《几何》-直线型-勾股定理和弦图-0-5星题（含解析）全国版

几何-直线型几何-勾股定理和弦图-3星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念

2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图勾股定理

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2+AC2=勾股图与弦图

(a+b)2-4ab2

(a-b)2+精选例题勾股定理和弦图1.下图所示，长方形ABCD的长BC=10厘米，宽AB=6厘米．在BC上取点M，在AD上取点N，使得四边形BMDN是一个菱形．则菱形BMDN的面积是

．【答案】

40.8【分析】

因为BMDN是一个菱形，可设BM=MD=ND=BN=x，则AN=10-x．在直角三角形ABN中，由勾股定理得62+(10-x)2=x2，即136=20x2.如下图所示，已知长方形长是宽的2倍，对角线的长是9，则长方形的面积是

．【答案】

32.4【分析】

可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．因为长方形的长是宽的2倍，设长方形的宽为a，那么长用2a来表示，长方形的面积可以用2a×a来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出a×a=815，那么长方形的面积等于3.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺．葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点．则葛藤的长度是

尺．【答案】

29【分析】

从A点将葛藤剪断，顶点处B不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所示，A点变为地面上的C点．则葛藤长为直角三角形BAC的斜边BC．由AB=20，AC=3×7=21得：BC2=4.如图，分别以一个面积为169的正方形的四条边为底，做4个面积为101.4平方厘米的等腰三角形．图中阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

49【分析】

169=132,等腰三角形的高为101.4×2则若设等腰三角形的腰为x，如下图所示，根据勾股定理：x则x=16.9;则图中AB=再根据勾股定理：AAC=5;从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为12-5=7,则其面积为75.如下图所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CE<DE，线段CF=5厘米，则五边形ABCFG的面积等于

平方厘米．【答案】

71【分析】

CF=5厘米，又CE和EF都是整数，根据勾股定理可知CE=3，EF=4，CD=7，所以五边形ABCFG的面积为：426.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞

米．【答案】

13【分析】

由勾股定理，122+13-87.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是

【答案】

C【分析】

A：242B：202D：24和20写反了；C：242+8.任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理．在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定理有着悠悠4000年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法，如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：如果上图中两个正方形的边长分别为3与4，那么，三角形ACE的面积=

（用分数表示），三角形BCD的面积=

（用分数表示）．【答案】

278，【分析】

由图可知，两个正方形的边长为3与4，所以三角形的两个直角边分别为3与4，所以BD=4-3=1,如图连接BE、AD：AE∥BD，所以SS又因为S所以S而S所以AC=3×CB=3×综上可知SS9.在下图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

288【分析】

如下左图，记AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三角形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．记BE=b，则CE=b，DE=b．由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形（如下右弦图）．题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此本题答案为122×2=288平方厘米．10.如下图所示，沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形5条边的长分别是5厘米、9厘米、13厘米、14厘米、17厘米（未必是按顺序的）．这个五边形的面积是

平方厘米．【答案】

208或215【分析】

长方形的长肯定是17厘米，又知截下的一角为直角三角形，直角三角形的三条边满足勾股定理，所以五边形各边的长度只有以下两种情况，如下图所示，左图中，五边形的面积为17×14-5×12÷2=208平方厘米，下图中，五边形的面积为17×13-4×3÷2=21511.下图是一张边长为5厘米的方格纸，借助没有刻度的直尺，一共能在这张方格纸上画

种不同大小的正方形（正方形的面积必须是整平方厘米数），它们的面积分别是

平方厘米．【答案】

11；1，4，9，16，25，2，5，10，17，8，13．【分析】

根据勾股定理，可以找到的正方形的面积如下：02+12=1，02+22=4，02+32=9，012.如下图所示的三角形ABC的三条边AB、BC、AC中，最长的是

．【答案】

BC【分析】

根据勾股定理：AB2=22+413.勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠4000多年历史的重要几何定理．它揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积．关于勾股定理，人们发现了400多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明者的队伍中．在众多证明方法中，我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如下图所示）这个证明实际上给出了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法．设两个小正方形的边长分别为3和4，按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成5部分，请分别计算出这5部分的面积，并按从小到大的顺序写在下面：

．【答案】

38，278，458，【分析】

分割成的5部分从小到大分别是1、2、3、4、5，如下图：1的面积：由题中可得到BD=1，AB=AF=3，AD=4，所以BD:AD=BE:AF即1:4=BE:3得到BE=所以S2的面积：S3的面积：S4的面积：S5的面积：S14.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90∘，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、【答案】

S【分析】

做AE∥BC，交DC于E，则四边形AECB是平行四边形，AE=BC,CE=AB,DE=DC-CE=2AB-AB=AB,因为∠ADC+∠BCD=所以∠ADE+∠AED=∠DAE=在直角三角形DAE中，由勾股定理，A所以A即S15.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为

cm．【答案】

49【分析】

将左上的小正方形的面积计为S1，将右上的小正方形的面积计为S2，由勾股定理，有SA+S16.边长为a+b的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴影部分所表示的三个小正形的面积之间的关系可以用a，b，c表示为

．【答案】

c【分析】

两个正方形一样，空白部分都是2ab，阴影部分一样．17.如图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个角是直角，则五边形的面积是

．【答案】

58【分析】

详解：如图所示，作EF2=EB2-BF2=A18.如下图所示，正方形ABCD的边长是5厘米，点E、F分别是AB和BC的中点，DF交于点G，则四边形的面积等于

平方厘米．【答案】

5【分析】

如下图所示，分别找到AD、DC的中点连线，利用割补法，原正方形面积变换成5个小正方形面积之和，每个小正方形面积是5×5÷5=5(平方厘米)，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是519.如下图所示，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小正方形．现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来．剪出的正方形面积最大为

平方厘米．【答案】

18000【分析】

如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中间部分的面积为1002=10000平方厘米，四个长方形每个的面积为40×100=400020.如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是

