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作

另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共枕基数，解题中要注意把i的事写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，•般化为〃+历(《〃£R)的形式，再结合相关

定义解答.

(4)复数的运算与究数几何意义的综合例.先利用复数的运算法则化倒一般化为〃十加3，》£R)的形式，再结合

复数的几何意义解答.

3.已知向量。=(04W=(2,x),若一甸,则％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：易.

【答案】D

【解析】因为力，传一4«),所以力.传一4a)=/-4a〃=4+/-4x=0,所以1=2,故选D.

【点评】半囱向量是高考数学必考知识点，•般以客观题形式考看,热点是半囱向量的线性运算及平间向量的

数量积，可以是容易题，也可以是难题,难题常用平面几何、不等式、三角函数等知识交汇考查.

【知识链接】

1.求平面向量数量枳，当已知向量的模和夹角时，可利用。•力=|即冰:os<a.h)求解：当己知向量的坐标时，可利

用坐标法求解，即若。=(即ji)力=J2),则ab=x\xi+y\yi.

2.求解与平面几何有关的平面向量数量积的最值与范围问题,常见的方法有2种，一是建立坐标系，把问题转化

为代数问题利用函数思想或基本不等式求解，二是引进角作变量，把问题转化为三角函数求最值或范围.

4.已知cos(«+/?)=m,tanatan/?=2,则co*(a-/?)=

A.—3mB.---C.—D.

33

【命题意图】本题考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，考查数学运算与逻辑推理的核心

素养.难度:易.

【答案】A

…cos(a-£)-cos(a+4)2sinasin/.costa-p)-m/、

【解析】因为一?---T7--------;-----次=-------=tanalan/=2.所以---------——=2,所以cos(a一6)

cos(tr-p)+cos(a+p)2cosacos夕cos(a-p)+m

=-3加,故选A.

(快解】因为lanalan〃=2，取a=^,sin=^^-,cos(3=-y-，则cos(a-0)=-^-(cosp-sina)=--,

cos(a-/3)=^^(cos/y+sina)=^^=-3cos(a+0)=-3m，故选A.

【点评】三角函数与解三角形在高考中通常有2-3道试题，若有3道题，通常是三角变换、三角函数图像与性

质、解三角形各有I道题.

【知识链接】

I.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.

2.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示

为两个“已知角”的和或差的形式；②之“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.

3.三明函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征；三角函数式的化简要注意观

察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和二角函数公式之间的联系点.

4.给免求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法.

5.已知圆柱与圆锥的底面半径相等侧面积相等,且它们的高均为有期圆锥的体积为

()

A.2小B.3百兀C.班兀D.9氐

【命题意图】本题考查圆柱与圆锥的恻面积与体积，考查逻辑推理、直观想象等核心素养.难度：易

【答案】B

【解折】设圆柱与圆锥的底面半径相等为J由侧面积相等，且它们的高均为6,得2口=.解得

「=石，所以圆锥的体积为+x32xS=3g冗，故选B.

【点评】新课标高考数学立体几何客观题一般有两道(今年特殊，只有I到客观题)，一般分别涉及多面体与

旋转体，表面枳、体枳计算及线面位置判断是考查热点.

【知识链接】对于柱体、椎体、台体的体积可直接使用公式求解，对于不规则多面体的体积计算'常采用割补

法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体的体枳，从而得出要求的几何体的体枳：对于

三棱锥曲于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积：利用“等积性''近可

求“点到面的距离”.

6.已知函数〃工)=广：了"二丁：,在R上单调递增,则°的取值范围是

Ie+ln(x+l),x>0

A.(ro,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,-H»)

【命题怠图】本题考盒分段的数的单•调性，考盒逻辑推埋、数学运算等核心素养.难度：中

【答案】B

【解析】当x>0时/(x)单调递增，要使f⑺在R上单调递增,应满足\笠，所以-1<a40,故选B.

【点评】高考函数客观题一般有2道,考查热点是函数的奇偶性、单调性与周期性，利用函数单调性求参数取

值范围更是热点中的热点.

