2024年高考模拟数学试卷05(新高考II卷专用)(解析版)

备战2024年高考数学模拟卷05(新高考II卷专用)

第I卷(选择题)

一、单项选择题

1.已知集合人={-1,01,2},8=卜,2工]},则A「8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

K答案)]B

k解析U^={x|x2<l)={x|-l<x<l},

又刊={-1,0,1,2},则8={-1,0,1}.

故选：B.

2.(2-i)(l+3i)=()

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

R答案HA

K解析』(2-i)(l+3i)=2+6i-i+3=5+5i.

故选：A

3.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图

1,这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端

相邻两个锚的间距出匕」(，=123,…,9)约为4m,拉索下端相邻两个锚的间距Md/

(，=1,2,3,…,9)均为18nL最短拉索的锚片，A满足QR|=84m,|QA|=78m,以为4所在

直线为x轴，所在直线为〉轴，则最长拉索所在直线的斜率为()

K答案2B

K解析》由题意知｛。用，｛3｝（i=123,…,10）分别是公差为4和18的等差数列,

所以10Koi=|。图+9x4=84+9x4=12。，|。线=+9x18=78+9x18=240,

所以3岛=黑=；,勾岛=号=一；,即最长拉索所在直线的斜率为

U+Z4UZU—Z4UZZ

故选：B.

4.已知平面向量〃=7（4,3）,??=（2,0）,i=〃；+/5，若＜：〃?,，）=（〃"），贝必=（）

K答案UD

K解析U[=机+版=（4,3）+（2左,0）=（4+2匕3）,

mt4(4+泉)+925+82

COS(772.r

kikl5H5”

2(4+24)4+2左

2H

25+824+2Zs

所以书二方,解得火w

故选：D

5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲

与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

K答案XB

k解析•]]甲与乙相邻有A：种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好,

有A：种不同的排法，

再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有C；种不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200种不同的排法.

故选：B.

6.已知角a,#e(0,7t),且sin(c—/?)+cos(a+")=0,sin«sin/7-3cosarcos/?,则

tan(cr-。)=()

A.-2B.」

c・ID.2

2

R答案》c

k解析H因为sin(a-0+cos(a+〃)=O,

所以sinacos/y-cosasinp+cosacos〃-sinasin〃=0,

sinacosB-cosasin3,

所以«：：-7=—］，

cosacosp-sinasinp

,tanor-tanZ?,

mil-----------------=-l,

1-tantztanp

Xsinasin=3cosacosp,则tanatan/?=3,

贝(jtana—tan.=2,

，zc、tana-tanB21

所以tan(a・/?)=-------------=—=

1+tanatanp1+32

故选：c.

7.已知正三棱锥户-人BC的外接球的表面积为3万，若外_L平面PBC,则三棱锥P-A3C的

体积为()

A.-B.-C.—D.—

634824

R答案HA

K解析工设外接球半径为R,则4万川=3万，所以犬=争

设PB=PC=PA=a,因为E4J_平面P8C,所以个_L依，PALPC

所以AB=AC=V^/，又因为△ABC为正三角形，BC=&a，「./〉8_LPC

即以，PB,PC两两垂直.

将三棱锥补成以％,PB,PC为邻边的正方体，贝1」扭=走=立〃，得〃=|,

22

所以三棱锥的体积为V=：x〈x|xl="

326

故选：A.

8.函数/(x)和g(x)的定义域均为R,已知)，=/(1+3])为偶函数，y=g(x+l)+l为奇函

数,对于VrwR,均有f(x)+g(工)=/+3,则〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

K答案2B

R解析』・・,y=f(l+3x)为偶函数,即f(l+3x)=f(l-3x),

\的图像关于x=l对称，

・)，=g(x+l)+l为奇函数，即g(x+l)+l=-g(-x+l)-l,

・•.g(x)的图像关于点(1,-1)对称，

,•,对于WxwR,均有/(x)+g(x)=f+3,

”(-2)+&(-2)=4+3=7,

・・"(%)的图像关于x=1对称,「.〃-2)=/(4),

・・•g(x)的图像关于点(1,-1)对称，,g(-2)=-g(4)-2

"(4)-g(4)=9

又〃4)+g(4)=42+3=l9

解得〃4)=14,g(4)=5,

.J(4)g(4)=70.

故选：B.

二、多项选择题

9.对于函数〃x)=-2sin3x+?+-(xeR),有以下四种说法正确的是：()

A.函数的最小值是-•!

