2024年高考数学一轮复习34对数运算及对数函数(精练)(原卷版+解析)

3.4对数运算及对数函数（精练）（提升版）

题组一对数运算

(2022・河南•节选)求值：

(2)(lg5)2+Ig21g5+^lg4-log,4xlog,3.

(l)(bg32+log92)(log23+log43)+ln--Igl.

(3)log15-log10+^log4；ln2

533(4)log32-log2(log28)e.

(5)210g32-log3—+log38-5啕3；(6)(logil25+Iog425+Iogs5)-(log52+Iog2s4+lognsS).

(7)glg25+lg2+lgJI6+lg(0.01)r：(8)(lg2)2+lg21g50+lg25；

32

(9(logj2+Iog92)(log43+logs3)：(10)21og?2—log?—4-logj8-31og55：

题组二对数函数的单调性

1.（2022・河南）已知函数"x）=ln（2+2x）+ln（3-3x）,则（）

A.是奇函数，且在（0J）上单调递增B.是奇函数，且在（0/）上单调递减

C.是偶函数，且在（0/）上单调递增D,是偶函数，且在（0」）上单调递减

2.（2022•全国•高三专题练习）（多选）已知函数，3=一二联3-"）（"1）在区间（0,4］上是增函数,则实数a

a-\

可取（）

A.0B.gC.~D.—

234

“、［x123+（4«-3）x+3«,x<0

3.（2021・福建・高三阶段练习）（多选i已知函数/x=।、八（a>0且力1）在R上单

logjx+l）+l,x>0

调递减，且关于X的方程|/（寸=2有2个不相等的实数解，则。的取值可以是（）

A.-B.1C.\D.-

3234

4.（2022・全国•高三专题练习）已知/（x）=l°g/『-ar+3a）在区间（2,y）上单调递减，则实数〃的取值范围

是.

5.（2022・四川•石室中学三模）若函数/（x）=ln（x2—ar—i）在区间（［,内）上是单调增函数，则实数。的取值

范围是.

6.（2022・全国•高三专题练习）若函数Kt）=ln（ad+x）在区间（0,1）内单调递增，则实数a的取值范围为

7.（2022.湖北.高三期末）已知函数/（x）=lg（f-2x-8）的单调递增区间为（a+co）,则。=.

8（2022•云南昭通•高三期末）已知。＞0且”1,若函数/。）=1%［/-（2-g+3］在1上是单调递增

函数，则a的取值范围是.

9.（2021・天津•南开中学高三阶段练习）若函数/3=脸（9-心+3勾在区间［2,内）上是增函数，则实数。的

取值范围是.

10（2022•北京师范大学天津附属中学高三阶段练习）已知函数12一"一”）对任意两个不相等的

2

实数公、超6（-8，-4），都满足不等式/（"2）―/（内）,（）,则实数。的取值范围.

11.（2022•全国•高三专题练习）已知函数f（x）=log（遍?型是R的递减函数，则实数。的取值范围

是.

题组三对数函数的值域（最值）

1.(2022•全国•高三专题练习(理))下列函数中最小值为8的是()

,।।16

A.y=x2+4x+5B.>'=cos^+：------(

'|cosx\

C.y=\nx+—D.y=4x+42-x

Inx

-x2+x,x<\,

{kgx,x>l，若对任意的xeR，不等式〃力47〃-/恒

成立，则实数机的取值范围为（）

A.~L—B.~,IC.-2,—D.f-jl

4J14」14」|_3」

3.（2022・全国「模（理））已知函数/（。=3-'+〃，83=1嗅（4-1）,若对任意乙44,25],存在4目-1』，

使得则实数〃的取值范围是(〉

A.|-co,-lB.-1,+ooIC.[^0,7D.■|,+8)

[3」L3)I3.