【知识链接】

I.确定函数单调性的四种方法

⑴定义法：利用定义判断.

(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数.

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不

连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接,不能用连接.

(4)性质法：利用函数单调性的性质,尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.

2.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

⑴比较大小.

(2)求最值.

(3)解不等式.利用函数的单调性将尸符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.

(4)利用单调性求参数.

①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间，与已知单调区间比较.

②需注意若函数在区间m⑼上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.

7.工«0,2句时.曲线)，=sinx与y=2sin,-［)的交点个数为()

A.3B.4C.6D.8

【命题意图】本题考存三角函数的图象与性质，考查数形结合思想，考查直观想象的核心素养.难度：中

【答案】C

3%-外在［0,2对上的图象如图所示，由图象可得交点有6个，故选C.

［解析】作出曲线y=sinx与y=2sin

【点评】三角函数的图象与性质基本是高考每年必考题,本题求解没行过多的技巧，关键是能熟练作出三角函

数图像，高考中有不少题目都需要借助图形求解，在此提醒考生，做题时千万不要得“意”忘“形”.

【知识链接】

l.)，=Asin(s:+G的图象可肘，五点法”作简图得到，可通过变量代换z=&x+0计鸵五点坐标.

2.对于函数产Asin(①x+w)(A/),①#)),其对称轴•定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标•定是函

数的零点.

3.根据y=4sin(sx+8“£R的图象求解析式的步骤：

(1)首先确定振幅和周期，从而得到人怎8.

(IM为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半.

(II泗由周期得至U：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的

半个周期；②函数图象与％轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一

条对•称轴与其相邻的•个对称中心间的距离为函数的3个周期(借助图象很好理解记忆).

(2)求(p的值时最好选用最值点求.

峰点：cox+e岩+2E；谷点：cox+3=-3+2E.

也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点.

升零点(图象上升时与x轴的交点)：①x+e=2依；

降零点(图象下降时与x轴的交点)：①x+g=7t+2E(以上A£Z).

8.已知函数f(x)的定义域为RJ(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时J(x)=x，则下列结论一定正确的是

()

A./(10)>1()0B./(20)>100C./(10)<100()D./(20)<l0(XX)

【命题意图】本题考查抽象函数求值，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：难

【答案】c

【解析】由4<3时/(%)=3,/(》)>/。-1)+/(》一2)得,/(3)>〃2)+〃1)=3/(4)>〃3)+〃2)>5,

〃5)>/(4)+/(3)>8J⑹>〃5)+〃4)>13,不等式右侧恰好是装波那契数列从第3项起的各项：

3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597，所以/(20)>”16)>1597>1000.故选B.

【点评】抽象函数是近两年高考考杳热点，考看频率比较高的是抽象函数求值、奇偶性、周期性及与不等式

的交汇问题.

【知识链接】

1.本题是由裴波那契数列改编而成，卜.面列出斐波那契数列｛4｝的一些基本性质，供有兴趣的同学参考：

(1)4+生++…+"〃=an+2~1:

⑵4+%+%+…+a2n-i=。2“；

⑶%+4+4+…+的“=--1：

(4)+...+a；=；

wd

(5)-«,+a2-a3+...+(-l)aH=(-l)(aM+1-«rt)+1；

⑹联=%_/+。必向:

⑺%%一-=(-D”；

(8)凡+2+。”-2=3凡.

2.对称性与周期性是抽象函数考查的热点，下面列出一些基本结论，洪参考：

⑴若f(a+x)="力一力,则“力的图象关于直线工二审对称：

⑵)，=/(〃+工)的图象与y=/(〃7)的图象关于直线x=一对称；

(3)若"2a-x)+f(x)=2>则/(A)的图象关于点(a㈤对称.

(4)若函数/(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称(a.〃),则f(x)是周期函数，门

2(匕一。)是它的一个周期.

(5)若函数/(力的图象既关于点(。,0)对称，又关于点(加0)对称(awb),则〃力是周期函数，且2(8-〃)

是它的一个周期.

