浙江省金华市永康市2024-2025学年上学期九年级数学期末学业水平监测试卷（原卷版+解析版）

2024学年第一学期九年级期末学业水平监测数学试题卷考生须知：1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式．2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号．4．本次考试不得使用计算器．卷I说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（）A必然事件 B.确定事件 C.不可能事件 D.随机事件2.如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（）A.4 B. C.5 D.63.如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C. D.4.如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（）A. B. C. D.5.已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（）A. B. C. D.6.如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（）A. B. C. D.7.若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（）A. B.C D.8.如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（）A. B.C. D.9.已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（）A.，， B.，C.，， D.，，10.如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（）A1.5 B.1.8 C.2 D.2.4卷Ⅱ说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）11.抛物线的开口_________．（填“向上”或“向下”）12.某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01）累计抽测的学生数n1000200030004000500060008000近视学生数与n的比值0.4230.4100.4100.4110.4130.4090.41013.若的半径为．则其内接正六边形的周长等干_________14.如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为_________．15.如图，在中，，将绕点旋转得到，点对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为_________．16.在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，x轴上方区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从A处射出，先沿抛物线运动至点，再沿运动至点．已知点的坐标为，，则的长为_________．三、解答题（本题有8小题，共72分）17.（1）计算：（2）已知，求的值．18.手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作）（1）小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________．（2）小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率．19.图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O．（2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）．20.台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．（参考数据：，，，）（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．21.如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．（1）求证：．（2）若，，求EF的长．22.某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…606570…周销量y（盒）…240210180…（1）求y关于x的函数表达式．（2）当销售单价定多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？（3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？23.已知抛物线（a，b，c为常数，且）．（1）若该抛物线经过点，．①求抛物线的对称轴．②已知该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值．（2）若该抛物线经过点，且当时，y的最大值为；当时，，求a的值．24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B，C分别为x轴正半轴和y轴上的动点，连结，，作射线交x轴于点D，已知．（1）求的值．（2）当点C在y轴正半轴上，且时，求点C的坐标．（3）是否存在与相似的情况？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

2024学年第一学期九年级期末学业水平监测数学试题卷考生须知：1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式．2．全卷分为卷I（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上．3．请用黑色字迹钢笔或签字笔在答题纸上先填写姓名和准考证号．4．本次考试不得使用计算器．卷I说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.赵州桥在中国桥梁史上占有举足轻重的地位，被誉为“天下第一桥”，它的图片出现在浙教版九年级上册数学课本第76页．翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是（）A.必然事件 B.确定事件 C.不可能事件 D.随机事件【答案】D【解析】【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可．【详解】解：翻开该课本，恰好翻到第76页，这个事件是随机事件，故选：D．2.如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（）A.4 B. C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：∵，∴，即，解得：，故选：A．3.如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”是位似图形，且相似比为，位似中心为坐标原点，点与点为一组对应点，若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查关于原点位似的坐标特征，根据这个特征求解即可．【详解】解：两个“”的相似比为，点的坐标为，∴点的坐标为，故选B．4.如图，点是线段的黄金分割点，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可得到答案．【详解】解：点是线段黄金分割点，，，故选：B．5.已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解．【详解】解：∵，，∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：，∴点平移后的对应点Q的坐标是，故选：C．6.如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合邻补角的定义，即可求出的度数．【详解】解：，，四边形内接于，，，，故选：C．7.若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可．【详解】解：由题意得：，，，∴；故选A．8.如图，教室内的地面上有个倾倒的畚箕，手柄，，小天将畚箕绕点A按顺时针方向旋转后平放在地面，则的长可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据垂直定义可得∶．然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再利用旋转的性质可得∶，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解∶，，在中，，，，由旋转得∶，，故选∶B．9.已知的三边长为1，，2，在下列给定条件中，与不一定相似的是（）A.，， B.，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据选项条件逐项进行判断即可．【详解】解：如图，设∵∴，∴是直角三角形，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选项A不符合题意；∵，∴，∴，故选项B不符合题意；如图2，，，，取的中点H，连接，则，∴∴是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选项C不符合题意；，，若，则，∴此时与不相似，∴与不一定相似，故选项D符合题意；故选：D10.如图，在四边形中，对角线，，，设和的面积分别为和，则的值为（）A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.4【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形及三角形的面积，先根据三角形的面积公式得出进而得出，再结合的正弦得出即可解决问题．【详解】解：因为所以所以在中，，令，则，所以，又因为所以．故选：C．卷Ⅱ说明：本卷共有2大题，14小题，共90分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分）11.抛物线的开口_________．（填“向上”或“向下”）【答案】向下【解析】【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质，根据，可得开口方向．【详解】解：抛物线的开口向下：故答案：向下12.某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为_________．（结果精确到0.01）累计抽测的学生数n1000200030004000500060008000近视学生数与n的比值0.4230.4100.4100.4110.4130.4090.410【答案】0.41【解析】【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可．【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41；故答案为0.41．13.若的半径为．则其内接正六边形的周长等干_________【答案】【解析】【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为．【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形，，，是等边三角形，，，正六边形的周长为．故答案为：