米．【答案】

8米【分析】

由勾股定理，折断处以上的长度是5米，总长度为3+5=8（米）．21.如下图所示，一个14圆中有一个正方形，阴影正方形的面积是16，那么图中的扇形面积是

．（π取3【答案】

30【分析】

给图中标上字母，如下图所示，由于阴影正方形的面积为16，则边长为4，OC=CH=ED=2,OD=2+4=6，根据勾股定理，可知扇形的半径满足：r所以图中扇形的面积为：122.有一个直角边为1和1的直角三角形，以它的斜边和1为直角边，向外作另一个直角三角形．重复以上操作，如下图．求第1023个直角三角形的斜边长度是

．第

个直角三角形的斜边长度是17．【答案】

32；288【分析】

第n个直角三角形的斜边长度的平方为n+1，1023+1=1024=32223.如下图所示，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB=22厘米．BC=20厘米，那么每一个正方形的面积为

平方厘米．【答案】

40【分析】

如下图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为x厘米，短直角边为y厘米，则3x+y=203x+2y=22，所以x=6y=2，小正方形面积为24.如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是

厘米．【答案】

14【分析】

如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为6厘米，所以高为6+8=14(厘米)25.如下图是一张长方形折叠起来后形成的图形，其中长方形的长BC为18厘米，宽AB为12厘米，则DF的长为

厘米．【答案】

13【分析】

设AF=x，(18-x)2=122+x2，算出x=5，26.如下图所示的等腰梯形上底长度等于3，下底长度等于9，高等于4．这个等腰梯形的周长等于

．【答案】

22【分析】

两边的直角三角形的较短直角边为(9-3)÷2=3，腰长的平方为32+427.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了

m路，却踩伤了花草．【答案】

5【分析】

依题意，这条路和长方形花圃的两条边恰好形成一个直角三角形，由勾股定理可以计算出，这条路的长度为5m．少走了3+4-5=2(km)28.如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环面积是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

157【分析】

如图所示，由大正方形的面积为400平方厘米知AB=20(厘米)．取圆心O，AB中点M，连接OM交小正方形于点E，连接OB交大圆于点于是MB=OM=OF=10(易知△OEF为等腰直角三角形，所以2O于是O所以圆环的面积为π29.如下图所示，梯形ABCD中上底AB的长度是10厘米，梯形的高BE的长度是12厘米，且E是CD中点，BF将梯形ABCD分成面积相等的两部分．那么，BF的长度是

厘米．【答案】

13【分析】

见上图，取AB中点G，连接GE，因为E是CD中点，所以GE将梯形ABCD分成面积相等的两部分，又因为BF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，所以三角形BOG和三角形EOF的面积相等，所以EF=BG=5厘米，由勾股定理，BF2=30.如图所示，在边长为15厘米的正方形纸片从各顶点起4厘米处，沿着45∘角下剪，中间形成一个小正方形．这个小正方形的面积为

【答案】

32【分析】

（解法一）如图，延长小正方形的一边AB，与大正方形的一边交于C点，连接CD．△CED为直角边长为4cmC而CD等于小正方形的边长，所以阴影正方形的面积为32（解法二）如图所示，在大正方形中有四个相同的图形，我们可以把它们缺的一角补上（左图），此时得到了四个相同的等腰直角三角形，且这个等腰直角三角形的斜边为15cm（右图），这个正方形的边长刚好为15cm，恰好与原来的大正方形的边长一样．这说明补上的四个角，也就是直角边为44×4÷2=8(所以阴影正方形的面积为8×4=32(31.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点D，已知CD=5，BD-AD=2，那么三角形ABC的面积是

． 【答案】

24【分析】

等腰直角三角形，面积等于斜边高的平方． 过C点做斜边AB的垂线，交AB于点E，由于BD-AD=2，得到DE=1．根据勾股定理，C所以S32.如下图所示，长方体的三条棱长分别为3、4、12，对角线AC=

．【答案】

13【分析】

如下图所示，根据勾股定理，边长为3和4的长方形的对角线长为5，这条对角线和长为12的边垂直，在直角三角形ABC中，AC2=5233.如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝【答案】

40.5【分析】

由弦图知：AF=2,AG=6,CG=3,CH=2,则FH=2+6+3+2=13,梯形EFHD的面积为(6+3)×13÷2=58.5,原图形面积为58.5-(2×6+2×3)=40.5.34.正方形A的边长是10，若正方形B，C的边长都是自然数，且B，C的面积和等于A的面积，则B和C的边长的和是

．【答案】

14【分析】

B，C的面积和等于A的面积，即B，C的面积和是10×10=100,则b2+c2=100,且b，c皆为自然数，一试便知为6和86+8=14.35.下图中有三个直角三角形．请问x=

厘米．【答案】

15【分析】

①、②两个直角三角形完全一样，所以①、②两直角三角形的两直角边分别为9cm和12cm，由勾股定理得，x2=936.如下图所示，加油站A和商店B在马路的MN同一侧，A到MN的距离为5米，B到MN的距离为3米，DC=6米．行人P在马路MN上行走．问：当P到A的距离和P到B的距离之和最小时，这个和最小等于

米．【答案】

10【分析】

如下图所示，关于直线MN作B的对称点Bʹ，那么可知PBʹ=PB，所以PA+PB=PA+PBʹ，那么当A、Bʹ、P共线时，距离之和最小，因为CD=6，DA+CBʹ=5+3=8，那么根据勾股定理可得此时距离和为10米．37.甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距

km．【答案】

2【分析】

依题意，甲、乙的最终位置和他们的出发点形成一个直角三角形，这个三角形的直角边分别为3km和4km，因此由勾股定理，这时候甲、乙两人相距5km．38.平面上的五个点A，B，C，D，E满足：AB=16厘米，BC=8厘米，AD=10厘米，DE=2厘米，AC=24厘米，AE=12厘米．如果三角形EAB的面积为96平方厘米，则点A到CD的距离等于