B.图象的对称轴是直线工点喂AeZ)

C.图象的振幅为2,初相为:

4

D.函数在区间[一得上单调递增

JL乙

K答案HAD

K解析》因为函数〃x)=-2sin(3x+T+；(xeR)，则有：

对于选项A：当3]+2=2+2面,kwZ,即1=二+2而从62时，

42123

I7

函数/(x)取得最小值为-2*1+万=-本故A正确；

对于选项B：令3x+C=Z+E#eZ,解得产工+蛆,%6%,

42123

函数/（"的图象的对称轴是直线4联+争良Z,故B错误；

对于选项C：因为

Ji37r+-=2sinf3x--+2^71+',ke.Z,

/(v)=-2sin|3x+-|+-=-2sinI3x--+2ibr|+7r

4；242I4）2

所以图象的振幅为2,

令乙=一2E+2E«WZ,解得4=2£Z,

442

所以;不为初相，故C错误；

4

对于选项D：令二+2EW3X+至42+2E,kwZ,解得乌+也+也/wZ,

242123123

即函数/3的递增区间为七+半，居+§］，%eZ,

当％=T时，/5）的递增区间为-得，-;，故D正确.

故选：AD.

10.（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖嚅”是我国古代对一些特殊儿何体的称谓.《九章算术・商功》:

“斜解立方，得两堑堵，斜解量堵，其一为阳马，其一为鳖嚅一个长方体沿对角面斜解（图

1），得到一模一样的两个堑堵（图2）,再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2）,

得一个四棱锥称为阳马（图3）,一个三棱锥称为鳖膈（图4）.若长方体的体积为匕由该

长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖嚅的体积分别为匕，匕，匕，则下列选项正确的是（）

R答案UACD

K解析U设长方体的长宽高分别为。也c,V=ahc,

V]1]L'abc'abc,

则匕=-=—abc,%=-xabc=-abc,匕=

,22233326

3I

故匕+%+K="c=V，匕=：匕，匕=2匕，则B错误，ACD正确；

26

故选：ACD.

11.已知。为坐标原点，点A（—2,-1）在抛物线C：X2=_2py（p>0）上，过点8（0,1）的直线交

抛物线。于P,Q两点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=iB.直线袒与抛物线C相切

C.OP0Q为定值3D.忸斗忸@>|84『

K答案HABD

K解析》对于A：因为点A（-2,-l）在抛物线c：/=-2刀（〃>0）上，

则4=2〃，解得p=2,

所以抛物线C：x2=-4y,

其准线为y=l,故A正确；

对于B：令=

则广（”=一?，可得r（-2）=1,kAB==1,

即抛物线在A点处切线斜率与直线4B斜率相同，

所以直线与抛物线C相切，故B正确；

对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，

设直线PQ的方程为》=履+1,尸（百,*）,。（孙％），

联立方程y工=“+1消去得7+疝+”。,

可得A=1622-16>O,得公>1,

%1+x=-4k

且2

xAx2=4

2

umuuu（rVv-

因为。？。。=内/+）叱2=内再+-十--T

14人4

22

=X[X>+上4=4+1=5,故C错误；

~16

2

对于D；山题意可知忸入「=（2O）I（11/=8,

因为忸斗怜。|=«+后归-0].«7尸卜2-。|=（1+公）|即q=40+公）,

则忸斗忸Q=4（l+&2）>8.

所以|四.忸0|〉|例）故D正确.

A.4.v+3j<2>/3B.4x+3y>-l

C.4x2-6町+9）*W8D.4.r2-6冲+9y2>1

k答案UAD

1771

K解析D对于AB,因为4f+6肛，+9y2=/4x+3），）2+-r），2=3,所以二（44+3），[43,当

444

且仅当y=0时取等号，

所以（4x+3»W12,所以一2604x+3），&2百，所以A正确，B错误，

对于C因为2（2%+3心0,所以2（4312盯+9/）",当且仅当2x=-3y时取等号,

所以8x2+24.17+i8y2>0.所以12—+18外+27/24x2-6.p+9,y2,

所以3（4/+6xy+9y2）>4x2-6xy+9y2,

所以4/-6与，+9），249,当且仅当2x=-3），时取等号，所以C错误，

对于D,因为2（2x-3»2（）,所以2（4/一12心+9），2）20,当且仅当2x=3），时取等号：

所以8x2-24xy+18/>0.所以12.?-18^+27y2>4x2+6盯+9/,

所以4/-6冷，+9^2空等土2匚=1,当且仅当2x=3），时取等号，所以D正确，

故选：AD

第H卷（非选择题）

三、填空题

13.已知随机变量4服从正态分布N(4,，)，且P(4>6)=0.2,则P(2<J<4)=.

