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文档简介
专题02平面向量的数量积七种考法一、方法讲解1.辨析数量积的运算律数量积运算不适合结合律,即,这是由于表示一个与共线的向量,表示一个与共线的向量,而与不一定共线,因此与不一定相等.2.平面向量的数量积运算数量积的运算要注意时,,但时不能得到或,因为时,也有.3.平面向量的长度、角度、垂直问题根据平面向量数量积的性质:,,等,所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题注:平面向量的模长范围问题,常用的方法有:(1)坐标法:即通过建立直角坐标系,通过向量坐标运算求得;(2)基向量表示法:即通过选设平面的基底,用基底表示相关向量,运算求得;(3)构造几何图形法:即根据模长定值构造圆形,由向量点乘等于零得到两向量垂直4.投影向量向量在向量方向上的投影向量为在上的投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以等于0.二、重难点例题及变式类型一、辨析数量积的运算律例.已知非零向量,则“”是“”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图所示,,当时,与垂直,,所以成立,此时,∴不是的充分条件,当时,,∴,∴成立,∴是的必要条件,综上,“”是“”的必要不充分条件
故选:B.【变式训练1】若,,均为任意向量,,则下列等式不一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】选项A是向量加法的结合律,正确;选项B是向量数量积运算对加法的分配律,正确;选项C是数乘运算对向量加法的分配律,正确;选项D.根据数量积和数乘定义,等式左边是与共线的向量,右边是与共线的向量,两者一般不可能相等,也即向量的数量积运算没有结合律存在.D错.故选:D.【变式训练2】设是三个非零的平面向量,且相互不共线,则下列结论正确的是(
)A. B.C.与垂直 D.【答案】C【解析】选项A:因为是三个非零的平面向量,且相互不共线,所以不会同时与垂直,所以与不会同时为0,所以,故A错误;(注意向量的数量积为一个常数)选项B:,由于,(点拨:向量夹角的取值范围是)所以,故B错误;选项C:因为,且由A知与不相等,所以与垂直,(点拨:若两向量的数量积为0,则两向量垂直)故C正确;选项D:因为是非零向量,且不共线,所以设,从而,在中,两边之差小于第三边,所以,(提示:不共线,所以中的等号不成立)故D错误.故选:C.类型二、平面向量的数量积运算例.(1)已知向量满足,则(
)A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】∵,又∵∴9,∴故选:C.(2)已知向量,若,则实数(
)A. B. C. D.1【答案】【解析】,,解得.故选:A.(3)如图所示,在边长为2的等边中,点为中线BD的三等分点(靠近点B),点F为BC的中点,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知有,,,所以.已知是AC的中点,则,,所以,则.故选:D.【变式训练1】已知向量,,若,则.【答案】【解析】,即,,,,,.故答案为:.【变式训练2】已知非零不共线向量满足,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】设,则,由两边平方得,,整理得,,因是非零不共线向量,则,即,解得,,此时函数是增函数,故,即的取值范围为.故选:D.【变式训练3】已知边长为1的正方形ABCD,点E,F分别是BC,CD的中点,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】边长为1的正方形ABCD,,,,,所以.故选:D.类型三、平面向量的夹角问题例.(1)已知向量为单位向量,且,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】因为向量均为单位向量,即,且,,则,两边平方可得,即,所以,又,所以与的夹角为.故选:C.(2)已知向量,则(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以,则,,所以.故选:B.【变式训练1】已知向量,满足,且,则向量,夹角的余弦值是.【答案】【解析】因为,所以,所以.因为,所以,所以,则.故答案为:【变式训练2】已知向量,若,则(
)A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】,,即,解得,故选:C类型四、平面向量的模长例.(1)已知向量满足,且,则(
)A. B. C. D.1【答案】B【解析】因为,所以,即,又因为,所以,从而.故选:B.(2)已知向量,且,则.【答案】【解析】,因为,所以,解得,所以.故答案为:.(3)已知向量,,,则的最小值为.【答案】【解析】,所以.当时等号成立.故答案为:.【变式训练1】若向量满足,,,则.【答案】【解析】由,有,即,得.又,得.故答案为:.【变式训练2】已知向量满足,则【答案】【解析】可得,故,故答案为:【变式训练3】在平行四边形中,若则的最小值为(
)A. B. C.1 D.【答案】B【解析】由可得,因,故时,,即的最小值为.故选:B.类型五、投影向量例.(1)已知向量,若,则在上的投影向量为.【答案】【解析】因为,所以,又,所以,解得,因为,所以在上的投影向量为.故答案为:(2)若非零向量,满足,则在方向上的投影向量为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可得,所以,则所以,则在方向上的投影向量为.故选:B【变式训练1】已知向量,,则在上的投影向量为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,,所以在上的投影向量为.故选:A【变式训练2】已知平面向量与满足:在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为,且,则(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】在方向上的投影向量为,即,①在方向上的投影向量为,即,②由①②得,又,所以.故选:D类型六、平面向量的垂直问题例.(1)已知向量,若,则(
)A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因为,所以,所以即,故,故选:D.