厘米．【答案】

120【分析】

得三角形CAD是直角三角形，CD=26厘米，点A到CD的距离为10×242639.如图所示，是正方形内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十二边形的面积是

．【答案】

54【分析】

连接OQ，ON，QN．QON=60°，OQ=QN，所以QON为正三角形．由勾股定理得O另一方面，正十二边形面积为1所以阴影部分面积为3×O40.任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定理有着悠悠4000年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出发如下图所示的简洁而美妙的证明方法，如下图则是以这具方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：刘徽模式勾股拼图板的5个组块．还可以拼成一个如图所示的梯形，如果其中的直角三角形直角边分别为3厘米与4厘米，那么，这个梯形的上下底分别为

厘米与厘米

．【答案】

54；【分析】

根据题意，不难得出下图：根据三角形ABF与三角形BFG相似，可以得出BG=即得出上底下底41.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1【答案】

9:4【分析】

连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE=CF=2,BE=DF=1,所以，E因为E所以EF⋅BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S所以，S因为S所以S所以，S由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN=ND=3-所以AM:CN=DN:CN=3:2,则S42.如下图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于

平方厘米．【答案】

105【分析】

如下图所示，设小圆半径为r，大圆半径为R，则(R-r)2+R2=(R+r)43.图中有三个大小不同的正方形，其中大正方形的周长比小正方形的周长大8，大正方形的面积比中正方形的面积大12，大正方形的面积是多少？【答案】

49【分析】

小正方形的边长是两直角边之差，大正方形的边长是两直角边之和，大正方形的周长与小正方形的周长的差是较短直角边长度的8倍，所以较短的直角边的边长为8÷8=1.大正方形比中正方形多出4个直角三角形，每个直角三角形的面积为12÷4=3,则较长的直角边的长度为3×2÷1=6,所以大正方形的边长为6+1=7，大正方形的面积为7×7=49.44.下图中的两个滑块A、B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑到O点时，滑块B滑动了多少厘米？【答案】

10厘米【分析】

由AB2=AO2+OB2=202+152=25245.如下图所示，ABCD为一个长方形，问阴影长方形的面积是多少？【答案】

18【分析】

阴影部分加上两边的小直角三角形，组成一个平行四边形，由勾股定理可知平行四边形的较长边的长为10，所以阴影长方形的宽为6×5÷10=3，再根据勾股定理可知小直角三角形的较长直角边长为4，所以阴影长方形的长为10-4=6，所以阴影长方形的面积为6×3=18．46.科技小组演示自制的机器人．若机器人从点A向南行走1.2米，再向东行走1米，接着又向南行走1.8米，再向东行走2米．最后又向南行走1米到达B点．则A点与B点的距离是多少米？【答案】

5米【分析】

往南一共走了1.2+1.8+1=4(一共向东走了2+1=3(由勾股定理，A所以AB=5(47.将矩形ABCD分成四个全等的矩形，如下图所示．若AE=29厘米AF=41厘米，请问AC的长度是多少厘米？【答案】

71厘米【分析】

设AD=a，DE=EF=b，所以a2+b2=292，a48.如下图所示，P是正方形ABCD外面一点，PB=12厘米，△APB的面积是90平方厘米，△CPB的面积是48平方厘米，请你回答：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】

289平方厘米【分析】

如下图所示，自A、C分别作PB的垂线，交延长线于E、F．则由△APB的面积为90平方厘米，可得：PB×AE÷2=90，求得AE=15厘米．由△CPB面积为48平方厘米，可得PB×CF÷2=48，求得CF=8厘米，根据弦图，BE=CF=8厘米，由勾股定理得AB49.根据图中所给的条件，求梯形ABCD的面积．【答案】

144【分析】

作DF⊥BC于F，则DF=AE=12，在直角三角形ABE中，B在直角三角形DFC中，F所以FC=5，AD=CF=CE-FC=10-5=5，S50.如图所示，在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和．【答案】

24厘米．【分析】

利用勾股定理可得AC=50厘米，所以OB=OC=25厘米．而长方形ABCD的面积等于30×40=1200平方厘米，所以△BOC的面积等于1如图，连结OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于(OB×PR+OC×PQ)÷2=25×(PR+PQ)÷2=12.5×(PR+PQ),而这个面积和就是△BOC的面积，等于300平方厘米，所以12.5×(PR+PQ)=300由此可得PR+PQ=300÷12.5=24(51.三角形ABC中，线段AR．BQ分别是BC、AC边上的中线，且BQ与AR互相垂直．如图所示，已知AC=8、BC=6．请问AB【答案】

120【分析】

如右图所示，连接RQ，AR与BQ交于O点，设AO=c，BO=a，OR=d，OQ=b，因为c2+b又因为a2+c2=AB2所以AB52.任意一个边长超过10厘米的正方形纸，从四角的5厘米处，用剪刀剪出45∘【答案】

50平方厘米【分析】

如下图所示，连接小正方形的对角线，易知右上角三角形面积为小正方形面积的14，可求得小正方形面积为：5×5÷2×4=5053.如下图所示，在直线l上的一侧摆放着七个正方形，已知斜放着的3个正方形的面积分别为1、3和3.5，试确定S1【答案】

4.5【分析】

由勾股定理，可知S1+S2=154.从一个正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是65【答案】

11【分析】

剩下长方形长宽之差为12米，面积为6518平方米，将四块这样的长方形，拼成下图的大正方形，中心空一个小正方形．这个小正方形的边长是大正方形的面积是：65因为236×23大正方形的边长比原正方形的2倍少12米，所以，原正方形的边长是23锯下的木条面积是13655.分别别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则它们之间的关系是

