2024年高考数学一轮复习92椭圆(精讲)(原卷版+解析)

9.2椭圆（精讲）（提升版）

恩镀名④

平面内与两个定点儿.Fz的距离的和等于常敢2n（2a>|F|F/=2c）的

动点P的执迹叫做林版，这两个定点儿,“叫做#IIHI的熊点

定义料傥上的一点P与两个焦点3、『7组成的三角碑为簸点三角彩

长

周周长:|P耳卜|PFj"耳Fj2i+2c

冏||同=

焦

点

职

面

三gPF,1间如小明・b:tin竽t•cy.

的

影

保点三角彩两个底角分冽为a.囚Me=2s=

、l・a+Un0

A

♦/*,»：e.当P在坦*④如<,角晒大

心

率2

■^^；时・b-cot-Y<0<MM.b-co<e<*<*：；叽b-co<0<c<*

焦半役AF=Xtti=>,小用=|箱e是白线的帕科角）

①yj0..内=1邛<1

⑦上®，.扎）*.«上=多・3・|

------------------------------③必1.九棒.■於oU，

点P（i<.y）和-HI的俄置关系一

①艮文亶我方,与■■方履.

②说元。由关于爪或M的一元二次方（L

③》JX时，iJ-tH.宣发与h・，切：

*/<•*,直复与一■始方.

含参自线如果过定点.找出定点.判断定点与精图的位置关

百线b桶用

的位宜关系•系,从而列断线与H的的©・关系，笈在X国内一-相交，

点在H向上相交或相切

______公式的=3+尸・痴+—y-5«=Ank，i+尸

弦长£图/U52方程一逐鹿成一元二次方程H汛:•一专达全理••《归公贰

分点呈掰

考点一目的主义及应用

考点四育城与■岗的位置关系

考点二■国的区准方程

考点五收长及中点弦

考点三一图的育心率

例题制析

考点一椭圆定义及应用

【例1-1］（2022•日照模拟）已知曲线0：£+工=1,则“a>Q”是“曲线C是椭圆”的（）

aa-\

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

22

【例1-2】（2022•江阴模拟）设/乃是椭圆2+21=1的左，右焦点，过K的直接1交椭圆于A,B

164

两点，则|A周+忸周的最大值为（）

A.14B.13C.12D.10

22

【例1-3】（2021高三上•桂林月考）点P是椭圆—+^-=1上的点，匕、F2是椭圆的左、右焦点,

95

则^PRF2的周长是（）

A.12B.10C.8D.6

【一隅三反】

1.（2022•江西模拟）“0<0<71”是“方程三+」—=1表示椭圆”的（）

34sin0

A.充分不必要条件B.必要不充分杂件

C.充要杂件D.既不充分也不必要条件

2.（2022•江西模拟）"0<〃<1,0<Z?vl”是“方程ax2=\-hy2表示的曲线为椭圆”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

22

3.（2021高三上•珠海月考）己知点4（1,1）且F是椭圆—+^=1的左焦点，P是椭圆上任

43

意一点，则\PF\+\PA\的最小值是（）

A.6B.5C.4D.3

考点二椭圆的标准方程

22

C：--+=l（tz>Z?>0）p尸

【例2】（2021高三上•信阳开学考〉已知椭圆矿打的左、右焦点分别是小△,

焦距电1=2近，过点7（3"。］的直线与椭圆交于P、Q两点，若许=加，且，

则椭圆C的方程为（）

A.《+£=1B.《+£=1C,《+^=1D.二+六］

9483726-

【一隅三反】

22

1.（2022.内江模拟）以椭圆C~r+^-=l（n>/?>0）的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为

等边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为（）

A上+二=1D+=，

43-Mi

2.（2021•全国高三专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的

面积除以圆周率尸等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆

C**叱…）的面积为2信，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是

()

.xy~.

A.—I---=1C.

