人教 九年级 下册 数学 阶段拔尖专训6 相似与长度计算问题

阶段拔尖专训6相似与长度计算问题1温馨提示：点击进入讲评2345【高分秘籍】初中阶段线段长度求值的四种策略：策略一﹕最深奥的相似三角形法，先从直观上看可能相似的三角形大概有哪几对，再结合所求的线段，找出它们的关系即可很快地找出我们所需要的相似三角形，然后找出与所求线段对应的线段，其他一对对应线段要根据已知条件去找. 策略二﹕最容易忽略的建立直角坐标系法．当你在几何范围内不能顺利解决时，千万不要忘了通过建系、设点的坐标、两点之间距离公式这种方法可以很好地解决问题.策略三﹕最亲民的勾股定理法，所有计算长度问题的方法中，勾股定理是最常用的，或者说是使用频率最高的．我们要构造包含所求线段的直角三角形，这是我们解决问题的关键. 策略四﹕最高大上的三角函数法，首先要将所求的线段放在一个直角三角形内，一般是不会直接给我们直角三角形的，所以关键是添加辅助线——作垂线，构造直角三角形，然后利用特殊角的三角函数去解决问题.【证明】∵AB为⊙O的直径，AF⊥CD于点F，∴∠ACB＝∠AFD＝90°.又∵∠B＝∠D，∴△ACB∽△AFD.1．[2024西安一模]如图，AB为⊙O的直径，C为圆上异于A，B的点，E为AB上一点，连接CE并延长交⊙O于点D，连接AC，AD，BC，过点A作AF⊥CD于点F. (1)求证：△ACB∽△AFD；返回2．[2024威海]如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC＝CD.点E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H＝45°. (1)求证：EF是⊙O的切线；

【证明】如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.

∵BC＝CD，∴∠BAC＝∠DAC.

∴∠OCA＝∠DAC.∴OC∥AF.∴∠F＝∠OCE.

∵EH平分∠FEG，∴∠FEH＝∠GEH.∵∠GEH＝∠H＋∠BAC，∠FEG＝∠F＋∠BAF，∴2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF.又∵∠BAF＝2∠BAC，∴∠F＝2∠H＝90°.∴∠OCE＝∠F＝90°，即OC⊥EF.

又∵OC是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．(2)若BE＝2，CE＝4，求AF的长. 【解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OBC＋∠BAC＝90°.∵EF是⊙O的切线，∴∠OCB＋∠BCE＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∴∠BCE＝∠EAC.返回3．[2024温州模拟]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连接AF，交BD于点G，连接EF. (1)求证：BD＝2EF；

【证明】∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD，∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC.∵∠DAE＝45°，∴∠DEA＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∴AD＝ED.

∴CD＝2DE.∴E为DC的中点．又∵F为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线．∴BD＝2EF.(2)当EF＝6时，求GH的长. 返回4．【证明】∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD.又∵∠CEF＝2∠BAD，∴∠BAC＝∠CEF.又∵∠BCA＝∠FCE，∴△ABC∽△EFC.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点P在∠BAC的平分线AD上，过点P作线段EF分别交BD，AC于点E，F，已知∠CEF＝2∠BAD. (1)求证：△ABC∽△EFC；

(2)若BE＝DE＝3，F是AC的中点，求CF的长.返回5．【解】如图所示，点E即为所求．[2024安阳期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D. (1