【答案】

S3+S2=S1【分析】

根据圆的面积公式，圆的面积与其直径的平方成正比，而在直角三角形ABC中，由勾股定理，有A因此这三个圆的面积也同样满足上述关系，即S3+S2=S1．56.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形【答案】

36【分析】

连接AC，在直角三角形ABC中，A所以AC=5．在三角形ACD中，由于A而A所以∠ACD=90S57.小强用八个相同的直角三角形，其直角边长分别为3厘米和4厘米，拼砌成两个中空但大小不相同的正方形．已知砌得的大正方形的中空部分刚巧能容纳所砌的小正方形，且大小正方形的中空部分的面积相差是y平方厘米，求y的值．【答案】

24【分析】

本题考査考生对弦图的认识．拼成的大小正方形分别如下左图和右图：所以面积差为4个直角三角形的面积：y=3×458.如图所示，把长方形ABCD的一个角折起来，使得D点恰好与AB重合于F．已知F点是AB边上最靠近A的五等分点，且AF=1．请问：三角形EDC的面积等于多少？【答案】

41【分析】

由题目条件可知，AB=5，CF=CD=5，在直角△BCF中，BF=4，由勾股定理可得BC=3．设ED=x，则EF=x，AE=3-x，在△AEF中，由勾股定理得12+(3-x)2=x259.从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？【答案】

1.25平方米．【分析】

我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如上图的“弦图”，从图中可以看出，中间的小正方形的边长就是剩下的长方形的长和宽的差0.5米，所以这个小正方形面积是0.5×0.5=0.25(大正方形的面积是5×4+0.25=20.25(所以大正方形的边长是4.5米．也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，这样就可以分别求出剩下长方形的长为2.5米，宽为2米，所以锯下的木条的面积是0.5×2.5=1.25(60.如下图所示，点E是正方形ABCD的CD边上的一点，以BE为一条直角边作等腰直角三角形BEF，斜边BF交AD于G，已知AG=5厘米，GD=15厘米．求三角形BEF的面积．【答案】

272平方厘米【分析】

如下图作辅助线，由于AG=5，而AB=20，令SF=a，而SB=4a．而MN=20+20-a=4a．解之得a=8，则FN=12，MN=32，NE=20，则阴影部分面积为：(1261.如图，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积．【答案】

60【分析】

如图，做EF⊥AD于F，在直角三角形AED中，A所以AD=10，由三角形面积公式，S所以EF=62.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？【答案】

13千米；能保持联系【分析】

如图，甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了6×2=12(即AB=12（千米），乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即AC=5（千米）．在直角三角形ABC中，A所以AB=13（千米），因此，上午10:00时，甲、乙两人相距13千米．由于15＞63.下图是由边长为3厘米和4厘米的两个正方形组成．请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【答案】

5厘米【分析】

本题考査考生对弦图的认识．面积和=32+边长5厘米．拼法如下图所示．64.已知：△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高【答案】

84或24．【分析】

需要分两种情况讨论，当高AD在三角形ABC内部的时候，如左图，此时由勾股定理，BC=BD+DC=5+9=14，当高AD在三角形ABC外部的时候，如右图，此时由勾股定理，BC=CD-CB=9-5=4，再通过三角形的面积公式，△ABC的面积为84或24．65.一个零件的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12．求CD的长．【答案】

13【分析】

在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得BC2=AC2+AB66.如下图所示，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米．那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【答案】

32.5平方厘米【分析】

连线如下图所示，可知四边形内外两部分面积之差为中间的小长方形的面积，差为(5-2)×(6-3)=9(平方厘米)，所以四边形MNPQ面积为(56+9)÷2=32.567.如下图所示，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分別是两个三角形上的高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求矩形ABCD的面积．【答案】

78【分析】

如下图所示，将AE平移到AʹF，因为AE是三角形ABD的高，所以AE⊥BD，AʹF⊥BD，AAʹFE是矩形，并且Aʹ、F、C在同一条直线上面，再根据AAʹ⊥AʹF，运用勾股定理可以得到AC2=AAʹ2+AʹC2，其中AAʹ=EF=5厘米，AʹC=AE+FC=12厘米，由此根据勾股定理可求得矩形ABCD的对角线AC的长度为13厘米，由于BD也是矩形ABCD的对角线，所以BD的长度也为13厘米，那么矩形68.如图，两个长方形大小相同，长、宽分别是12和8，求阴影部分的面积是­­­多少？【答案】

略【分析】

如图，连接AC，DC=8-7=1；根据勾股定理：A所以B则四边形ABCD的面积是1阴影部分的面积是12×8-42=54.69.有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？【答案】

49【分析】

填加辅助线构成弦图的形状，可以知道图中每个长方形的面积为12÷4=3(又这个长方形的宽就是原图中的边之间的距离1厘米，所以长方形的宽为3厘米，因此大正方形的边长为1+3=4(所以大正方形的面积是4×4=16(70.如图，直角三角形如果以BC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？【答案】

9.6π【分析】

设BC=a，AC=b那么以BC边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为ab2π3，以$\left\{\begin{gathered}a{b^2}=48\hfill\\{a^2}b=36\hfill\\\end{gathered}\right.$，两条等式相除得到baa=3\hfill\\b=4\hfill\\\end{gathered}\right.$，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB的长度为5，那么斜边上的高为2.4．如果以AB为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为2.4，高的和为5，所以体积是2.4271.如下图所示，长方形ABCD，AB=24，BC=18，把AB边对折到AC上与AC重合，把AD边也对折到AC上与AC重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】

255【分析】

如上图所示，把AB对折到AC上与AC重合，把AD对折到AC上与AC重合，得到四边形AECF，由勾股定理，AC=30，设BE=EG=x，S△ABC=S△BAE+S△AEC，所以24×18÷2=24x÷2+30x÷2所以24×18÷2=18y÷2+30y÷2，那么y=9，S四边形72.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米．求小明到达的终止点与原出发点的距离．【答案】