I3

4.（2022・广东）若f（x）=k%（aF7+3（a>0且〃/1）在I弓上恒正，则实数〃的取值范围是（）

A.e）B.（|,1）U（2,+o>）

C.（芸）吗口）D.弓收）

5.（2022・全国•高三专题练习）已知函数,f（x）=lg（依2+（2-。卜+；）的值域为R,则实数。的取值范围是

)

A.(1,4)B.(1,4)喇

C.(0J]U[4,-H»)D.[0,1]^[4,4<>3)

6.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=lg［（/-l*+a+l）x+l］的值域为R.则实数。的取值范围是

B.d,|]

D.(-oo,-l)[1,1)

7（2022・北京•高三专题练习）若函数/（%）=［既「：1<””的值域为氏，则。的取值范围是（）

厂-2at,x>1

A.[-2,2]B.(-oo,2]C.[0,1]D.[0,+ao)

8.（2022・全国•高三专题练习）求函数尸lg（sin2x+2cosx+2）在xe唉之上的最大值一，最小值.

o5

8.（2022.全国•高三专题练习）已知〃x）=l+log/（lWxW9）,设函数8（力二尸（力+/（丁），则

10.（2022・全国•高三专题练习）己知函数/。）=1。孔1+2-4卜〃>0,。工1）的值域为上则实数”的取值范

围是,

cix+2-a,x<2,,

11.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/卜）

logxx>2，若/（X）有最小值，则实数。的范围是

log（（l-x）,-l<x<0

12.（2022・全国•高三专题练习）若函数以的值域为则实数〃?的取值范围为

*"-1,0Wm

13（2022・全国•高三专题练习）函数/（］）=也（2,+2一、+a-l）的值域是R,则实数〃的取值范围是,

14（2022全国•高三专题练习）已知函数/（x）=ln（e,+or-a）的值域为R,其中〃<（）,则。的最大值为

题组四对数式比较大小

1.（2022•湖北武汉•模拟预测）已知4=2023短，^=^.,2022,c=log2022,则la,b,。的大小关

系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.e>a>bD.a>ob

2.（2022•湖北•模拟预测）已知a=log"/=sin2,c=eTn2,则（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

3.（2022・天津市武清区杨村第一中学二模）设。=1%34=10&5,°=2。则”"，。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b

2

4.（2022•天津和平•三模）设。=log；2,/）=log53.c=§,则“,Ac的大小关系为（）

A.c>a>bB.u>obC.b>u>cD.b>oa

5.（2022•辽宁•育明高中高三阶段练习）设“=2022hi2020,Z?=2021ln2021,c=2020In2022,则下列选

项正确的是（）

A.u>c>bB.c>b>a

C.b>a>cD.a>b>c

6.（2022•陕西西安•一模（理））已知〃=ln；,/）=1n（lg2）,c=lg（ln2）贝lj小儿c的大小关系是（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>c>a

7.（2022•江西•模拟预测（理））己知实数”，。满足。=1吗3+1吗6,5"+12“=13。则下列判断正确的是

（）

A.a>2>bB.b>2>a

C.i）>a>2D.a>b>2

8.（2022・江西・临川一中模拟预测（文））已知函数y=/（x-l）的图像关于直线x=l对称，且当xe（YC,0）,

（（i\

/（x）+4（x）v0成立，若4=2。侬5）,b=（ln3）/（In3）,c=log,-flog,-，则（）

\2”\2、）

A.a>b>cB.h>a>cC.c>a>bD.h>c>a

9.（2022•河南•许昌高中高三开学考试（文））己知b=loga（3-2&）,c=_^,则mb,c

的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

10.（2022•河南•三模（理））已知a=2兀ln3,/，=3力【［2,c=6lnn,则下列结论正确的是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

H.（2022•广西南宇•一模（理））已知八此是定义在（0,田）上的函数，对任意两个不相等的正数小巧，都有

引卬一“伍）<。,记〃=3人生工/（明刈,则（）

占一/3.产3.2"log,23.1

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

题组五解对数式不等式

I.（2022•江西赣州）己知实数。满足0。（电（1-4）«3,则直线尸与圆（x-lj+尸=2有公共点的概

率为()

2.(2022.四川绵阳•一模)设函数/(1)=21则满足〃2xT<〃x)的x的取值范围是()

log2x,x^-,

3.(2022•四川遂宁•三模(文))设函数/(xximx+V74)+2x且/(二^)一帆&-1)<-2,则”的取值

a—3

范围为()

A.|3,+oc)B.(汽,3)