K答案』0.3

K解析》随机变量g服从正态分布N(4Q2),且尸(4>6)=0.2,

所以2(4<4<6)=0.5-2(4>6)=0.3,

所以P(2<《<4)=尸(4<g<6)=0.3,

故K答案X为：0.3

14.已知函数/(x)=lnx+x,过原点作曲线)，=/("的切线/,则切线/的斜率为.

k答案H-+1

e

K解析》由题意得，/(力=,+1,设切点为。(与』入％1%)，

X/

(1、

则切线方程为丁=一+1(x-x0)+lnx0+x0,

Mo/

因为切线过原点，

，1)

所以0=—+1(-%0)+111^+^=lnX0-l,

kXo7

解得%=e,所以rA)=/'(e)」+l.

e

故R答案X为：-+1

e

15.已知圆C：工2+),2+24-4)，+3=0,直线/：(〃z+2)x+(〃Ll)y+4-4"?=0,若在/上总

存在点M,使得过M点作的圆。的两条切线互相垂直，则实数〃?的取值范围是.

K答案X-2</n<10

K解析II根据题意，圆C：V+),2+2工一4)，+3=0即(八+1)2+(>-2)2=2,

其圆心为(-L2),半径7•=&,

如图，设切点分别为A,8.连接人C,BC,MC,

由==3c=9(T,又由AC=8C=r=&，

则四边形MACS为正方形且=V2r=2,

若直线/上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直,

|-（77：+2）+2（/ZJ-1）+4-4W|

只需圆心（-1，2）到直线/的距离d=<2,

“71+2）2+（“2-I）?

即—8/〃-20&0，

解可得：-2<77?<10,

即，"的取值范围为-2〈〃区10；

故K答案U为：-2</n<10

16.已知椭圆C：£+君的左，右焦点分别为耳，人,过点耳且垂直于x轴的

直线与椭圆交于A、5两点，AK、分别交y轴于2、。两点，PQ6的周长为4.过与作

/工46外角平分线的垂线与直线BA交于点N,则|ON=,

k答M3V17

K解析》因为尸Q/皿所以\PQ品\|=「居鬲|=\Q局F2\）1

因为，PQK的周长为4,所以△A85的周长k用+配用+忸制+忸玛|=4a=8,

所以〃=2,所以椭圆方程为:+]=1,02=4-3=1,所以4（一1,0）,

直线A4垂直x轴，设4（-1,），。）,），0>0,代入：+孽=1,求得

所以|A&=防「+|即「=（+4=曰，|4F2|=|,

因为/鸟人片外角平分线AT的垂线与直线BA交于点N,

所以M段=MM=mw|^|=|+|=4,

则|0讨=加用2+|602=42+1=17,所以|例=行・

17.已知数列｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且--々=%-名=包-q.

(1)证明：4=4；

⑵若集合"=任也二%-《」金〃450｝,求集合用中的元素个数.

q+d-2々=4+2J-4/7)

(1)证明：设数列｛〃”｝的公差为"，则,

4+d_2bl=8b「M+3d)

d=2b.

即4,

[Cly+2J-5/?!=0

解得4=4=g,所以原命题得证.

(2)解：由(1)知〃=4=[，所以瓦=«“+6=4x2"」=q+(〃?-l)d+q,

因为，尸。，所以，7=2卜2目1,50],解得2WA410g250+2=3+k)g"5,

由24=15,25=32,Jfc4<log225<5,g|J7<3+log225<8,

所以满足等式的解攵=2,345,6,7.

故集合M中的元素个数为6.

18.在①sin8=>/5sinA;②〃cosC+ccos8=2cos3这两个条件中任选一个，补充在下面问

题中并解答.

问题：设ABC的内角A,B,C的对边分别为J且sinA+sin(4-A)=sinC"=后,

(1)求3;

(2)求ABC的周长.

注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第-个解答计分.

解：(1)在；A8C中，。二工一4一8,

.,.sinC=sin(A+/?),

sinA+sin(^-A)=sinC,

sin4+sin(/?-4)=sin(4+^),

则sin4+sin"cosA-cosAsin4=sin“cos4+cosAsinA,

化简得sinA=2sinAcos8.

在/BC中，sinAhO,

cosB=—.

2

又0<fi<7t,

•、江

B=—.

3

⑵由余弦定理,得〃=/+c2-2accosB,即，/+c2-ac=3.

若选①，

•.,sinB=GsinA,即〃=\/5a,且/+。？一改=3，

a=1,C=2,

此时A8C的周长为3+6.