100米【分析】

小明往南一共走了40+40=80(往东一共走了70+10-20=60(由勾股定理，80距离为100米．73.请画一个面积是5平方厘米的正方形．【答案】

【分析】

5=174.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？【答案】

612元【分析】

地毯在水平部分的长度总和为12米，总共需要12+575.如下图所示，这是一张十字形纸片，它是由五个全等正方形组成，试沿一直线将它剪成两片，然后再沿另一直线将其中一片剪成两片，使得最后得到的三片拼成两个并列的正方形． 【答案】

见解析．【分析】

实际拼成两个并列的正方形就是一个长方形，其长是宽的2倍，设十字形面积是5个平方单位，长方形的长为x长度单位，宽为x2长度单位，那么有xx2=5,x2=10 【总结】假若沿第二条线把另一片也剪成两片，那么共剪成的4片是4个全等多边形，这时两条直线都经过十字形的中心，并且互相垂直．剪开的这4个图形其中一个绕中心旋转90∘也和另一个重合．由此我们便得到一个重要结论：对于一个正方形来讲，如果从中心沿360∘÷4=90∘角的两边切开，得到整个图形的14，这个14的图形若绕中心旋转90∘一定和另外的14的图形重合．对于一个正三角形来讲，如果从中心沿360∘÷3=120∘角的两边切开，得到整个图形的13，这个13的图形若绕中心旋转12076.在下图中，线段AB是圆C的直径，在线段AB上作两个半圆APC及CQB．圆PQR分别与这三个半圆都相切．若AB=28厘米，试求圆PQR的半径的长度．【答案】

14【分析】

如下图所示，设小圆半径为x厘米，则(14-x)2+77.请只用直尺和铅笔在下图网格（每格边长为1）中画出一个面积为13的正方形．【答案】

见解析．【分析】

由于13=22+3278.计算右图中BE的长度．【答案】

13【分析】

如下图所示，过B点作DE的垂线，垂足为G．则△BGE为直角三角形且AB+BG=EF，则7+BG=19，BG=12．又CB=DG=3，且DG+GE=DE=8，3+GE=8，GE=5．再根据勾股定理：BE2=B79.求下图正方形的面积，并写出思考过程．【答案】

242平方厘米【分析】

如下图所示，延长BD与正方形的下边的延长线交于点C，因为图中的45∘，我们可知，三角形ACD为等腰直角三角形，即AD=CD=14(厘米)，所以BC=14+8=22(厘米)，又∠C=45∘，则BC的长度等于正方形对角线的长度．设正方形的边长为a80.如图所示，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米．求阴影部分的面积．（π取3.14）【答案】

78.5平方厘米．【分析】

如图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段作垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形，由勾股定理可得R所以图中阴影部分面积为π81.如下图所示，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（即阴影部分）AEC和BFC的面积和最大．【答案】

当C在弧AB中点时，阴影部分面积最大．【分析】

因为∠ACB=90∘，由勾股定理及圆的面积公式可知两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积，所以月牙面积等于△ABC的面积，当C在弧AB中点时，△ABC中AB边上的高最大，从而△ABC的面积最大，所以当C在弧82.如图，平面上CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米．求三角形ADE的面积．【答案】

69【分析】

如下图，作等腰梯形的两个高AH1和C易知，将△H2DC旋转90∘到△HDE的位置．则A，D，H三点在一条直线上．EH⊥AH，EH=H2C=66×2383.从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？【答案】

1.25平方米【分析】

我们先按题目中的条件画出示意图（如图a），我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为5平方米，它的长和宽相差0.5米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图（如图b）．图b是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和，中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差，即0.5米．所以中间的小正方形的面积为0.5×0.5=0.25那么大正方形的面积为5×4+0.25=20.25因为4.5×4.5=20.25所以大正方形的边长等于4.5米．所以原题中剩下的长方形的长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，所以剩下的长方形的长为：(4.5+0.5)÷2=2.5即原正方形的边长为2.5米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为0.5米，于是可得锯下的长方形玻璃条的面积为2.5×0.5=1.2584.如下图两个正方形的边长分别是a和b（a>b），将边长为a的正方形切成四块大小、形状都相同的图形，与另一个正方形拼在一起组成一个正方形．【答案】

见解析．【分析】

拼成大正方形的面积应是a×a+b×b，设边长c，则有等式c×c=a×a+b×b，又因为将边长为a的正方形切成四个全等形，那么分割线一定经过正方形中心，假设切割线MN为大正方形边长，如图（1），一定有MN×MN=a×a+b×b，而MH=a，则：NH=b，所以AN=CM=BH=(a-b)÷2，由此可以确定MN，然后将MN绕中心O旋转90∘到EF位置，即可把正方形切成符合要求的4块．如图（2）与图（3）．这种分法同时确保图（3）的中间部分就是边长为b的小正方形．这是因为：中心四边形的角即边长为a的正方形的四个角，∠A，∠B，∠C，∠D，又因为各边长度相等．因此中心四边形是正方形．中心正方形的边长=[a-(a-b)÷2]-(a-b)÷2=a-(a-b)=b．因此，中间部分是边长为b85.如图所示，一张边长为18厘米的正方形纸片，从距离四角5厘米处，用剪刀剪出45∘【答案】

50【分析】

如下图所示添加辅助线．根据题目中的角度可以推出，图中新产生的小三角形为等腰直角三角形，它的斜边的平方=5286.如图，以AD为直径的半圆O内接一个等腰梯形ABCD，梯形的上底是60，下底是100，以梯形上底和腰为直径向外作半圆，形成的阴影部分的面积是多少？（π取3.14）【答案】