(2)若是夹角为的两个单位向量,与垂直,则(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有,又因为与垂直,所以,整理得,解得.故选:B.【变式训练1】已知向量,若,则(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】因为,所以,,由可得,,即,整理得:.故选:D.【变式训练2】已知,是单位向量,且它们的夹角是,若,,且,则(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】由得,,即,解得,故选:B.类型七、数量积范围的综合问题例.已知向量,,且.(1)求的值;(2)求的取值范围;(3)记函数,若的最小值为,求实数的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)向量,,.(2),,,,,所以的取值范围为.(3)由(1)(2)可知,函数,令,则,,其图像抛物线开口向上,对称轴方程为,当,即时,最小值为,解得(舍去);当,即时,最小值为,解得或(舍去);当,即时,最小值为.综上可知,.【变式训练1】是等腰直角三角形,其中,是所在平面内的一点,若(且),则在上的投影向量的长度的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,(且),则(且),则在线段上,如图所示,
当与重合时,在上的投影向量的长度取得最大值,最大值为;当与重合时,在上的投影向量的长度取得最小值,最大值为;则在上的投影向量的长度的取值范围是.故选:B.【变式训练2】如图,A、B是单位圆上的相异两定点(O为圆心),且(为锐角).点C为单位圆上的动点,线段交线段于点.(1)求(结果用表示);(2)若①求的取值范围:②设,求的取值范围.【答案】(1)(2)①②【解析】(1).(2)①.设.由题意得,则所以因为,则所以,所以最小值是0,最大值是3,则;②设,则,所以,由得,即,整理得,所以,所以.令.,令∵,则,即∴在上单调递增,则所以的取值范围是.三、能力测试练1.已知和是两个单位向量,若,则向量与向量的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为和是单位向量,所以又因为,所以,所以,所以,又,所以向量与向量的夹角为.故选:B.2.已知平面向量,,若,则实数(
)A.-1 B.-2 C.1 D.2【答案】D【解析】因为,,所以,,因为,所以,解得.故选:D3.已知是单位向量,且在上的投影向量为,则与的夹角为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是单位向量,且,两边平方得,,即(*),由在上的投影向量为,可得,所以,即,代入(*)可得,,即,所以,因为,所以.故选:B.4.已知的半径为1,直线PA与相切于点A,直线PB与交于B,C两点,D为BC的中点,若,则的最大值为(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】如图所示,,则由题意可知:,由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时,设,则:,则当时,有最大值.
当点位于直线同侧时,设,则:,,则当时,有最大值.综上可得,的最大值为.故选:A.5.(多选)关于平面向量,下列说法不正确的是(
)A.若,则B.C.若,则D.【答案】ACD【解析】对于A,若,则不一定有,A错误;对于B,根据分配律即可得到,B正确;对于C,若,则可能,那么,C错误;对于D,若,则有,那么就不一定有,D错误.故选:ACD6.(多选)已知点,,,,则下列结论正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若, D.的最大值为【答案】ACD【解析】由题意可知,,对于A,当时,,所以,即,故,故A正确;对于B,因为,所以存在实数,使得,即,解得,故或,故B错误;对于C,因为,所以,解得,故C正确;对于D,因为,所以,其中,所以当时,,故D正确.故选:ACD.7.已知向量,,若向量,的夹角为锐角,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】因为,,所以;因为向量,的的夹角为锐角,所以有,解得.又当向量,共线时,,解得:,所以实数的取值范围为.故选:C.8.如图,在四边形中,,,且,则实数的值为,若是线段上的动点,且,则的最小值为.【答案】【解析】,,,,解得,以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,,∵,∴的坐标为,∵又∵,则,设,则(其中),,,,所以,当时,取得最小值.故答案为:;.9.如图,在等腰梯形中,,,,是的中点.(1)记,且,求,值;(2)记,是线段上一动点,且,求的取值范围.【答案】(1),(2)【解析】(1)依题意,所以,即,即,又,解得,(负值舍去);(2)过点作,如图建立平面直角坐标系,因为,,所以,,,,,所以,,,因为,所以所以,所以,令,,设且,则,当时,,则,又,所以;当时,,则,又,所以;所以在上单调递减,在上单调递增,又,,,且,所以,所以,即的取值范围为.10.在等腰梯形ABCD中,
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