C.(V3,+oo)D.(0.码U(3，+8)

4.(2022•湖南岳阳•二模)已知函数〃x)=ln(>/ZR+qT+2且/(3a)+/(—2“-3)>4,则正实数。的

取值范用为()

A.(1,+ao)B.(3,+cc)C.信+8)D.(4,+co)

5.(2022・贵州毕节•模拟预测(文))函数/(x)=lnW，则不等式/(1—/)+/(］一")<。的解集为()

A.1-2,1)B.(0,2)C.(-1,2)D.(0,1)

6.(2022•陕西渭南•一-模(文))若aeR,且a>l,函数/(%)=含+咋“三，则不等式/(x2-2*<1的

解集是()

A.(0,2)B.(0.1)U(l,2)

C.(FO)J(2,+CO)D.+&，+<»)

7.（2022•全国•模拟预测）已知函数/（力=怆（«^+4不等式/（1鸣（x+l））+/（x—2）"的解集为

A.(-1,1]B.[2,+co)

C.[1,+OD)(5]

log!x,x＞1,

8.（2022•全国•江西师大附中）已知函数/（＞）={2则不等式/"）＜/0-1）的解集为.

l-.v\x＜1,

9.（2022・全国•高三专题练习）若函数/（x）=e'+ae-，（aeR）为奇函数，则不等式〃lnx）＜川1时）的解集

为.

10.（2022・上海・复旦附中模拟预测）已知函数/（"=（。'-6-）V，若/〃满足/（睡2/〃）+/（嗔05小）£主二，

e

则实数，〃的取值范围是

题组六对数函数的定点

1.（2022・全国•高三专题练习）己知函数，=log“*-D+l（«＞0,且。工1）的图象恒过定点A,若点A在

椭圆±+二=1上，则〃?+〃的最小值为（）

mn

A.12B.10C.9D.8

2.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=log*K-1）+1,（。＞0,4工1）恒过定点A,过定点A的直线

/：,山T/DFl与坐标轴的正半轴相交，则〃m的最大值为（）

3.（2022・全国•高三专题练习）已知函数），=1。1（工-1）+4（a>0且"1）的图象恒过点A,且点A在角。

的终边上，则产叱。，=（）

cos-cr-2sin'a

744

A.——B.-2C.-D.——

477

4.（2022•全国•高三专题练习）已知2数尸1吗3-1）+2（。>0,。工1）恒过定点4,则过点，（U）且以A点为

圆心的圆的方程为（）

A.<>-l）2+（y-2）2=lB.（x-2）2+（y-2）2=2

C.（x+l）2+（y-2）2=5D.（X-2）2+（>'+2）2=10

5.（2022.上海市实验学校模拟预测）已知函数/。）=1+1咆仃-1）3>0且。"）的图像恒过定点尸，又点尸的

坐标满足方程"氏+ny=1,贝ij〃加的最大值为.

6.（2022•全国•高三专题练习〉已知函数/（”=1+1限"-2乂”0,〃目）的图象经过定点人（以〃），若正数

x,‘满足"+'=1,则上+x+2），的最小值是

%>'y

7.（2022•天津市新华中学模拟预测）函数），=1。8“（工-1）+3（〃>0,。#1）的图像恒过定点人，过点A的直线/

与圆（r-1）2+/=1相切,则直线/的方程是-

3.4对数运算及对数函数（精练）（提升版）

题组一对数运算

(2022.河南•节选)求值：

(l)(Iog52+logy2)(log,3+log43)+In/-1g1.

⑵(电5)2+Ig21g5+^lg4-log,4xlog,3.

(3)log.15-log510+glog34；

ln2

(4)log321og2(log:8)e.

(5)21oga2—Iog3弓+log?8—5%3；

(6)(log：125+log425+Iogs5)-(log52+Iog2s4+Iogi2s8).

(7)1lg25+lg2+lg>/io+lg(0.01)_,：

z

(8)(lg2)+lg24g504-lg25;

(9(log32+Iog92)-(log43+Iogs3)；

(10)210g.a2—log3吊+log38—31ogs5；

【答案】(1)，(2)-1(3)1(4)2.(5)-1：(6)13.(7)-：(8)2：(9)-：(10)-1.