⑹若函数“X)的图象既关丁•直线x=a对称，又关丁点(。,0)对称卜/工〃)、则”X)是周期函数，目

4(/)一〃)是它的一个周期.

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的

得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况,从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均

值元=2.1,样本方差d二o.oi,已知该种植区以往的亩收入x服从正态分布N(1.8,0.『卜假设推动出口后

的亩收入y服从正态分布N（元产）,贝j（）（若随机变量z服从正态分布N（〃,b2）,P（Z<〃+crh0.8413）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（K>2）>0.5

nP（y>2）<0.8

【命题意图】本题考查正态分布，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：易

【答案】BC

【解析】依题可知口=2.1,$2=0.01,所以yN（2.1,0.1）,

故夕（丫>2）=。（丫>2.1—0.1）=0（丫<2.1+0.1）=0.8413>0.5《王确0错误：

因为XN（1.8,0.1），所以P（X>2）=P（X>1.8+2x0.1）,因为P（X<1.8+0.1卜0.8413,所以

P（X>1.8+0.1）»1-0.8413=0.1587<0.2,

而P（X>2）=P（X>1.8+2x01”尸（X>1.8+O1）<0.2,B正确,A错误，故选BC.

【点评】概率统计在新商考试卷中通百有2-3道题,山于概率统计知识点比较多，出题没有固定方向，但人多有

实际背景.

【知识链接】

正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交：②曲线是单峰的，它关于直线x=〃对称：③曲线在x

=〃处达到峰值志：④曲线与工轴之间的面积为1:

2.解决正态分布问题有三个关键点：（：）对称轴x="（2）标准差g（3）分布区间.利用对称性可求指定范围

内的概率值：由分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间,从而求出所求概率.注意只有

在标准正态分布下对称轴才为A=0.

10.设函数/。）=（1一1）2（工一4）厕（）

A.x=3是/（X）的极小值点

B.当Ovxvl时,/（工）〈/（丁）

C.当1vxv2时.一4</（24-1）<0

D.当一1<x<0时,/（2-力>〃<）

【命题意图】本题考直利用导数研究函数单调性，考直数学运算与逻辑推理的核心素养，难度：中

【答案】ACD

【解析】解法一:对于A,因为/"）=2"-1）（工一4）+"—球=3（*-1）（戈一3）.当天£（1,3）时,f'（k<0,

当工«9」）或x«3,y）时,r（x）>OJ（x）在（—4）上单调递胤在。,3）上单调递减，在（3,4向上

单调递增,X=3是函数/(x)的极小值点,A正确:对于B,当0VXV1时，1>x>x2>O,t±l/(x)在(0,1)上

单调递增，可得/(大)>/，),B错误；对于C,当1<工<2时,lv2x-1<3,由/(力在(1,3)上单调递减,

可存/(l)>/(2x-l)>/(3),即-4</(2.v-i)<0,C正确；对于D,当一lvx<()E寸,

/(2_X)_/(X)=(1_X)2(_2_X)_(X_1)2(X_4)=(X_1)2(2_2X)>0,所以/(2-X)〉/(X),D正确;

故选ACD.

解法二：对于A,由/'(x)=3(x-l)(x-3)Hxc(l,3Hir(x)<0^X£(3,+8b4J'(x)>0^

x=3是函数小)的极小值点,A正确；对于B,取'=；，则/出=一力(£)=一膏，吗)>G)，B错

误：对于C,因为/(2x-l)=4(x-iy(2x-5)<0,〃2.r-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0,C正确：对于D,当

-i<x<0时，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,所以

/(2-X)>/(X),D正确；故选ACD.

【点评】利用导数研究函数单调性是高考热点，客观题中此类问题常与数式大小比较、不等式等知识交汇.