43342G

工（2021•山西长治市-高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥

曲线，用垂直于圆锥轴的平面去微圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用周长

为72的矩形仍切截某圆锥得到椭圆r,且r与矩形仍切的四边相切.设椭圆「在平面直角坐标系中的方

程为，+和3＞。），下列选项中满足题意的方程为，

A.—+-^-=1

8116

C,工+£=1x-V-,

Dn.—+--=I

100646410()

考点三椭圆的离心率

【例3-1］（2022.秦皇岛二模〉椭圆C：—匚+上=1的左、右焦点分别为《，尼，P为椭圆C上一点,

m+2m

若玛的周长为6+2正，则椭圆。的离心率为（）

A.克B.变C.且D.正

6336

【例3-2］（2022•浙江模拟）已知椭圆C：g+9=1（。＞%＞0）以£，%为左右焦点，点P、Q在椭圆上,

且PQ过右焦点尸2，。耳JLQP，若S加尸Q=2,则该椭圆离心率是（）

A.立B.叵C.-D.正

32652

【例3-3】（2022•南充模拟）已知P为椭圆「+卓=1（。＞8＞0）上任意一点，点M,N分别在直线

11,,

/,：y=5”与6户一万不上，且「MN，PNM，若|PM「+|PN「为定值，则椭圆的离心率为（)

A.1B.@C.旦D.5

2322

【一隅三反】

I.（2022•湘潭三模）椭圆氏=+3一=1的左、右焦点分别为B,F2,过点B的直线1与E交于A,B

a-a+2

两点，若△ABF?的周长为12,则E的离心率为（）

22

2.（2022.安康模拟）以椭圆C：三+工=1的左、右顶点作为双曲线E的左、右焦点，以C的焦点作为E

43

的顶点，则E的离心率为（）

A.273B.2近C.2D.④

V22

3.（2022.福建模拟）已知点巴、F?分别是椭圆※+*v=的左、右焦点，过尸2的直线交椭

M4

1

圆于A、B两点,且满足曷一一则该椭圆的离心率是（）

3

6

2B6c

A.-D

33T

4.（2021高三上•金台月考）已知椭圆0+£=\（a>b>0）,Fi,F?分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆

上存在一点P,使得|P用-归周=»,则该椭圆离心率的取值范围为（）

A.(0,g]B.g.l)

C.D.[j)

5.（2021・蚌埠模拟）已知椭圆7+F=l（a>b>0）的右顶点为A,坐标原点为。，若椭圆上

存在一点P使得LOAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（)

A.且B.克C.必D.且

3232

考点四直线与椭圆的位置关系

2

【例4-1］（2023•全国•高三专题练习）直线y=2x-l与椭圆工+工=1的位置关系是（）

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【例4-2］（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆］+），2=1的左、右焦点分别为写、工，过匕且斜率为&的直

线与椭圆交于〃，。两点，若/尸用Q为钝角，则大的取值范围为（）

A.一~—B.一~—,0UIX—

、2I2JI2J

C.昌书D.卜冬。卜（。用

【一隅三反】

1.（2021•辽宁）己知直线/：6+），+1=0,曲线C：则直线/与曲线C的位置关系是（）

164

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

2.（2022・全国•高二课时练习）直线产点+2与椭圆=十二=1有且只有一个交点，则攵的值是（）

32

A.凡B.一如C.士见D.土巫

3333

3.（2022.贵州贵阳•高三开学考试（理））己知椭圆C±+；=l（a">0）的离心率是渔，点4佶,号在椭

a'b-3122）

圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）过点仅0,2）的直线/与椭圆。交于P,。两点，求AOPa。为坐标原点）面枳的最大值.