．14.如图，为半圆O直径，C为半圆O上一点，且，连结，以点B为圆心为半径画弧交于点D．若，则的长为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查弧长的计算，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，连接，根据弧、弦、圆心角的关系求出，由等腰三角形的判定与性质求出的度数，由勾股定理求出，从而根据弧长公式求出的长即可．【详解】解：如图，连接．∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．15.如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好为的重心，与相交于点，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】重心是三角形三条中线的交点，根据点是的重心，可知，所以可得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据旋转的性质可证、根据对顶角相等可得，从而可证，根据相似三角形的性质可得的值．【详解】解：点是的重心，，，又在中，，，，，由旋转可知：，，，又，，，由旋转可知：，，，，，又，，．故答案为：

．【点睛】本题考查了三角形重心的性质、直角三角形的性质、三角形相似的判定和性质、旋转的性质，解决全题的关键是利用重心的定义和旋转的性质找到边之间的关系．16.在电磁场中，带电粒子的运动是一个复杂而迷人的物理现象，在如图所示的平面直角坐标系中，x轴上方区域存在沿y轴负方向的匀强电场，x轴下方区域存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．一个带电粒子从A处射出，先沿抛物线运动至点，再沿运动至点．已知点的坐标为，，则的长为_________．【答案】8【解析】【分析】记的圆心为，连接，过点E作于点F，先根据圆周角定理和三线合一得到，则，设，那么，由建立方程求出，再求出点的坐标，即可求出抛物线解析式，继而可求解与y轴交点坐标．【详解】解：记的圆心为，连接，过点E作于点F，∵，，∴，∵，∴，∴，设，∴，∵，∴解得：，∴，∴，∴，将代入得，，解得：，∴抛物线解析式为：，当，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数与圆的综合问题，解直角三角形，涉及待定系数法求函数解析式，圆周角定理，两点之间距离公式，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于圆周角的运用．三、解答题（本题有8小题，共72分）17.（1）计算：（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，代数式求值，熟记特殊角的三角函数值及求值方法是解题的关键．（1）把特殊角的三角函数值代入原式计算即可；（2）根据已知条件变形，代入所求值代数式计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）因为，所以，原式．18.手工艺品作为非物质文化遗产的物质性代表，蕴含着中华民族的智慧和艺术精神．以下是几幅金华市非遗手工艺品的图片：武义大漆（记作），永康锡雕（记作），磐安竹编（记作），浦江剪纸（记作）（1）小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是_________．（2）小金和小华分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传金华的非物质文化遗产，请用树状图或列表法分析，求两人恰好选中同一幅图的概率．【答案】（1）（2）见解析，【解析】【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种，根据概率公式计算即可；（2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中恰好选中磐安竹编的结果有种，小金从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中磐安竹编的概率是；【小问2详解】解：列表如下，ABCDABCD共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有种，两人恰好选中同一幅图的概率为．19.图①，图②均是的正方形网格，每个正方形的顶点称为格点，点A，B，C均在格点上．仅用无刻度直尺，在给定网格中按要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）如图①，已知经过点B，作出所在圆的圆心O．（2）在图②中找格点D，使（找出一个符合条件的格点即可）．【答案】（1）图见解析（2）图见解析（画出一个即可）【解析】【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的性质、平行四边形的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．（1）利用网格特点，作出的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心；（2）根据轴对称的性质和平行四边形的性质找出格点、或作出的外接圆，根据圆周角定理找出格点即可得．【小问1详解】解：如图，点即为所求．．【小问2详解】解：如图，点即为所求（画出一个即可）．．20.台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．（参考数据：，，，）（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．【答案】（1）（2）能，高度为10米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）由题意得可得，由，得，继而求得；（2）过点作，可得，设为，则，由，得，继而可得，求得，即可得到值，即树的高度．【小问1详解】解：由题意得，，所以，因为，所以．因此．∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．【小问2详解】解：能，计算如下，过点作，因，所以，设为，则，又因为，所以，因为，所以，解得，所以，∴大树顶端A距离地面的高度为10米．21.如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．（1）求证：．（2）若，，求EF的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，加上，所以，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据平行线的性质得，则利用垂径定理得到，接着根据三角形中位线性质得到，所以，然后证明，则利用相似三角形的性质和比例的性质可求出的长．【小问1详解】解：因为平分，所以，所以，即，因为AB是的直径，所以，所以．【小问2详解】因为AB是的直径，所以，由勾股定理得，由（1）可知，所以，因为，分别是，的中点，所以，可得．由（1），可得，则，所以．【点睛】本题考查平行线的判定、勾股定理、垂径定理、三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关定理是解题关键．22.某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…606570…周销量y（盒）…240210180…（1）求y关于x的函数表达式．（2）当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？（3）若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？【答案】（1）（2）当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元（3）该商店每周至少可获得3000元利润【解析】【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用．（1）用待定系数法求解即可；（2）根据利润=每盒利润×数量求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解；（3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：设，把，和，代入，得，解得，所以y关于x的函数关系式为．【小问2详解】解：设每周出售糕点所获利润为w元，当时w的最大值为5400．所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元．【小问3详解】解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为，该二次函数图象开口向下，且对称轴为，所以当时，，因此该商店每周至少可获得3000元利润．23.已知抛物线（a，b，c常数，且）．（1）若该抛物线经过点，．①求抛物线的对称轴．②已知该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值．（2）若该抛物线经过点，且当时，y的最大值为；当时，，求a的值．【答案】（1）①；②（2）【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．（1）①依据题意，由抛物线过点，，从而抛物线的对称轴是直线，进而得解；②依据