【知识链接】

1.确定函数单调区间的步骤(1)确定函数/(幻的定义域.(2)求/。).(3)解不等式/(x)>0.解集在定义域内的部

分为单调递增区间.(4)解不等式/(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.特别提醒：划分函数的单

调区间时，要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：)，=/。)在36)上单调，则区间⑶是

相应单调区间的子集.(2»(幻为增(减)函数的充要条件是对任意的x£(a力)都有且在(为加内的

任一非空子区间上〃幻不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.(3)函数在某个区间上存在

单调区间可转化为不等式有解问题.

II.造型上可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点。且C上的点满足横坐标

大于-2,到点/(2,0)的距离与到定直线x=a[a<0)的距离之积为4,则()

A.a=-2

B.点(2忘,0)在。上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点（小,％）在。上时

%+2

【命题意图】本题考瓷曲线与方程，考杳数学运算与逻辑推理的核心素养，难度:难

【答案】ABD

【解析】对于A：设曲线上的动点p（x,y）,则x>-2且而了下xk-a|=4、因为曲线过坐标原点，故

J（O—2）+（）2x|o-4=4，解得a=-2,故A正确.对于B：又曲线方程为—2『+y><卜+2|=4,而

x>-2,故^（x-2）>,y2x（x+2）=4.当x=2应,y=0时，J（2a-2『x（2应+2）=8-4=4,故

（2立。）在曲线的正确.对于。：由曲线的方程可得"滞广（一）［取“|厕/吟小

64I645256-245

而--------1=---------=-------------->0,故此时产>1,故c在第一象限内点的纵坐标的最大值大于［，故C

49449449x4

16

错误.对于：当点（小，）'o）在曲线上时，由C的分析可得-2），故

D看山。二(%+2『

44

二,2不,故D正确.故选ABD.

【点评】往年解析几何试题都是以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体命题，该题以与生活有关的曲线命题，背

景新颖，时解题能力要求较高，是•道好题.

【知识链接】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价

性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略,如果给出了直

角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.

三、填空题：本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.设双曲线。:£-1=13>06>。）的左右焦点分别为斗、鸟，过F?作平行于）'轴的直线交C于48两点,

a"n

若|KA|=13,|AB\=10,则C的离心率为.

【命题意图】本题考查双曲线，考查数学运算的核心素养，难度：易

3

【答案】一

2

22

【解析】解法•，由题可知玛三点横坐标相等，设人在第•象限陷、•="代入二一与二1

crb2

得y=±J,即Ac,--,B仁一2）,故［A.="-==已=5.又4|一|4用=%，得

[4匐二|4用+2〃=2a+5=13.解得々=4,代入2=5得〃=20,故d=々2+〃=36,,即c=6,所以

c_6_3

a~4~2

解法二：在直角居中旧4=13,|4用=5,由勾股定理得归用=12,所以C的离心率为

【点评】本题通过应用双曲线的定义和性质求离心率,没有较为复杂的计算，属于基础题，高考中双曲线客观题

以容易题居多.

【知识链接】

毛一与=1(〃>0,〃>0)2从

1.过双曲线才b-焦点且与实轴垂直的弦长为手:

2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|仍吊|一|/平2||=2«运用平方的方法,建立与IPQIMBI的

联系.

3.根据双曲线的渐近线求离心率常用结论：e=J】D

13.若曲线)，=eA+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+l)+。的切线，则。=.

【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推现、直观想象,难度：中

【答案】In2

【解析】由y=eA+x得V=e，+1,yU=e0+1=2,故曲线y=e'+x在(0,1)处的切线方程为>'=2x4-1；

由y=ln(x+l)+a得)；■，设切线与曲线y=hi(x+l)+a相切的切点为(玉),In(%+1)+。),由两曲

XI1

11(\1>

线有公切线得/=--=2,解得x0=--,则切点为一彳,。+】!1彳，切线方程为

%+12I22)

(|>1

y=2x+-+。+历5=2工+1+。一的2,根据两切线重合，所以〃-ln2=0.解得a=ln2.

【点评】用导数研究曲线的切线一直是高考的热点，常考问题有：求曲线在某点处的切线，求过某点的切线

条数,公切线问题.

