2024年北京第二次高中学业水平合格考数学模拟试卷（含答案解析）

2024年北京第二次普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟试卷01

一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是

最符合题目要求的）

1.若集合A={-3,T,2,6},8={x|x>0},则力”8=()

A.{2,6}B.{-3,-1)C.{-1,2,6)D.{-3,—1,2}

2.命题“VXGZ,x2"）”的否定是（)

A.HveZ,丁20B.玉wZ,x2<0

C.3xeZ,%2<0D.史Z,X2<0

3.下列函数图象中，为偶函数的是（)

4.如图，在正方体/Wco-AAGA中,直线4c与的位置关系是

B.平行C.垂直且相交D.相交

5.函数丁=尸！的定义域是（）

A.[X+oo)B.(2,+8)C.(f2)D.Y),2]

6.已知向量a=(x,3),6=(2,1),a/。，则工=()

33

A.6B.D.

22

7.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选

择红色教育基地的概率是)

8.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380。角终边相

同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

9.log62+logft3=()

A.0B.1C.2D.3

10.树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动

员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为()

A.2B.4C.6D.8

H.设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

12.已知函数/(x)=f-2x,xq2,5],则函数的最大值为()

A.15B.10C.0D.-1

13.平面向量。=(1,一2)力=(2,间，若〃//方，则,一耳二()

A.石B.2C.V5D.76

14.“心一3”是“心一2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.设角。的终边与单位圆的交点坐标为(虫」)，贝"osa=()

22

A.；B.—C.立D.1

222

16.已知函数/3=工；:八，则函数/(/(0))=()

2—2,x>0

A.1B.2C.3D.-1

17.在一A6C中，角A8,C所对应的边分别为a也c,如果〃=l.c=G.8=300,那么角A的度数是()

A.30或60B.45,或60C.30°或90°D.45°或120'

18.某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递个数分别为360,284,290,3(X),188,240,260,288,

则这组数据的百分位数为75的快递个数为()

A.290B.295C.300D.330

19.在“8C中，角A,B,C所对的边分别为〃，力，c.若a=2,b=3,c=4,则cosA=()

A.--B.5C.-D.—

42816

20.《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖脯.现有一个“鳖膈“，PA_L底面48C,

ACJ.BC,且PA=3,AC=BC=2,则该四面体的体积为()

2

F

c

A.1B.2C.4D.8

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）

21.己知i为虚数单位，则（l+i）（l-i）=—.

22.能说明“若心〃，则,〈卜为假命题的一组。力的值依次为"_______;〃=_______

ab

23.将4及C三组数据绘制成如下的折线图，则这三组数据中，组数据的方差最小.

24.水平放置的"WC的斜二测直观图如图所示，已知8，C=4,A，C=3,轴，则/包。中以下

说法正确的有________________

三、解答题（本题共4小题，共28分）

25.（7分）已知函数'=5亩（2.1+季），xeR.

（1）求出该函数的最小正周期；

（2）求出该函数取最大值时自变量x的取值范围.

26.（7分）已知：如图，四棱锥"-A8C。，24_1_平面人股；九四边形AHC"是平行四边形，E为PC中

3

则称集合A为“闭集”.

(厅,式判断集合吕={-1,0,1}是否为“闭集”，并说明理由；

(2)没集合A是“闭集”，求证：若工ye4,则x+yeA；

(3)若集合M是一个“闭集”，判断命题“若xeM,则feM”的真假，并说明理由.

5

一,选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项

是最符合题目要求的）

I.若集合A={-3,-1,2,6},8={x|x>0},则418=（）

A.{2,6}B.{-3,-1}C.{-1,2,6}D.{-3,—1,2）

【答案】A

【分析】由交集的运算得到即可.

【详解】因为集合4={-3,-1,2,6},8={1相>0},

所以AQ8={2,6},

故选：A.

2.命题“X/xeZ,f20”的否定是（）

A.HxeZ,x2>0B.HxgZ»x2<0

C.HxeZ,x2<0D.3Lv^Z»x2<0

【答案】C

【分析】根据命题rxw何，〃（"”的否定是“HreM,力⑴”直接得出结果.

【详解】命题“VxwZ,-NO”的否定是“HreZ,x2<0'\

故选：C.

3.下列函数图象中，为偶函数的是（）

【分析】由偶函数的性质即可得.

【详解】根据偶函数的图象性质可知，关于），轴对称的函数是偶函数.

故迷：C.