2258【分析】

由已知可得，阴影部分的面积为梯形面积加以AB、BC、CD为直径的半圆面积减去以AD为直径的半圆面积，作OE垂直于BC，根据勾股定理可得梯形的高OE为40，则AB187.如下图所示，分别以直角三角形的三个边为直径作半圆，这三个半圆交出两个月牙形的区域（即阴影部分），求这两个月牙形面积之和．【答案】

30【分析】

因为∠ABC=90∘，由勾股定理AC2=AB2+BCS88.如图，求阴影部分的面积． 【答案】

24【分析】

阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上两个直径分别为6和8的半圆面积减去直径为10的半圆的面积，1 注：这就是著名的希波克拉底模型，结合了勾股定理的运用．89.从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6【答案】

6【分析】

我们用构造“弦图”的方法，取同样大小的4个剩下的长方形木板拼成一个大正方形（如右下图），同时中间形成了一个小正方形（图中阴影部分）．仔细观察这幅图就会发现，中间阴影小正方形的边长正好是长方形木板的长与宽之差（1m1×1=1(所以，整个大正方形的面积是1+4×6=25=5×5(求得大正方形的边长为5m那么，剩下的长方形木条的长-宽=1，长+宽=5，可得剩下的长方形木条的长为(5+1)÷2=3(宽为(5-1)÷2=2(所以，锯下的长方形木条面积是3×2=6(90.如图是一个直角三角形，沿三角形的斜边旋转一周得到的立体图形的体积是多少？（π取3）【答案】

28.8【分析】

斜边上的高为3×4÷5=所以V=91.有一个直角三角形PQR，直角在Q点，以其三边为直径作三个半圆．矩形STUV的各边与半圆相切且平行于PQ或QR，如下图所示．如果PQ=6厘米，QR=8厘米，则STUV的面积是多少平方厘米？【答案】

144【分析】

由勾股定理得大半圆的直径为10厘米，则三个半圆的半径分别为3厘米，4厘米，5厘米．可知：SV=3+4+5=12(厘米)，ST=5+3+4=12(厘米)．面积为几何-直线型几何-勾股定理和弦图-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率勾股定理和弦图B1.能够理解勾股定理的概念

2.熟练应用勾股定理和弦图来解决相关的几何问题少考知识提要勾股定理和弦图勾股定理

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：AB2+AC2=勾股图与弦图

(a+b)2-4ab2

(a-b)2+精选例题勾股定理和弦图1.在下图中，将一个每边长均为12厘米的正八边形的8个顶点间隔地连线，可以连出两个正方形．图中阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

288【分析】

如下左图，记AD=a，由对称性知，DB=a，BC=a．取E为DC中点，连接BE，将△ABC分成直角三角形ABE和等腰直角三角形BEC．四个△BEC可以拼成一个边长a的正方形．记BE=b，则CE=b，DE=b．由AE=a+b，BE=b知：由4个△ABE和一个以a为边长的正方形可拼成一个以AB为边长的正方形（如下右弦图）．题中阴影可看做8个△ABE再加上8个△BEC的面积和，4个△ABE与4个△BEC拼成边长为12的正方形，因此本题答案为122×2=288平方厘米．2.如下图所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CE<DE，线段CF=5厘米，则五边形ABCFG的面积等于

平方厘米．【答案】

71【分析】

CF=5厘米，又CE和EF都是整数，根据勾股定理可知CE=3，EF=4，CD=7，所以五边形ABCFG的面积为：423.如下图所示，一个边长为10厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计），AO距离为8厘米，那么点C距离地面的高度是

厘米．【答案】

14【分析】

如下图，由勾股定理得，直角三角形的短边为6厘米，所以高为6+8=14(厘米)4.华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅长的学科．请小朋友求解《九章算术》中的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”白话译文：如下图所示，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱底面周长3尺．葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点．则葛藤的长度是

尺．【答案】

29【分析】

从A点将葛藤剪断，顶点处B不动，将缠绕的葛藤解开拉直，如下图所示，A点变为地面上的C点．则葛藤长为直角三角形BAC的斜边BC．由AB=20，AC=3×7=21得：BC2=5.如图所示，一个五边形有四条边的长度已经标出，其中有三个角是直角，则五边形的面积是

．【答案】

58【分析】

详解：如图所示，作EF2=EB2-BF2=A6.如下图所示，沿直线将一个长方形剪掉一个角后形成一个五边形，已知这个五边形5条边的长分别是5厘米、9厘米、13厘米、14厘米、17厘米（未必是按顺序的）．这个五边形的面积是

平方厘米．【答案】

208或215【分析】

长方形的长肯定是17厘米，又知截下的一角为直角三角形，直角三角形的三条边满足勾股定理，所以五边形各边的长度只有以下两种情况，如下图所示，左图中，五边形的面积为17×14-5×12÷2=208平方厘米，下图中，五边形的面积为17×13-4×3÷2=2157.如图，分别以一个面积为169的正方形的四条边为底，做4个面积为101.4平方厘米的等腰三角形．图中阴影部分的面积是

平方厘米．【答案】

49【分析】

169=132,等腰三角形的高为101.4×2则若设等腰三角形的腰为x，如下图所示，根据勾股定理：x则x=16.9;则图中AB=再根据勾股定理：AAC=5;从弦图的角度看原图，易知中间正方形的边长为12-5=7,则其面积为78.如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE，CF=2DF，连接BF、DE，相交于点G，过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG，设正方形MGQA的面积为S1，正方形PCNG的面积为S2，则S1【答案】

9:4【分析】

连接BD、EF．设正方形ABCD边长为3，则CE=CF=2,BE=DF=1,所以，E因为E所以EF⋅BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S所以，S因为S所以S所以，S由于△BGE底边BE上的高即为正方形PCNG的边长，所以CN=ND=3-所以AM:CN=DN:CN=3:2,则S9.任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理．在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定理有着悠悠4000年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出了如下左图所示的简洁而美妙的证明方法，如下右图则是以这个方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：如果上图中两个正方形的边长分别为3与4，那么，三角形ACE的面积=