考点五弦长及中点弦

【例54】（2022•吉林省实验中学）已知斜率为1的直线，过椭圆工+二=1的右焦点，交椭圆于A,B两点,

43

则弦A8的长为（）

【例5-2】（2023・全国・高三专题练习）已知椭圆二-卜j=|,则以点为中点的弦所在的直线方程为（）

16

A.8x-6y-7=0B.3x+4），=0

C.3x+4y-12=0D.6.r+8y-25=0

【例5-3］（2022•全国•高三专题练习）过椭圆C：£+.=］（4>〃>0）右焦点尸的直线/：x—y-2=0交。

-；，则椭圆。的方程为（）

于A,8两点，。为的中点，且OP的斜率为

A.22B.

二+二二195

84

C.—+^-=1D.X-V*,

731（）6

【一隅三反】

1.（2022广东）椭圆工+二=1中，以点）为中点的弦所在直线的斜率为（）

8212

A.—B.—4C.--D.-2

42

2.（2022•全国•高三专题练习）己知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在工轴上，离心率等于|,点（2",-5）

在双曲线。上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为5的直线与椭圆E交于A、B两点.若线段

48的中点坐标为则椭圆£的方程为（

A.+^=，B-S+

C.D.—+^-=1

189

22

3.（2022・安徽）已知椭圆■+点■=1（。>8>0）的右焦点尸与抛物线f=|2x的焦点重:合，过点广的直线

交E于A、4两点，若A3的中点坐标为（L-1）,则£的方程为（）

.X'y'B.。=1

A.一+-=1t

45363627

C.—+^-=1D.—+^-=1

2718189

22

4.（2022・全国•高三专题练习）椭圆。:工+工=1的左、右顶点分别为“、N,点〃在。上，且直线PN的

43

斜率为-!，则直线/加斜率为（）

4

A.-B.3C.—D.-3

33

9.2椭圆（精讲）（提升版）

平百内与两个定点八,Fz的距离的和等于常数2n（2a>|F，/=2c）的

动点P的执幽做林口，这两个定点F,,“叫做椭圆的焦点

厂定义（

2a=2c2n<2c不存在

X凄方为

4

明彩

范憎一•一〈，，知G­。，«Cj<«

JHWrt当附体中CiAA

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一一一一一一

1HL一lift

圆「QAMAiktf.c.利用鸟7*公五，=£卓解

关拳.艮”4人•一J1另未解.

离心率-

33*<*的第次（的未解中1以不***.f的W.

诉人内威*与r的美■・从力点得・.

①联立育练方程与椭同方程

②济元得出关于N或y）的一元二次方IV

卤线与槌留的位置关系③当△>（>时,直线与椭圆相交।

当时，直线与精IEI相切；

当△<（>时.直线与椭园相离

d同■业*公«巳+4）2-丁「=（yi+jF-WI]

（MH.n）,现、：・>•：）.上方1技的制手）计算修七.

弦长

定义•同上的一点P与两个焦点八、，即成的三角彩称为焦点三角影

周长周长坦耳卜画卜麻J2aUc

PF/P昨

焦14CO1ZHPK

点

三

「严如・：Mn•cy.

角S”1£5%1»

彩

焦总一角形例个底角分别"p'映点一磊r艺湍

离令/「产卜：e.为1•在短辅端点N.HettA

,田：时，b-coe-Y3：<0<口时,b-co'；ve<1，皿快：时，b-co<0“v；

AF"而n|r^0|=|蜉(6是我我的帕斜角)

焦半抬

①上小…•・内。］.卷<|

⑦▲PU“0用'・上

③W■旁。书・1>1

点p(“'n)和Hm的前・美系

④屎文大级方收与■■方■

②消；t。出关于的一元二女方*.

③1MX时.■电与—文，»J=0M,直发与一・勾并】

直叟与•・■!1.

分点呈现

考点四宜绦与桶园的位责关系

考点五收长及中点弦

例题剖析

考点一椭圆定义及应用

【例1-1］（2022•日照模拟）已知曲线C：三+2=1，则“。〉0”是“曲线C是椭圆”

aa-\

的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若曲线G工+工=1表示椭圆’则［2（7>0

aa-\

故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.故答案为：C.