【知识链接】求解公切线问题,通常是设出两个切点，分别写出两切线在这两个切点处的切线，把两切线方程转

化为斜截式，再利用斜率与截距分别相等建立关系式求解.

14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,357.乙的卡片上分别标

有数字246,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片

上数字的大小，数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮

次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.

【命题意图】木题考查概率的计算，考查逻辑推理与数据分析的核心素苑难度：难

【答案】y

【解析】解法一：总的出牌结果有A：=24种，甲出1时比输，所以甲最多得3分,且甲得3分的结果只有1种：

1一8.3-2,5-4,7-6,甲得2分的结果有：

(1)仅出3和5赢：1・6,3・2,54,7・8：(2)仅出3和7赢：1-4,3-2,54,7-6：1・8,3-2,5-67-4：1-63-2,5-8,7-4：

仅出5和7赢:1-2,3-8,5-4,7-6；1-43-8,5-2,7-6,；1-8,3-4,5-2,7-6,；1-6,3-8,5-2,7-4；1-83-6,5-2,7-4；1-6,3-8,5-4,7-2,；

1-8,365-4,7-2,得分不小于2分的总结果共12种,所以所求概率12=；1.

242

解法二：设甲在四轮游戏中的得分分别为X「X2，X3，X「四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲住该轮

获胜的概率尸(X8=1)=搭=(所以E(XJ=/=123,4).

4433

从而E(X)=E(X+X2+X3+X4)=ZE(XJ=ZI=7.记PLP(X=《(Z=0,1,2,3).

A=I*=i占z

11

如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出246,8,所以〃0=*=五：如果甲

11

得3分，则组合方式也是唯一的，必定是甲山135,7分别对应乙山8,2,46所以为=丁下=k.而X的所行

31

可能取值是0.123,故〃()+〃|+〃2+〃3=LPl+2%+3〃3=E(x)=].所以Pl+〃2+丘=1.

Pl+2〃2+1=|,两式相减即得p2+*=g，故P2+〃3=；•所以甲总得分不小于2的概率为

1

=/.

【点评】求随机事件的概率一直是高考中的热点,求解此类问题的关键确定概率模型，当问题比较复杂时要先

把相关事件用简单事件的和与积表示，再利用相关公式求解.

【知识链接】

1.对于随机事件A£P(A+3)=P(A)+P(B)-4(AB),P(AB)=P(3")P(A)

2.若AB互斥，则尸(A+B)=P(4)+P(3),若AB相互独立测尸(AB)=P(A)尸(5).

3.求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法

①将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.

②若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利

用对立事件的概率公式，即“正难则反它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.

4.求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出

基本事件，在列举基木事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以队遗漏.同时要注意细节,如用列举法,

注意是无序还是有序.在解答时,缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件是常见错误.

四、解答题；本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）记4ABe内角A、B、C的对边分别为a力已知sinC=拒858，〃2+/一才=0而

（1）求8；

（2）若_/3。的面积为3+6，求c.

【命题意图】木题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养,难度：难

解：（1）由余弦定理有/—c1=2aZ?cosC,因为a?4-h~-c2=.

所以cose/+/Y=&=也.

2ablab2

因为Cw（O,兀），所以sinC>0,

从而sinC=Vl-cos2C=Jl-4=.

因为sinC=血（：058'所以以）$8=二,

因为60（0,几）,所以8=泉

J

由（1）知8=*cosC=Y^、C£（0,兀），所以C=：,

（2）解法一:

717157r

A=n------=——,

3412

由.A•5兀.（兀兀）0601>/6+x/2

而sinA=sin—=sin—+—=——x——+——x—=-------,

12U6j22224

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin—sin—sin—

1234

从而。=正巫.缶=®lc斤叵岳="c,

4222

c1人•厂16+1a后3+62_Q^A

月［以S.=­«/7sinC=--------c----c----=-------c-3+，3,

八R伙r222228

解得c=2&-

解法二：：由（1）知B=1.COSC=Y^.C£（0,兀），所以C=3

324

a_b_c「?

由正弦