（用分数表示），三角形BCD的面积=

（用分数表示）．【答案】

278，【分析】

由图可知，两个正方形的边长为3与4，所以三角形的两个直角边分别为3与4，所以BD=4-3=1,如图连接BE、AD：AE∥BD，所以SS又因为S所以S而S所以AC=3×CB=3×综上可知SS10.勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”，是一个有着悠悠4000多年历史的重要几何定理．它揭示了这样一个事实：对任何一个直角三角形而言，以它的两条直角边的长度为边长的正方形的面积之和，等于以斜边的长度为边长的正方形的面积．关于勾股定理，人们发现了400多种证明，甚至连美国总统也曾加入到证明者的队伍中．在众多证明方法中，我国古代数学家刘徽给出的证明简单直观，耐人寻味（如下图所示）这个证明实际上给出了一个通过有限次直线切割，将两个正方形拼补为一个更大的正方形的方法．设两个小正方形的边长分别为3和4，按照刘徽的方法，这两个小正方形被切割成5部分，请分别计算出这5部分的面积，并按从小到大的顺序写在下面：

．【答案】

38，278，458，【分析】

分割成的5部分从小到大分别是1、2、3、4、5，如下图：1的面积：由题中可得到BD=1，AB=AF=3，AD=4，所以BD:AD=BE:AF即1:4=BE:3得到BE=所以S2的面积：S3的面积：S4的面积：S5的面积：S11.如下图所示，一块边长为180厘米的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为40厘米的小正方形．现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来．剪出的正方形面积最大为

平方厘米．【答案】

18000【分析】

如右图所示，铁片分为中间的正方形和四个长方形两部分，中间部分的面积为1002=10000平方厘米，四个长方形每个的面积为40×100=400012.边长为a+b的正方形纸片有以下两种剪裁方法，按照“等量减等量差相等”的原则，阴影部分所表示的三个小正形的面积之间的关系可以用a，b，c表示为

．【答案】

c【分析】

两个正方形一样，空白部分都是2ab，阴影部分一样．13.如下图所示，长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形．已知AB=22厘米．BC=20厘米，那么每一个正方形的面积为

平方厘米．【答案】

40【分析】

如下图所示，对每个正方形作弦图，设小直角三角形的长直角边为x厘米，短直角边为y厘米，则3x+y=203x+2y=22，所以x=6y=2，小正方形面积为14.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90∘，且DC=2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、【答案】

S【分析】

做AE∥BC，交DC于E，则四边形AECB是平行四边形，AE=BC,CE=AB,DE=DC-CE=2AB-AB=AB,因为∠ADC+∠BCD=所以∠ADE+∠AED=∠DAE=在直角三角形DAE中，由勾股定理，A所以A即S15.如下图所示，正方形ABCD的边长是5厘米，点E、F分别是AB和BC的中点，DF交于点G，则四边形的面积等于

平方厘米．【答案】

5【分析】

如下图所示，分别找到AD、DC的中点连线，利用割补法，原正方形面积变换成5个小正方形面积之和，每个小正方形面积是5×5÷5=5(平方厘米)，而阴影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是516.如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环面积是

平方厘米．（π取3.14）【答案】

157【分析】

如图所示，由大正方形的面积为400平方厘米知AB=20(厘米)．取圆心O，AB中点M，连接OM交小正方形于点E，连接OB交大圆于点于是MB=OM=OF=10(易知△OEF为等腰直角三角形，所以2O于是O所以圆环的面积为π17.如下图是一张长方形折叠起来后形成的图形，其中长方形的长BC为18厘米，宽AB为12厘米，则DF的长为

厘米．【答案】

13【分析】

设AF=x，(18-x)2=122+x2，算出x=5，18.下图所示，长方形ABCD的长BC=10厘米，宽AB=6厘米．在BC上取点M，在AD上取点N，使得四边形BMDN是一个菱形．则菱形BMDN的面积是

．【答案】

40.8【分析】

因为BMDN是一个菱形，可设BM=MD=ND=BN=x，则AN=10-x．在直角三角形ABN中，由勾股定理得62+(10-x)2=x2，即136=20x19.如下图所示，已知长方形长是宽的2倍，对角线的长是9，则长方形的面积是

．【答案】

32.4【分析】

可以根据勾股定理进行分析：直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．因为长方形的长是宽的2倍，设长方形的宽为a，那么长用2a来表示，长方形的面积可以用2a×a来表示．根据勾股定理，2a×2a+a×a=9×9，得出a×a=815，那么长方形的面积等于20.如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞

米．【答案】

13【分析】

由勾股定理，122+13-821.下图是一张边长为5厘米的方格纸，借助没有刻度的直尺，一共能在这张方格纸上画

种不同大小的正方形（正方形的面积必须是整平方厘米数），它们的面积分别是

平方厘米．【答案】

11；1，4，9，16，25，2，5，10，17，8，13．【分析】

根据勾股定理，可以找到的正方形的面积如下：02+12=1，02+22=4，02+32=9，022.平面上的五个点A，B，C，D，E满足：AB=16厘米，BC=8厘米，AD=10厘米，DE=2厘米，AC=24厘米，AE=12厘米．如果三角形EAB的面积为96平方厘米，则点A到CD的距离等于

厘米．【答案】

120【分析】

得三角形CAD是直角三角形，CD=26厘米，点A到CD的距离为10×242623.任何一个直角三角形都有这样的性质：以两个直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积．这就是著名的勾股定理，在西方又被称为毕达哥拉斯定理．勾股定理有着悠悠4000年的历史，出现了数百个不同的证明，魏晋时期的中国古代数学家刘徽给出发如下图所示的简洁而美妙的证明方法，如下图则是以这具方法为基础设计的刘徽模式勾股拼图板：刘徽模式勾股拼图板的5个组块．还可以拼成一个如图所示的梯形，如果其中的直角三角形直角边分别为3厘米与4厘米，那么，这个梯形的上下底分别为