22

【例1-2】（2022•江阴模拟）设耳，居是椭圆工+二=1的左，右焦点，过匕的直接1交

164

椭圆于A,B两点，则|人用+忸国的最大值为（）

A.14B.13C.12D.10

【答案】A

【解析】由椭圆的定义,知闾=8,怛耳|+怛闾=8,

所以“8鸟的周长为|A闾+|四+|跖|=|4月+|A段+怛用+怛闾=16,

所以当最小时,|4周+怛周最大.又当AB_Lx时,|AB|最小，此时|A8|=祖=2,

所以|4段+忸用的最大值为16—2=14.故答案为：A.

【例1-3】（2021高三上•桂林月考）点P是椭圆—+^-=1上的点，匕、工是椭

95

圆的左、右焦点，则4PFE的周长是（）

A.1213.10C.8D.6

【答案】B

v2v2

【解析】点P是椭圆—+^-=1上的点，"、尸2是椭圆的左、右焦点，

95

其中4=3,〃=后，C=病存=2由抛物线定义得：|P£|+|P周=24=6.

△PF禺的周长为|尸〉+|%|+年闻=6+2c=6+4=10.故答案为:B.

【一隅三反】

I.（2022•江西模拟）“0<0<兀”是“方程工+二一二1表示椭圆”的（）

34sin6

A.充分不必要条件B.必要不充分杂件

C.充要杂件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】由0<0<兀，可得OvsiMVl,

当s山。=（时，方程可化为/+9=3,此时方程表示圆，所以充分性不成立；

r2V2［45/7/0>03

反之：方程二+^—=1表示椭圆，则满足.八,艮Js%0>0且s%（）工;

34sin0［4s"?0w34

所以0<8<兀不成立，即必要性不成立，所以“0<0<兀”是“方程上+上-=1表示椭

34sinO

圆'’的既不充分也不必要条件.故答案为：D.

2.（2022•江西模拟）"0<。<1,0<〃<1”是"方程（ix2=\-by2表示的曲线为椭

圆”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】［解法一］

方程ax2=\-by2即方程or?+外2=i,表示椭圆的充分必要条件是

«>0,/?>0,a^b，

显然"0<。<1,0<匕<1”是“«>0,/?>0,a^b”既小充分也不必要条件，

故",0<〃<1”是“方程ax1=\-by2表示的曲线为椭圆''的既不充分也不

必要条件，

［解法二］

当a=b=-时,满足“,0<人<1”,此时题中方程可化为：X2+/=4,

4

表示的曲线是圆而不是椭圆，当a=l,b=4时，不满足“0<〃<1,0<8<1",

，上二11

只是题中方程可化为：I2，表示中心在原点，半长轴为1,半短轴为］的

椭圆，

故：",Ovbvl”是"方程nr2=1-by2表示的曲线为椭圆”的既不充分也

不必要条件，

故答案为：D

22

3.（2021高三上•珠海月考）已知点41,1），且F是椭圆'+二=1的左焦点，P

43

是椭圆上任意一点，则|Pq+|%|的最小值是（）

A.6R.5C.4D.3

【答案】D

【解析】4=2,C=V^7=1，设椭圆的右焦点为耳（1，0），|44|=1

|产目+|P4|=2a-|尸制+|%=4+|%一伊用24TA周=4-1=3,

当P在K的正上方时，等号成立.故答案为：D

考点二椭圆的标准方程

22

c：=+《=im>〃>o）

【例2】（2021高三上•信阳开学考）已知椭圆7h~的左、右焦点分

别是斗巴，焦距忻周二2石，过点了（3后0）的直线与椭圆交于P、Q两点，

若TP=2TQ，且P£_LP6，则椭圆C的方程为（）

.%-y*,xy~.》x'y~i

A.-----1-----=1nB•—H------=1C・-----1-----=1

948372

2

D.—+y2=l

6-

【答案】A

【解析】如图，|阴=2|照,|次；|=2恒用=2|叫|,则PR=2QF2,

延长交椭圆c于点M,得.