4.如图，在正方体AB8-A4GA中，直线与£8的位置关系是（）

6

C.垂直且相交D.相交

【答案】A

【分析】由异面直线的定义判断即可.

【详解】体对角线4。与面对角线CB不在同一个平面内，且不平行,

故体对角线与面对角线C}B的位置关系一定是异面.

故选：A.

5.函数y=Jx-2的定义域是()

A.[2,+co)B.(2,+co)C.(-oo,2)D.(9,2]

【答案】A

【分析】直接根据被开方数不小于零列不等式求解.

【详解】〈J曰有意义，・・・“一220,即XN2,

所以函数丁=>/7^的定义域是[2,48),

故选:A.

6.已知向量。=(苍3),。=(2,1),6工万，则尸()

33

A.6B.-C.—6D.—

22

【答案】D

【分析】运用向量垂直的坐标表示列式求解即可.

3

【详解】二d上6，；・万石=0，即2x+3xl=0,解得％=-不,

故选：D.

7.某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁、戊三个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选

择红色教育基地的概率是()

A.—B.—C.—D.~

6532

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用古典概率公式计算即得•.

【详解】依题意，任选一个基地有5种方法，选择红色教育基地有2种方法，

7

所以选择红色教育基地的概率是I.

故选：B

8.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380。角终边相

同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】A

【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.

【详解】因为与380。角终边相同的角的集合为｛0尸=380。+匕360。,攵£4,当攵=-1时・，得到力=20。，

又teZ,所以易知BCD均不符合题意.

故选：A.

9.log62+logft3=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.

【详解】log62+log63=log6（2x3）=log66=1.

故选：B.

10.树人中学田径队有男运动员30人，女运动员20人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从全体运动

员中抽出一个容量为10的样本，则应抽取男运动员的人数为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】用分层抽样知识计算即可求解.

【详解】应抽取男运动员的人数为天30合xl0=6人.

故迷：C.

11.设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】

根据复数的几何意义求出即可.

【详解】因为z=—3+2i,

所以对应复平面内点的坐标（-3,2）,

所以位于第二象限，

8

故选:B

12.已知函数/(x)=d-2x,x€口5］,则函数的最大值为()

A.15B.10C.0D.-1

【答案】A

【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.

【详解】函数/(>=勘-2］在［2,5］上单调递增,则/(0皿=7(5)=52—2x5=15,

所以函数八幻的最大值为13.

故选：A

13.平面向量〃=(1,一2),〃=(2,回，若〃//力，则()

A.3B.2C.75D.x/6

【答案】C

【分析】利用向量平行求出胴，再利用模长公式求解答案.

【详解】因为所以lx/〃=-2x2,解得〃?=-4,所以。一力=(-1,2),所以卜一4=6.

故迷：C.

14.“。之一3”是“。之一2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据两个范围的包含关系即可得到两个命题间的充分性和必要性的判断.

【详解】因{aIa>-3}*{〃|Q>-2},故%>-3”是“a之-2”的必要不充分条件.

故选B.

15.设角a的终边与单位圆的交点坐标为(立一)，贝ijcosa=()

A.；B.—C.巫D.

222

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义直接求解即可.

【详解】设角a的终边与单位圆的交点坐标为(等,；)，所以cosa=乎.

故选：C

21一2%〉0，则函数/(，(°))=()

A.1B.2C.3D.-1

9

【答案】A

【分析】先计算出〃0）=-1,进而求出/（/（（）））的值.

【详解】/（0）=2°-2=-1,故/（〃0））=f（T）=（T）2=i.

故选：A

17.在.A8C中，角ARC所对应的边分别为如果〃=Lc=Vl8=30°,那么角A的度数是（）

A.30"或60B.45,或60C.30,或90D.45°或120

【答案】C

【分析】根据正弦定理可求解c=：或进而根据内角和即可求解A.

行』r

【详解】由正弦定理可得加食二山出？sinC迹='®

b12

由于C«0㈤，所以C=?或因此当C=1时，4=],当。=4时，A=S

333236

故选：c

18.某地有8个快递收件点,在某天接收到的快递个数分别为360,284,290,300,188,240,260,288,

则这组数据的百分位数为75的快递个数为（）

A.290B.295C.300D.330

【答案】B

【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.

【详解】将数据从小到大排序为：188,240,260,284,288,290,300,360,

8x75%=6,所以75%分位数为"等史=295.

故选：B

19.在A8c中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c.若a=2,b=3,c=4,则cosA=（）

A.--B.5C.-D.—

42816

【答案】C

【分析】由题意结合余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理可得：COSAJ+C'T=9+16-4=2

2bc2x3x48

故选：C.

