2024年中考数学真题专题分类汇编专题25 解直角三角形（含勾股定理）及其应用（原卷版）

2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）

专题25解直角三角形（含勾股定理）及其应用

一、选择题

1.（2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将

这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

4

2.（2024甘肃临夏）如图，在ABC中，ABAC5，sinB，则BC的长是（）

5

A.3B.6C.8D.9

3.（2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，ABD120，

其中点A，B，C都在格点上，则tanBCD的值为（）

3

A.2B.23C.D.3

2

4.（2024四川德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高

度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60，在小楼房楼顶A处测

得C处的仰角为30．（AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（）

米

A.20B.15C.12D.1053

5.（2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得的仰角为45，

小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得的仰角为53，则电子厂AB的高度为（）

434

（参考数据：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

6.（2024安徽省）如图，在Rt△ABC中，ACBC2，点D在AB的延长线上，且CDAB，

则BD的长是（）

A.102B.62C.222D.226

二、填空题

5BD8

1.（2024深圳）如图，在ABC中，ABBC，tanB，D为BC上一点，且满足，

12CD5

CE

过D作DEAD交AC延长线于点E，则________．

AC

2.（2024内蒙古赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古

树底部A处在同一水平面上，且AC10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的

俯角为45，古树底部A的俯角为65，则古树AB的高度约为________米（结果精确到0.1米；参

考数据：sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

3.（2024江西省）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则

tanCAB______．

4.（2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P

处，测得教学楼底端点A的俯角为37，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得

教学楼顶端点B的俯角为45，则教学楼AB的高度约为________m．（精确到1m，参考数据：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

5.（2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部

点C的仰角为60，测得底部点B的俯角为45，点A与楼BC的水平距离AD50m，则这栋楼的

高度为______m（结果保留根号）．

6.（2024武汉市）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合

实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升

至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45，底端B的俯角为63，则测得黄鹤楼

的高度是__________m．（参考数据：tan632）

7.（2024四川达州）如图，在Rt△ABC中，C90．点D在线段BC上，BAD45．若

AC4，CD1，则ABC的面积是______．

8.（2024四川眉山）如图，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当

太阳光与水平面的夹角为60时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为______米．

三、解答题

1.（2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，

造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，

ABBC，点C，D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE1.6米）测得A

点仰角为37，向西平移14.5米至点D，测得A点仰角为45，请根据测量数据，求乾元塔的高度

AB．（结果保留整数，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

2.（2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实

现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机

组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔

筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，

CDEF1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点

A的仰角为45，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

3.（2024河北省）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点

P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ4m，仰角为；淇淇向前走了3m后到达

点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距

离ABCD1.6m，点P到BQ的距离PQ2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所

有点均在同一平面）

（1）求的大小及tan的值；

（2）求CP的长及sinAPC的值．

4.（2024河南省）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平

视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当

经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时APB

为最大视角．

（1）请仅就图2的情形证明APBADB．

（2）经测量，最大视角APB为30，在点P处看塑像顶部点A的仰角APE为60，点P到塑

像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：31.73）．

5.（2024江苏苏州）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆ABBC，活动

杆AD可绕点A旋转，CD为液压可．伸．缩．支撑杆，已知AB10cm，BC20cm，AD50cm．

（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；

3

（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且tan（为锐角），

4

求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．

6.（2024山东威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一

是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）

课题测量某护堤石坝与地平面的倾斜角

成员组长：×××组员：×××，×××，×××

测量

竹竿，米尺

工具

说明：AC是一根笔直的竹竿．点D

测量

是竹竿上一点．线段DE的长度是

示意

点D到地面的距离．是要测量

图

的倾斜角．

测量

数据

…………

（1）设AB=a，BCb，ACc，CEd，DEe，CDf，BEg，ADh，请根据

表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量

数据”一栏．

（2）根据（1）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程．

（3）假设sin0.86，cos0.52，tan1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出

的度数，你选择的按键顺序为________．

7.（2024天津市）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图

①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，

DE36m,ECAB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（CDB）为45，测得桥塔底

部A的俯角（CDA）为6，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（CEB）为31．

（1）求线段CD的长（结果取整数）；

（2）求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1．

8.（2024重庆市B）如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏东30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（参考数据：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；

（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：DCB，乙选择的路线为：DAB．请

计算说明谁选择的路线较近？

9.（2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡

秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：

平地秋千未起，踏板一尺离地．

送行二步与人齐，五尺人高曾记．

仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．

良工高士素好奇，算出索长有几？

词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进

10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很

直）

（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；

（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA释放，秋千摆动到另