设|。引=/，则归町=|咋1=*，据椭圆的定义有I。61=沏

=2a—2in，在Rl^FiMQ中，(2a-2ni)2+(3m)2=(2a-m)2得m=—

3

又在中,(2a-2m)2+(2m)2=4c2得5a2=9c2=45.

故。=3,b=2,则椭圆c的方程为三+上1=1.故答案为：A

94

【一隅三反】

22

1.（2022.内江模拟）以椭圆c~+^-=l（a>b>0）的短地的一个端点和两焦点为顶

点的三角形为等边三角形，且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的

标准方程为（）

A.=113,工+《=1C.=1

43841612

D.《+匚1

6448

【答案】C

【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则a=2c,

椭圆上的点到左焦点最大跖离为6,即a+c=6,则。=4,c=2,b=2y/3.

则椭圆的标准方程为：4-二=1.故答案为：C.

1612

2.（2021•全国高三专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近

法”得到椭圆的面枳除以圆周率乃等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘枳，已知在平面直角

22

坐标系xOy中，椭圆（7:[+==1（〃>/>>0）的面积为2向，两焦点与短轴的i个端点构成

a'b~

等边三角形，则椭圆C的标准方程是（）

A.《+£=]B.二+工=1C.《+4印D.£+匚]

43342G32

【答案】A

ab=2出

a=2

【解析】由题意得。=2c，解得《

b=6

a2=/72+c2

所以椭圆C的标准方程是£+《=1.

43

故选：A

3.（2021•山西长治市・高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的

方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截而是圆；把平而再渐渐倾

斜得到的截面是椭圆.若用周长为72的矩形/傲力截某圆锥得到椭圆r,且「马矩形力?切

22

的四边相切.设椭圆「在平面宜角坐标系中的方程为二十与下列选项中满足

a~h-

题意的方程为（）

C.—+^=1D.—+^—=1

1006464100

【答案】C

【解析】由题意椭圆方程是方程为二十£=1（心力＞0），排除BI），

a~lr

矩形A8CQ的四边与椭圆相切，则矩形的周长为2（2a+2〃）=4a+4b=72,a+b=\S.

22

在椭圆上+22=1中，a=9,8=4,a+h=\3,不满足题意，

8116

在椭圆工+二=1中”-10,人-8,。1人=18,满足题意.

10064

故选：C.

考点三椭圆的离心率

【例3-1］（2022•秦皇岛二模）椭圆C：二一+乙=1的左、右焦点分别为匕，鸟，P为

m+2m

椭圆C上一点，若的周长为6+20，则椭圆。的离心率为（）

A.也B.立C.且D.近

6336

【答案】B

【解析】因为。2=/〃+2-"?=2,所以C=

因为的周长为6+2及，所以2a+2c=6+2夜,.•.2〃=6,所以。=3,

所以椭圆。的离心率为立，故答案为：B.

3

【例3-2】（2022.浙江模拟）已知椭圆C1+与=1（。＞方＞0）以上，鸟为左右焦点，点

a~b~

P、Q在椭圆上，且户。过右焦点马，QF^QP,若立…PQ4,则该椭圆离心

率是（）

A.正B.叵C.1D.立

32652

【答案】A

【解析】根据题意可得如图椭圆，

不妨设忻4=13,忻。|=5,则I尸设1=12,

因为优9=|耳目+忧”=24,

所以国a=叫玛H=2,

2〃=15,内号=2c=川2+|QKJ=5逐，

所以离心率”在=型5=立.

2a153

故答案为：A.

【例3-3】（2022•南充模拟）已知P为椭圆三+?=1（。＞〃＞0）上任意一点，点M,N

分别在直线小>=枭与£y=上，且尸M〃2，PNM，若|PM『十|PN「为定

值，则椭圆的离心率为()

A.-B.@C.立D.2

2