数学预习导航：正弦函数的图象与性质第2课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．能正确使用“五点法”“图象变换法”作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，并熟悉其变换过程．2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ）的周期，频率与振幅．3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ）的实际意义，并且了解y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A，ω，φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义．1．正弦型函数的概念形如y＝Asin（ωx＋φ)（其中A,ω，φ都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数．当函数y＝Asin（ωx＋φ)(A〉0,ω>0，x∈（0,＋∞））表示一个振动量时，则A称为振幅;T＝称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝称为频率;ωx＋φ称为相位；x＝0时，相位φ称为初相．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ）(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．2．正弦型函数的图象变换（1）相位变换y＝sinx的图象y＝sin（x＋φ)的图象．推广到一般有：将函数y＝f(x）的图象沿x轴方向平移|a｜个单位长度后得到函数y＝f（x＋a）(a≠0)的图象．当a〉0时向左平移；当a<0时向右平移(可简记为左“＋"右“－”）．(2）周期变换y＝sinx的图象的图象．推广到一般有:函数y＝f（ωx）（ω>0，ω≠1）的图象，可以看做是把函数y＝f(x）的图象上所有的点的横坐标缩短（当ω>1)或伸长（当0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变）而得到．(3）振幅变换y＝sinx的图象y＝Asin_x的图象．（4）y＝Asin（ωx＋φ）的图象可以这样得到：y＝sinx相位变换,y＝sin（x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ）振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ）．推广到一般有：拖延时间函数y＝Af（x)(A〉0，且A≠1)的图象，可以看做是把函数y＝f（x)图象上的点的纵坐标伸长(当A〉1）或缩短(当0〈A<1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．（4)函数图象的上、下平移变换．有时也会遇到y＝sinx＋k的图象，那么函数y＝sinx＋k的图象，可以看做是把y＝sinx图象上的各点向上（k〉0）或向下（k<0)平行移动|k|个单位长度而得到的,即y＝sinx行移动｜k｜个单位长度得y＝sinx＋k．自主思考如何用五点法作出y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω〉0）的图象？提示：用五点作图法作函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象步骤如下：第一步：列表，即令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，再分别求出相应x，y的值；x－eq\f(\f(3π,2)－φ，ω）ωx＋φ0π2πy0A0－A0第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点；第三步：连线,用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图象；第四步：利用函数周期性，通过左右平移得到整个图象．3．正弦型函数的性质根据函数y＝Asin(ωx＋φ）（A>0，ω>0)的图象，我们可以得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A〉0，ω>0)的性质：(1）定义域：R．(2）值域：［－A，A］．当ωx＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即x＝－＋（k∈Z）时，y取得最大值A；当ωx＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝－＋(k∈Z）时，y取得最小值－A．（3)单调性：当－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ（k∈Z)，即x∈（k∈Z）时，函数y＝Asin(ωx＋φ）（A>0，ω〉0）为增函数；当＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z），即x∈(k∈Z）时,函数y＝Asin（ωx＋φ)（A〉0，ω〉0)为减函数．（4)奇偶性:当φ＝0时，为奇函数;当φ≠0时，为非奇非偶函数．(5)周期性：T＝．(6)对称性:直线x＝－＋（k∈Z)都是其对称轴；点（k∈Z)为其对称中心．特别提醒(1）值域为［－|A|，|A|]的前提是x∈R，x的范围发生变化时,值域可能发生变化．（2)研究y＝Asin（ωx＋φ)的性质,通常利用代换u＝ωx＋φ，把ωx＋φ看成一个整体去处理．4．函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k的解析式的确定已知函数y＝Asin(ωx＋φ）＋k,能准确地研究其图象与性质，反过来,若已知它的图象或部分图象，怎样确定其解析式呢？解决此类问题关键在于确定参数A，ω，φ，k，其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0），则在观察图象的基础上,可按以下规律来确定A，ω，φ，k．（1)A:一般可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A，A＝．(2)ω:因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为,相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为T．(3）φ：从寻找“五点作图法"中的最高点作为突破口，即当ωx＋φ＝＋2kπ时，y有最大值．或者由“五点作图法”中的第一个点作为突破口，从图象的升降情况找准第一点的位置．（4)k:可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定k，k＝．在求参数过程中，求初相φ应先求ω，然后根据取最大值时相应x值代入方程求解特别提醒依据“五点作图法"的原理,点的序号与式子关系如下：“第一点”（即图象第一次上升时与x轴的交点）横坐标满足ωx＋φ＝0；“第二点”（即图象曲线的“峰点”)横坐标满足ωx＋φ＝；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点)横坐标满足ωx＋φ