若选②，

bcosC+ccosB=2cosB,

•>->2，，，«

.a~+b--c~a+c--b-一„I,

:.bx---------------+cx---------------=2cosB，Bn|Jila=2cosB=2ox—=I,

lab2ac2

又a2+c2—ac=3，

:.c=2,

此时4?C的周长为3+6.

19.据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生

活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的

部分按平价收费，超出X的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，

获得了〃户居民某年的月均用水量(单位：吨)，其中月均用水量在(9,12］内的居民人数为

⑴求。和〃的值；

⑵若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准工吨，试估计x的值；

⑶在(2)的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x吨时，按3元/吨计算，超出x吨

的部分，按5元/吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则

该市居民月用水量最多为多少吨？

解：(1)\(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+«)x3=l,

I

a=----.

300

丁用水量在(9,12］的频率为0.065x3=0.195,3前9=200(户)

(2)(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x16.6(吨)

0.R7-0.72

(3)设该市居民月用水量最多为“吨，因为16.6x3=49.8<70,所以m>16.居

则卬=I6.6X3+(〃L16.6)x5070,解得/nV20.64,

答：该市居民月用水量最多为20.64吨.

20.如图，在四棱锥P-/13C。中，底面A8CD是正方形，尸。_1底面48。。，E,6分别是

PC,AO中点.

C

AB

⑴求证：/平面尸尸8;

(2)若AO=1,03与平面ABC。所成角为45。，求平面尸/由与平面EFQ夹角的余弦值.

⑴证明：设G为PR中点,连接GE/G,

乂E户分别是中点，

所以尸O=LAO,GE=，8C,GE!IBC.

22

乂底面A8CO是正方形，

所以")=GE,GE//FD,故四边形a)EG为平行四边形，则DE//FG,

由。七(2平面勿E,尸Gu平面打火，则。七//平面

(2)解：因为P8与平面/WC。所成角为45。，所以/尸8。=45,以及为原点，构建空间直角

坐标系，

由于AO=1,则。。二05=a，

所以8(1,1,0),。(0,0,0),E0，；，孝,0,0)，尸(0,0.闾,

<2

所以QE二

m-DE=—y+z=0

令"7=（M），,Z）为平面EF。的一个法向量，则•2-2

m-DF=—x=0

2

令y=4i,即m=（0,夜，-1）,

n-PB=a+b-y/lc=0

令〃=卜/，"。）为平面/Y8的1-个法向量，则，

n-FB=—a+b=0

2

令。=2,即〃=2,-1,

3>/2

所以cos（〃?,〃，=m・nF二3后

高厂5

即平面PFB与平面EDB夹角的余弦值工竺

55

21.已知双曲线C：二-1力>0）经过点尸（4,6）,且浙近线方程为），=±瓜.

ab~

（I）求。的方程;

⑵过点尸作）'轴的垂线，交直线/：x=l于点M,交）'轴于点N.不过点P的直线交双曲

s

线。于A、8两点，直线力,依的斜率分别为占，Q若勺+&=2,求广.

JNAB

解：（1）由二一二=0=），=±2不，即2=6=//=3。2,

a~b~aa

将尸（4.6）代入双曲线方程得，爷=1n/=44—

（2）当直线A3的斜率存在时，不妨设直线A"：y="+〃i,4（西,乂）,4（工2，%），

联立双曲线方程；=7=。=-2热"心。.

其中公±3/=4&加2-4（3--）（一〃?2_]2）>0=62+]2_48>0,

2km-m2-12

Xi+X2_,V2=__?

R—X—6,.―62烟0+（〃?_6_必）您+当）_8（〃?_6）

1

2内―4x2-4内再—4（玉+xj+]6

（2人一2）%修+（"7+2-4枢N+/）-8/〃+16=0,

化简得病+2k〃-8k2-12伏+"?)+36=("?-2k-6)(〃z+必-6)=0

所以〃？=2&+6或tn=-4k+6，

当〃?=-4k+6时，直线AB过P,不符题意舍去，

故〃?=2攵+6,则此时直线A8:)，=k(x+2)+6,过定点。(一2.6).

如图所示,易知M(l,6),N(0,6),

胤s”；帆一)讣QM|0陷_3

「NABL\yB-yA\.\DN\PM2

乙

当直线A8的斜率不存在时，可设A8:x=/,

与双曲线方程联立，则=1=),=±J3/-12,

可令人’,,3产12),叶,43212卜

in.1..,53.—12—6_12_6..

此时0k、+k、=-----------+-----------=2nf=-2，

7-4