专题02 平面向量的数量积七种考法（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）（新高考地区专用） (2)-1

专题02平面向量的数量积七种考法一、方法讲解1.辨析数量积的运算律数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．2.平面向量的数量积运算数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．3.平面向量的长度、角度、垂直问题根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题注：平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直4.投影向量向量在向量方向上的投影向量为在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．二、重难点例题及变式类型一、辨析数量积的运算律例．已知非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件，当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.【变式训练1】若，，均为任意向量，，则下列等式不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与共线的向量，右边是与共线的向量，两者一般不可能相等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选：D．【变式训练2】设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与垂直 D．【答案】C【解析】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线，所以不会同时与垂直，所以与不会同时为0，所以，故A错误；（注意向量的数量积为一个常数）选项B：，由于，（点拨：向量夹角的取值范围是）所以，故B错误；选项C：因为，且由A知与不相等，所以与垂直，（点拨：若两向量的数量积为0，则两向量垂直）故C正确；选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设，从而，在中，两边之差小于第三边，所以，（提示：不共线，所以中的等号不成立）故D错误．故选:C.类型二、平面向量的数量积运算例．（1）已知向量满足，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故选：C.（2）已知向量，若，则实数（

）A． B． C． D．1【答案】【解析】，，解得.故选：A.（3）如图所示，在边长为2的等边中，点为中线BD的三等分点（靠近点B），点F为BC的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知有，，，所以．已知是AC的中点，则，，所以，则．故选：D．【变式训练1】已知向量，，若，则．【答案】【解析】，即，，，，，.故答案为：.【变式训练2】已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，由两边平方得，，整理得，，因是非零不共线向量，则，即，解得，，此时函数是增函数，故，即的取值范围为.故选：D.【变式训练3】已知边长为1的正方形ABCD，点E，F分别是BC，CD的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】边长为1的正方形ABCD，，，，，所以.故选：D.类型三、平面向量的夹角问题例．（1）已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为向量均为单位向量，即，且，，则，两边平方可得，即，所以，又，所以与的夹角为．故选：C．（2）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以.故选：B.【变式训练1】已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是.【答案】【解析】因为，所以，所以.因为，所以，所以，则.故答案为：【变式训练2】已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故选：C类型四、平面向量的模长例．（1）已知向量满足，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.（2）已知向量，且，则.【答案】【解析】，因为，所以，解得，所以.故答案为：.（3）已知向量，，，则的最小值为.【答案】【解析】，所以.当时等号成立.故答案为：.【变式训练1】若向量满足，，，则.【答案】【解析】由，有，即，得.又，得.故答案为：.【变式训练2】已知向量满足，则【答案】【解析】可得，故，故答案为：【变式训练3】在平行四边形中，若则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由可得，因，故时，，即的最小值为.故选：B．类型五、投影向量例．（1）已知向量，若，则在上的投影向量为．【答案】【解析】因为，所以，又，所以，解得，因为，所以在上的投影向量为.故答案为：（2）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可得，所以，则所以，则在方向上的投影向量为.故选：B【变式训练1】已知向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，所以在上的投影向量为.故选：A【变式训练2】已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在方向上的投影向量为，即，①在方向上的投影向量为，即，②由①②得，又，所以.故选：D类型六、平面向量的垂直问题例．（1）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以即，故，故选：D.

（2）若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B.【变式训练1】已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．【变式训练2】已知，是单位向量，且它们的夹角是，若，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，即，解得，故选：B．类型七、数量积范围的综合问题例．已知向量，，且.（1）求的值；（2）求的取值范围；（3）记函数，若的最小值为，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范围为.（3）由（1）（2）可知，函数，令，则，，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为，当，即时，最小值为，解得（舍去）；当，即时，最小值为，解得或（舍去）；当，即时，最小值为.综上可知，.【变式训练1】是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，（且），则（且），则在线段上，如图所示，

当与重合时，在上的投影向量的长度取得最大值，最大值为；当与重合时，在上的投影向量的长度取得最小值，最大值为；则在上的投影向量的长度的取值范围是．故选：B.【变式训练2】如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.（1）求（结果用表示）；（2）若①求的取值范围：②设，求的取值范围.【答案】（1）（2）①②【解析】（1）.（2）①.设.由题意得，则所以因为，则所以，所以最小值是0，最大值是3，则；②设，则，所以，由得，即，整理得，所以，所以.令.，令∵，则，即∴在上单调递增，则所以的取值范围是.三、能力测试练1．已知和是两个单位向量，若，则向量与向量的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为和是单位向量，所以又因为，所以，所以，所以，又，所以向量与向量的夹角为.故选：B.2．已知平面向量，，若，则实数（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【解析】因为，，所以，，因为，所以，解得.故选：D3．已知是单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是单位向量，且，两边平方得，，即（*），由在上的投影向量为，可得，所以，即，代入（*）可得，，即，所以，因为，所以．故选：B．4．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，，则由题意可知:，由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，则：，则当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，则：，，则当时，有最大值.综上可得，的最大值为.故选：A.5．（多选）关于平面向量，下列说法不正确的是（

）A．若，则B．C．若，则D．【答案】ACD【解析】对于A，若，则不一定有，A错误；对于B，根据分配律即可得到，B正确；对于C，若，则可能，那么，C错误；对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.故选：ACD6.（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为【答案】ACD【解析】由题意可知，，对于A，当时，，所以,即，故，故A正确；对于B，因为，所以存在实数，使得，即，解得，故或，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，因为，所以，其中，所以当时，，故D正确.故选：ACD.7.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以；因为向量，的的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，解得：，所以实数的取值范围为.故选：C.8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．【答案】【解析】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.9．如图，在等腰梯形中，，，，是的中点.（1）记，且，求，值；（2）记，是线段上一动点，且，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】（1）依题意，所以，即，即，又，解得，（负值舍去）；（2）过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，，所以，，，，，所以，，，因为，所以所以，所以，令，，设且，则，当时，，则，又，所以；当时，，则，又，所以；所以在上单调递减，在上单调递增，又，，，且，所以，所以，即的取值范围为.10．在等腰梯形ABCD中，