424

【解析】⑴原式=（1|+罪）（旨是＞2.0=31g231g3,9_1

------------Z=Z——

21g321g2-----4-----4

(2)(lg5)2+lg2lg5+fg-晦3=尼5婚+怆2)+点一詈噎山+32-2=」2

<3)原式=log,葛+log,"=log51+log,2=log,(1x2)=l.

(4)原式=log,2log2(log28)-2=log,2-log,3-2=2.

(5)原式=21og32-51og32+2+3log32-3=-l.

(6)原式J*+警砥2+焊+笔］

Ilog,4log28yli】og$25log5125；

=(31哨5+生蚊+旦2，，&2+2虻+或虻］=(3+1+1］|(唱，5(31%2)

6562V657

［立210g22310g22八2log55310g⑸13)

川.log,2

=131og25----=13.

11,1I.2J2Z27

原式=lg252x2x102x110-2)=lg5X2X10X10=|gIO=-

.J\72

(8)^^=(lg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+l)lg2+21g5=(l+l)lg2+21g5=2(lg2+ig5)

=2.

⑼(10部2+1。陟2)(1。843+1。弟3)=(1|+皆)(眼+翳)=卷+悬)・(是+枭)

31g251g35

32

(10)21ogs2—Iog3—,log?8—31og55=log322+Iog3(32x25)4-log?23—*3=Iogj(22x32x25x23)

=log.^32—3=2—3=—1.

题组二对数函数的单调性

I.(2022•河南)已知函数〃，=ln(2+2x)+ln(3—3x),则/⑺()

A.是奇函数，且在（0,1）上单调递增B.是奇函数，且在（0,1）上单调递减

C.是偶函数，且在（04）上单调递增D.是偶函数，且在（0,1）上单调递减

【答案】D

【解析】对于〃x）=ln（2+2A）+ln（3-3x）,有严解得

••・/（”的定义域为（-覃），关于原点对称.

/（-x）=Jn（2-2x）+ln（3+3x）=ln2（l-x）+ln3（l+.v）

=ln2+ln（l—x）+ln3+In（l+.v）=ln（2+2A）+In（3—3.v）=/（.v）,

，函数/（力为偶函数.

v/（x）=ln（l-x2）+ln6,内层函数〃=1-/在"|）上为减函数，外层函数），=1n〃为增函数,

•.函数/X）在（0,1）上为减函数.故选:D.

2.（2022•全国•高三专题练习）（多选）已知函数/（x）=*®3-公）3工1）在区间（0,4］上是

增函数，则实数。可取（）

A.0B.gC.0--

234

【答案】BC

【解析】因为xw（O,4］时，3-奴>0恒成立，所以八="3,所以q-1<0

」3-4fl>04a-\

为负数，

因为函数产叱在（。，+8）上是增函数，所以要使/⑴在（0,4]上是增函数，

则需函数/=3-如是减函数，所以〃>（），所以实数。的取值范围为（。5）.故选：

BC.

/、{x2+（4«-3）A+3£Z,X<0

3.（2021・福建・高三阶段练习）（多选）已知函数/（戈）=1陛[+i）；ix>0（"°且。工1）

在R上单调递减，且关了x的方程|/（“=2-方有2个不相等的实数解，则。的取值可以是

A・5B-Jc-1D-:

【答案】AB

x2+(4-3r/).v+3«,A<0

【解析】因为/（%）=是R上单调递减函数,

log„(x-i-l)+l,x>0

-00a/

24I3

所以()<«<!即0<«<1,所以一WaW—,

234

0+(4r/-3)()4-3«>log(1(0+1)+1

因为方程|/a）l=2-：有2个不相等的实数解，

r2

则丁+（4-34）1+34=2-7在（-<»,0）只有一解,所以3〃<2,可得

JJ

所以实数。的取值范围为故选项AB正确；故选：AB

4.(2022・全国•高三专题练习；已知/(")=唳//-以+刈在区间(2,田)上单调递减，则实

i

数〃的取值范围是.

