广东省阳江市第三中学2024-2025学年高三下学期英才班数学练习（3.12）答案-1

2024-2025学年度阳江市第三中学高三数学英才班练习2025年3月12日一、单选题1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（

）A．（）B．（）C．（） D．（）【答案】A【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，，解得或（舍去）.3．（2025·江西上饶·一模）“”是“椭圆的焦点在轴上”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】椭圆的焦点在轴上,则，解得，故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件.4．（2025·福建厦门·二模）已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，M为PF的中点，原点，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【详解】当点为原点时，，由对称性不妨令点在第一象限，设点，而，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.5．（2025·海南·三模）若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上，则的焦距为（

）A．2 B． C． D．【答案】B【详解】由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线上，由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2，所以正方形的边长只能为1，因此点在上，代入的方程得，解得，故，所以的焦距为.6．（2025·广西·一模）双曲线的焦点到渐近线的距离为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为，渐近线方程为，由对称性不妨求右焦点到的距离，由点到直线的距离公式可得.二、多选题7．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）A．为实数B．C．若，则 D．【答案】ABD【详解】对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.8．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（

）A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为【答案】BD【详解】由题意知，.对于选项A，若向量，则，即，显然此式能成立，故A错；对于选项B，若向量，则有，即，即，显然此式不成立，故B正确；对于选项C，，则当时，，故C错；对于选项D，若，则，，则在上的投影向量为，故D正确.9．（2025·安徽·一模）已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（

）A．数据的方差为4B．数据的平均数为17C．数据的平均数为10，方差大于1D．若数据的中位数为分位数为，则【答案】AB【详解】对于A：数据的方差为，A选项正确；对于B：数据的平均数为，B选项正确；对于C：数据的平均数为，方差，C选项错误；对于D：若取数据，平均数为10，方差为1，则中位数为，因为，所以第5个数为分位数，所以，D选项错误.10．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知函数的定义域为，，且不恒为，则（

）A．B．C．是奇函数 D．（为的导函数）【答案】ABD【详解】对于A，令，，又因为不恒为，则，所以A正确；对于B，令，可得，因此，所以B正确；对于C，令，可得，所以；又因为函数的定义域为，所以是偶函数，又不恒为0，这样不可能是奇函数，故C错误；对于D，由B的推导过程知，两边求导得所以，故D正确.三、填空题11．（24-25高三下·河南驻马店·开学考试）已知随机变量服从正态分布，若，则．【答案】1【详解】因为随机变量服从正态分布，且，则，可得．12．（24-25高三上·山东威海·期末）已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为.【答案】【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次，甲比乙进球数多包含以下两种情况：①甲进1球，乙进0球，概率为：，②甲进2球，乙进1球，概率为：，③甲进2球，乙进0球，概率为：甲比乙进球数多的概率．13．（24-25高三下·陕西商洛·阶段练习）若等比数列满足，则其公比为.【答案】【详解】由，得，所以，即，解得.又，所以，所以.四、解答题14．（2025·广东肇庆·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，平面平面.(1)证明：平面.(2)若为的中点，求到平面的距离.【详解】（1）证明：如图,在平面内作,交于点.因为平面平面,平面平面平面,所以平面,则.因为平面,所以,因为平面,所以平面.（2）解：如图，连接交于点,连接.易知为的中位线,所以.因为平面平面,所以平面,所以到平面的距离,即为点到平面的距离.由（1）知平面,所以.因为,所以.又因为平面,所以两两垂直.因为,所以.（建系）：如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则,所以,.设平面的法向量为,则即取,则,所以平面的一个法向量为.则点到平面的距离,即到平面的距离为15．（2025·湖北武汉·二模）如图，与存在对顶角，，，且．(1)证明：为中点；【详解】（1）设，，则，.在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：.由，所以.化简得：.故为中点.16．（2024·河南开封·二模）已知椭圆的左，右焦点分别为，，