厘米与厘米

．【答案】

54；【分析】

根据题意，不难得出下图：根据三角形ABF与三角形BFG相似，可以得出BG=即得出上底下底24.如图所示，在边长为15厘米的正方形纸片从各顶点起4厘米处，沿着45∘角下剪，中间形成一个小正方形．这个小正方形的面积为

【答案】

32【分析】

（解法一）如图，延长小正方形的一边AB，与大正方形的一边交于C点，连接CD．△CED为直角边长为4cmC而CD等于小正方形的边长，所以阴影正方形的面积为32（解法二）如图所示，在大正方形中有四个相同的图形，我们可以把它们缺的一角补上（左图），此时得到了四个相同的等腰直角三角形，且这个等腰直角三角形的斜边为15cm（右图），这个正方形的边长刚好为15cm，恰好与原来的大正方形的边长一样．这说明补上的四个角，也就是直角边为44×4÷2=8(所以阴影正方形的面积为8×4=32(25.正方形A的边长是10，若正方形B，C的边长都是自然数，且B，C的面积和等于A的面积，则B和C的边长的和是

．【答案】

14【分析】

B，C的面积和等于A的面积，即B，C的面积和是10×10=100,则b2+c2=100,且b，c皆为自然数，一试便知为6和86+8=14.26.如下图所示，梯形ABCD中上底AB的长度是10厘米，梯形的高BE的长度是12厘米，且E是CD中点，BF将梯形ABCD分成面积相等的两部分．那么，BF的长度是

厘米．【答案】

13【分析】

见上图，取AB中点G，连接GE，因为E是CD中点，所以GE将梯形ABCD分成面积相等的两部分，又因为BF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，所以三角形BOG和三角形EOF的面积相等，所以EF=BG=5厘米，由勾股定理，BF2=27.如图所示，是正方形内部最大的正十二边形，正方形与正十二边形的边长差为，那么正十二边形的面积是

．【答案】

54【分析】

连接OQ，ON，QN．QON=60°，OQ=QN，所以QON为正三角形．由勾股定理得O另一方面，正十二边形面积为1所以阴影部分面积为3×O28.下图是由边长为3厘米和4厘米的两个正方形组成．请按尺寸在发给你的彩纸上画上这一图形，再将它剪成3块，拼成一个大的正方形，并求这个大正方形的边长是多少？【答案】

5厘米【分析】

本题考査考生对弦图的认识．面积和=32+边长5厘米．拼法如下图所示．29.如下图所示，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分別是两个三角形上的高，长度都等于6厘米，EF的长度为5厘米，求矩形ABCD的面积．【答案】

78【分析】

如下图所示，将AE平移到AʹF，因为AE是三角形ABD的高，所以AE⊥BD，AʹF⊥BD，AAʹFE是矩形，并且Aʹ、F、C在同一条直线上面，再根据AAʹ⊥AʹF，运用勾股定理可以得到AC2=AAʹ2+AʹC2，其中AAʹ=EF=5厘米，AʹC=AE+FC=12厘米，由此根据勾股定理可求得矩形ABCD的对角线AC的长度为13厘米，由于BD也是矩形ABCD的对角线，所以BD的长度也为13厘米，那么矩形30.任意一个边长超过10厘米的正方形纸，从四角的5厘米处，用剪刀剪出45∘【答案】

50平方厘米【分析】

如下图所示，连接小正方形的对角线，易知右上角三角形面积为小正方形面积的14，可求得小正方形面积为：5×5÷2×4=5031.如下图所示，长方形ABCD，AB=24，BC=18，把AB边对折到AC上与AC重合，把AD边也对折到AC上与AC重合，请问得到的新图形的面积是多少？【答案】

255【分析】

如上图所示，把AB对折到AC上与AC重合，把AD对折到AC上与AC重合，得到四边形AECF，由勾股定理，AC=30，设BE=EG=x，S△ABC=S△BAE+S△AEC，所以24×18÷2=24x÷2+30x÷2所以24×18÷2=18y÷2+30y÷2，那么y=9，S四边形32.三角形ABC中，线段AR．BQ分别是BC、AC边上的中线，且BQ与AR互相垂直．如图所示，已知AC=8、BC=6．请问AB【答案】

120【分析】

如右图所示，连接RQ，AR与BQ交于O点，设AO=c，BO=a，OR=d，OQ=b，因为c2+b又因为a2+c2=AB2所以AB33.从一个正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是65【答案】

11【分析】

剩下长方形长宽之差为12米，面积为6518平方米，将四块这样的长方形，拼成下图的大正方形，中心空一个小正方形．这个小正方形的边长是大正方形的面积是：65因为236×23大正方形的边长比原正方形的2倍少12米，所以，原正方形的边长是23锯下的木条面积是13634.图中有三个大小不同的正方形，其中大正方形的周长比小正方形的周长大8，大正方形的面积比中正方形的面积大12，大正方形的面积是多少？【答案】

49【分析】

小正方形的边长是两直角边之差，大正方形的边长是两直角边之和，大正方形的周长与小正方形的周长的差是较短直角边长度的8倍，所以较短的直角边的边长为8÷8=1.大正方形比中正方形多出4个直角三角形，每个直角三角形的面积为12÷4=3,则较长的直角边的长度为3×2÷1=6,所以大正方形的边长为6+1=7，大正方形的面积为7×7=49.35.如图所示，把长方形ABCD的一个角折起来，使得D点恰好与AB重合于F．已知F点是AB边上最靠近A的五等分点，且AF=1．请问：三角形EDC的面积等于多少？【答案】

41【分析】

由题目条件可知，AB=5，CF=CD=5，在直角△BCF中，BF=4，由勾股定理可得BC=3．设ED=x，则