20.《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖脯.现有一个“鳖嚅“，E\_L底面A8C,

ACJ.BC,且E4=3,AC=BC=2,则该四面体的体积为（）

10

【答案】B

【分析】根据锥体的体积公式运算求解.

【详解】由题意可知：三棱锥P-ABC的高为幺=3,

所以该四面体的体积为gx3xgx2x2=2.

故选：B.

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）

21.己知i为虚数单位，贝Ij（l+i）（l—i）=—.

【答案】2

【分析】利用复数的乘法化简可得结果.

【详解】（l+i）（l_i）=lT2=l+l=2.

故答案为：2.

22.能说明“若〃>〃，则为假命题的一组〃，力的值依次为"_______；b=_____.

ab

【答案】1（答案不唯­）-1（答案不唯只要a>0,b<0或。>0,〃=0或。=0,匕V。均可）

【分析】根据不等式的性质判断.

【详解】若而>0,则由因此假命题时，只要满足〃>0,。<0或〃>0,。=0或1=0,〃<0即

ab

可，如=,

故答案为：1;-1.（答案不唯一）

23.将三组数据绘制成如下的折线图，则这三组数据中，组数据的方差最小.

12345

-o-A--o-B\AV\C

【答案】B

【分析】根据折线图可计算得到三组数据平均数相同,根据数据波动程度可得到结论.

II

1+3+5+6+93+4+6+5+63+2+4+7+8

【详解】A民C组数据的平均数均为=4.8,

—5-5

8组数据相对「平均数的波动程度最小，.♦・8组数据的方差最小.

故答案为：B.

24.水平放置的.ABC的斜二测直观图如图所示，已知9C=4,A'C'=3,8'C”?轴，则”灰:中以下

说法正确的是（）

B.AC长为6

D.边上的中线长为恒

C.8c长为8

【答案】①③④

【分析】根据斜二测画法的规则，即可求解.

【详解】因为轴，由斜二测画法规则知AC13C,即工8c为直角

三角形，如图所示，

又因为49=4,4（7=3,可得AC=3,8c=8,所以A8=6，

所以A8边上的中线长度为理.

故选：①③④.

三、解答题（本题共4小题，共28分）

25.（7分）已知函数'=5m（215，XGR.

（1）求出该函数的最小正周期；

（2）求出该函数取最大值时自变量》的取值范围.

【答案］（1）兀（2）｛xx=J+履MeZ

6

【分析】（1）使用最小正周期公式进行求解即可；

⑵由2x+?=V+2E,ksZ,求出x的取值范围即可.

62

/\

【详解】（1）设函数y=sin2x+g,xeR的最小正周期为7,

12

则T=—=7l,

工函数y=sin(2%+JxeR的最小正周期为冗.

(2)令2.丫+四=巴+2丘，keZ,

62

解得X=¥+E,ZGZ,

6

.••函数二sin（2x+JxeR取最大值时，自变量x的取值集合为““竦+五入Z-

26.（7分）已知：如图，四棱锥P-A8c。，/%_1平面A8CQ,四边形A8CO是平行四边形，E为PC中

（1）求证：PA//平面BDE；

（2）求证：BCVDE.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）连接AC交8。于点。，连接OE,证明OE〃尸A,再根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）证明0£：_1_平•面A3C。，根据线面垂直的性质可得OE_LAC,再证明8c上平面8DE,杈据线面垂直

的性质即可得证.

【详解】（1）连接AC交8。于点。，连接0E,

因为四边形A8CD是平行四边形，所以点0为AC的中点，

因为E为PC中点，所以OE//PA、

又PAN平面BOE,OEu平面BDE,

所以/W/平面8DE；

（2）因为尸A_L平面ABC。，OE//PA,

所以。E_L平面ABC。，

又BCu平面ABC。，所以QE_LBC,

因为N。力=90。，所以BC上BD,

又BDcOE=O,BD,OEu平面BDE，

所以8c工平面BDE，

又因DEu平面3DE，所以。C_LO£.

13

27.(7分)已知函数/(x)=%+£，月/(1)=5.

⑴求〃?；

(2)判断并证明/(x)的奇偶性；

⑶判断函数.“X)在(2,+8)是单调递增还是单调递减？请证明.

【答案】(1)m=4

(2)"可是奇函数，证明见解析

(3)“刈在(2,+8)上是单调递增函数，证明见解析

【分析】(1)根据题意，将x=l代入函数解析式，求解即可；

(2)利用奇函数的