【答案】[-4,4]

【解析】由题可知，/(町=嵯；代-奴+3〃)在区间(2,内)上单调递减，

设〃=F-处+3a>0，而外层函数)'=，oglM在定义域内单调逆减，

2

则可知内层函数〃=f-奴+%>0在区间(2,田)上单调递增，

由于二次函数〃=V-ax.+3a的对称轴为x=1，

由已知，应有■^■02,且满足当2时，”=/一心+3”之0,

2v2

即2~,解得：-4<a<4,所以实数。的取值范围是[T,4].故答案为：[T.4].

42aI3«>0

5.(2022•四川•石室中学三模)若函数/(x)=ln(x2-ar-l)在区间(l,4oo)上是单调增函数,

则实数a的取值范围是.

【答案】(F0]

【解析】由函数在区间(1,y)上是单调增函数，只需

函数依-|在(1,田)上是单调增函数，且当x>l忖丁-必-1>()恒成立，所以满足

‘5一’解得a$0.故答案为：(F,0]

6.(2022・全国•高三专题练习；若函数凡日二后他必+”)在区间(0,1)内单调递增，则实数a

的取值范围为.

【答案】一；，+8)

【解析】若函数Jx)=ln(6^+力在区间(0,1)内单调递增,

即函数g(*)=aH+x在(0,1)内单调递增，

当a=0时，g(x)=x在(0,1)内单调递增，符合题意，

当必)时，g)的对称轴工=-1<0,g)在(0,1)内单调递增，符合题意，

2a

当”<0时，需满足g(x)的对称轴式=-：21,解得一;&V0,综上，走一；.故答案为：

——,4-00

2

7.（2022・湖北•高三期末）已知函数/（%）=lg（f-2戈-8）的单调递增区间为（&例），则。=

【答案】4

【解析】由题知V—2x—8>0,解得x>4或％<-2,所以函数的定义域为{#>4或X<-2},

因为函数〃=*2-2其-8在（4,田）时单调递增，在（YO,-2）时单调递减，函数y=lg“在

（0,+e）上单调递增，

所以函数/（x）=lg（f-2x-8）的单调递增区间为（4,口），故〃=4故答案为：4

8（2022•云南昭通•高三期末）已知〃>0且"1,若函数/（x）=log“[*-（2-a）x+3]在

上是单调递增函数，则a的取值范围是.

【答案】（0，：J*8）

【解析】由复合函数单调性可知,

2-a.1

①当时，•1：：,解得心|：

2

②当0<a<l时，，解得

”(2-a)+3>03

所以"的取值范周是（o,jJ故答案为：（°卷JT'*01

9.（2021•天津•南开中学高三阶段练习）若函数/3=1唱（丁-小+川在区间[2,内）上是增

函数，则实数”的取值范闱是.

【答案】（T4]

【解析】由题设，令，=V-仆+3“，而产1呜，为增函数，

二.要使/（I）在[2,一）上是增函数，即/在[2,y）上为增函数，

A=«2-12«>0,可得0<。工4或-4<。？0,

△=，/-12。<04+«>0

，〃的取值范围是（-4,4].故答案为：（_4,4]

10（2022•北京师范大学天津附属中学高三阶段练习）已知函数““=卜电（/一公-〃）对任

2

意两个不相等的实数拓、都满足不等式,二）一""）>0,则实数〃的取值

I2）X,-Xy

范围.

【答案】-11

【解析】设由"?二">°可得/«）<//），所以，函数/（”）在［-8,-［上

单调递增，

设“=/一ar-〃，由于外层函数）'=为减函数，故函数〃=/一心—“在［8,-g）上

单调递减，

f£>_l

且对任意的〃>0恒成立，所以，;J,解得74aq.

I）-+-a-a>02

142

因此，实数〃的取值范围是-11.故答案为：-1，；.

11.（2022•全国•高三专题练习）已知函数〃"=咋/""【一是R的递减函数，则实

A〃）

数。的取值范围是.

【答案】4

/

【解析】要使函数/（x）=logj亘壬是投的递减函数，只需曲［一”>1，

-X/a

当q<0时，+1-a<0不成立;

a

当a>0时，曲:一〃>1可化为庐1>加，解得：〈等，即实数。的范围是（o,日）.

