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文档简介
广东省深圳市福田区耀华实验学校华文部2025年高三下学期第三次(5月)月考数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,则()A. B. C.3 D.42.已知是等差数列的前项和,若,,则()A.5 B.10 C.15 D.203.过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于,两点,,为的准线上的一点,则的面积为()A.1 B.2 C.4 D.84.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或15.已知平面和直线a,b,则下列命题正确的是()A.若∥,b∥,则∥ B.若,,则∥C.若∥,,则 D.若,b∥,则6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,例如:,,,那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数,其和等于16的概率为()A. B. C. D.7.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.8.“”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9.如图网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的所有棱中最长棱的长度为()A. B. C. D.10.已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为A. B. C. D.11.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.12.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列的前项和为,,且,则__________.14.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.15.函数与的图象上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为______.16.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.,且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线与曲线交于点,将射线绕极点逆时针方向旋转交曲线于点.(1)求曲线的参数方程;(2)求面积的最大值.20.(12分)已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;(2)若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.21.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.22.(10分)某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.2.C【解析】
利用等差通项,设出和,然后,直接求解即可【详解】令,则,,∴,,∴.本题考查等差数列的求和问题,属于基础题3.C【解析】
设抛物线的解析式,得焦点为,对称轴为轴,准线为,这样可设点坐标为,代入抛物线方程可求得,而到直线的距离为,从而可求得三角形面积.【详解】设抛物线的解析式,则焦点为,对称轴为轴,准线为,∵直线经过抛物线的焦点,,是与的交点,又轴,∴可设点坐标为,代入,解得,又∵点在准线上,设过点的的垂线与交于点,,∴.故应选C.本题考查抛物线的性质,解题时只要设出抛物线的标准方程,就能得出点坐标,从而求得参数的值.本题难度一般.4.D【解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.5.C【解析】
根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【详解】A:当时,也可以满足∥,b∥,故本命题不正确;B:当时,也可以满足,,故本命题不正确;C:根据平行线的性质可知:当∥,,时,能得到,故本命题是正确的;D:当时,也可以满足,b∥,故本命题不正确.故选:C本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,考查了推理论证能力.6.B【解析】
先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果,然后再求出其和等于16的结果,根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解:不超过18的素数有2,3,5,7,11,13,17共7个,从中随机选取两个不同的数共有,其和等于16的结果,共2种等可能的结果,故概率.故选:B.古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数,本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到,属于基础题.7.A【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,∴,即:,,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.8.B【解析】
先求出满足的值,然后根据充分必要条件的定义判断.【详解】由得,即,,因此“”是“,”的必要不充分条件.故选:B.本题考查充分必要条件,掌握充分必要条件的定义是解题基础.解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断.9.C【解析】
利用正方体将三视图还原,观察可得最长棱为AD,算出长度.【详解】几何体的直观图如图所示,易得最长的棱长为故选:C.本题考查了三视图还原几何体的问题,其中利用正方体作衬托是关键,属于基础题.10.B【解析】
直线的倾斜角为,易得.设双曲线C的右焦点为E,可得中,,则,所以双曲线C的离心率为.故选B.11.D【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.12.D【解析】
利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由题意知,继而利用等比数列的前项和为的公式代入求值即可.【详解】解:由题意知,所以.故答案为:.本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于中档题.14.【解析】
先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,的值,进而可得出结果.【详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,,即函数在上单调递增;当,时,,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.15.【解析】
先求得与关于轴对称的函数,将问题转化为与的图象有交点,即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论,由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为,因为函数与的图象上存在关于轴的对称点,所以与的图象有交点,方程有解.时符合题意.时转化为有解,即,的图象有交点,是过定点的直线,其斜率为,若,则函数与的图象必有交点,满足题意;若,设,相切时,切点的坐标为,则,解得,切线斜率为,由图可知,当,即时,,的图象有交点,此时,与的图象有交点,函数与的图象上存在关于轴的对称点,综上可得,实数的取值范围为.故答案为:本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性,函数与方程等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,推理与运算求解能力,转化与化归思想和应用意识.16.【解析】
根据双曲线方程,可得渐近线方程,结合题意可表示,再由双曲线a,b,c关系表示,最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【详解】因为双曲线为,所以该双曲线的渐近线方程为.又因为其一条渐近线经过点,即,则,由此可得.故答案为:.本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)证明,根据得到,得到证明.(Ⅱ)如图所示,分别以为轴建立空间直角坐标系,平面的法向量,,计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如图所示:分别以为轴建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量,则,即,取得到,,设直线与平面所成角为故.本题考查了线面垂直,线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.18.(1)见解析(2)【解析】
(1)第(1)问,连交于,连接.证明//,即证平面.(2)第(2)问,主要是利用体积变换,,求得三棱锥的体积.【详解】(1)方法一:连交于,连接.由梯形,且,知又为的中点,为的重心,∴在中,,故//.又平面,平面,∴平面.方法二:过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,G为△PAD的重心,又ABCD为梯形,AB||CD,又由所作GN||AD,FM||AD,得//,所以GNMF为平行四边形.因为GF||MN,(2)方法一:由平面平面,与均为正三角形,为的中点∴,,得平面,且由(1)知//平面,∴又由梯形ABCD,AB||CD,且,知又为正三角形,得,∴,得∴三棱锥的体积为.方法二:由平面平面,与均为正三角形,为的中点∴,,得平面,且由,∴而又为正三角形,得,得.∴,∴三棱锥的体积为.19.(1)(为参数);(2).【解析】
(1)根据伸缩变换结合曲线的参数方程可得出曲线的参数方程;(2)将曲线的方程化为普通方程,然后化为极坐标方程,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程,得出和关于的表达式,然后利用三角恒等变换思想即可求出面积的最大值.【详解】(1)由于曲线的参数方程为(为参数),将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到曲线,则曲线的参数方程为(为参数);(2)将曲线的参数方程化为普通方程得,化为极坐标方程得,即,设点的极坐标为,点的极坐标为,将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得,,的面积为,当时,的面积取到最大值.本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,考查了伸缩变换,同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题,要熟悉极坐标方程所适用的基本类型,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.20.(1),表示圆心为,半径为的圆;(2)【解析】
(1)根据参数得到直角坐标系方程,再转化为极坐标方程得到答案.(2)直线方程为,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.【详解】(1),即,化简得到:.即,表示圆心为,半径为的圆.(2),即,圆心到直线的距离为.故曲线上的点到直线的最大距离为.本题考查了参数方程,极坐标方程,直线和圆的距离的最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.21.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】
(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设,,,,所以点为线段的中点.本题考查了线面平行,二面角,根据垂直关系确定
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