故答案为：

题组三对数函数的值域（最值）

I.（2022•全国•高三专题练习（理））下列函数中最小值为8的是（）

C.y=lnx+——D.y=4r+42-x

Inx

【答案】D

【解析】对于A,取x=0.则y=5,最小值不为8：

对于B,因为y=|cosx|+$A2x4,但|COSA|=4无解，从而此函数的最小值不为8,

对于C,取X=L则），=-1-16=-17,此函数的最小值不为8,

e

对于D,y=4,+42-♦2展=8,当且仅当X=1时等号成立，故此函数的最小值为8,故选：

D.

-X21

2.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/'（x）=«iogT，x>]，若对任意的xeR,不等式

机-〃，恒成立，则实数，”的取值范围为（）

【答案】B

-X2+X,X^\Z1、2

【解析】:"log]>I，当X«1时，/（x）=—+%=—（x—/J+—<—；

当x〉l时，""=唾了<°所以，/（X）四=/出=；.

若对任意的XCR,不等式〃/恒成立，则/（X）皿4；小一加，

所以，+解得因此，实数，篦的取值范围是J」.故选：B.

444L4

3.（2022・全国,一模（理））已知函数/（1）=37+〃，8（1）=1限（正-1），若对任意444,25],

存在15，使得则实数”的取值范围是（）

【答案】A

【解析】•••对任意444,25],存在3卜1』，使得/（〃）*«），・••g（x）由”（工

・.・g（x）=log2（«-l），，g㈤而n=g（4）=。,

f（x）=3~x+n,/.〃丸「/（1）=〃+9・〃+90,解得，故选：A.

I「3

4.（2022•广东）若/（x）=log“（依2-x+］）（a＞0且awl）在I,-上恒正，则实数。的取值范

围是()

12328

A.(I?)3],—)B.(--)J(2,-KO)

1Qa3

C.(2,9)U(2，+<50)D.(：,X)

【答案】c

【解析】因为函数/。)=1。8“〔磔2_X+；),。>0且4工1,在l,g

上恒正，

令〃(力=G7+3,所以当时，〃(X)的对称轴方程为x=]知〃即

a-1.+y1lM,〉、3

当0<avl时，X-1,满足

2(1

0<a<l

0<«<113[0<«<1

1,一2々一231

2af1Y11n22a

4<3?31i或，2a2或<解不等式得：；＜“＜：，

⑴2212

u-1H---<1

1213丫31八

12⑶311〔⑴22

a\——+-<1

.\2)22

所以实数a的取值范围是(g,>IJ(|,+oo).故选：C.

5.(2022・全国•高三专题练习)己知函数/。)=馆(，1+(2-4).「

卜的值域为R，则实数〃

的取值范围是()

A.(1,4)B.(1,4)U{0}

C.(0,1]J[4,4^o)D.[0,l]^[4,+no)

【答案】D

【解析】令“=a/+(2-a)x+；,由于函数/(x)=lg(ad+(2-，）、+；）的值域为R.

所以，函数“=加+(2-〃)44■5的值域包含(0,+8).

①当。=0时，函数〃=2x+!的值域为R,合乎题意；

4

②当。H0时，若函数〃=a--(2-a)x+：的值域包含(0,+R),

«>0

则L小\2解得0<。41或〃24.

A=(2-«)-«>0

综，所述，实数。的取值范围是似1]34，〜)•故选：D.

6.(2022•全国•高三专题练习)己知函数/(外=但[(/-1)/+(〃+]»+1]的值域为R则实数

a的取值范围是()

A.[1,1]B.(1,1]

C.(^)O,-|]^(|,-KO)D.(-co,-l)U[i.1)

【答案】A

[解析);/(x)=Ig[(a2—1*+(〃+1)X+1]的值域为及

令)，=(/一1卜2+(“+1)工+1,则

)，=(/—1卜2+(。+]卜+]的值域必须包含区间(0,+8)

当a?一]=o时，则〃=±1

当a=l时，y=2x+l符合题意；

当a=T时，丫=1不符合题意:

a-1>05

当时，(/、，/,、，解得IvaV：；

.•.iWawg,即实数。的取值范围是口,g]

故选：A

7(2022・北京•高三专题练习)若函数〃