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文档简介
2024-2025学年度阳江市第三中学高三数学英才班练习2025年3月12日一、单选题1.(2024·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知曲线C:(),从C上任意一点P向x轴作垂线段,为垂足,则线段的中点M的轨迹方程为(
)A.()B.()C.() D.()【答案】A【详解】设点,则,因为为的中点,所以,即,又在圆上,所以,即,即点的轨迹方程为.2.(2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线与C交于A,B两点,若面积是面积的2倍,则(
)A. B. C. D.【答案】C【详解】将直线与椭圆联立,消去可得,因为直线与椭圆相交于点,则,解得,设到的距离到距离,易知,则,,,解得或(舍去).3.(2025·江西上饶·一模)“”是“椭圆的焦点在轴上”的(
)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】椭圆的焦点在轴上,则,解得,故“”是“椭圆的焦点在轴上”的必要不充分条件.4.(2025·福建厦门·二模)已知抛物线的焦点为F,P为C上一点,M为PF的中点,原点,则的最大值为(
)A. B.1 C. D.2【答案】B【详解】当点为原点时,,由对称性不妨令点在第一象限,设点,而,则,因此,当且仅当时取等号,所以的最大值为1.5.(2025·海南·三模)若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆上,则的焦距为(
)A.2 B. C. D.【答案】B【详解】由对称性可知,正方形的四个顶点必在直线上,由于椭圆在y轴上的两顶点间的距离为2,所以正方形的边长只能为1,因此点在上,代入的方程得,解得,故,所以的焦距为.6.(2025·广西·一模)双曲线的焦点到渐近线的距离为(
)A.1 B. C.2 D.3【答案】C【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为,渐近线方程为,由对称性不妨求右焦点到的距离,由点到直线的距离公式可得.二、多选题7.(2025·山东菏泽·模拟预测)已知复数,,为的共轭复数,则下列结论中一定成立的是()A.为实数B.C.若,则 D.【答案】ABD【详解】对于A,设复数,则,则,为实数,故A正确;对于B,,,则,故B正确;对于C,若,不妨取,则不成立,故C错误;对于D,,则,,则,则,故D正确.8.(2025·山东菏泽·一模)已知平面向量,,则下列说法正确的有(
)A.向量,不可能垂直 B.向量,不可能共线C.不可能为3 D.若,则在上的投影向量为【答案】BD【详解】由题意知,.对于选项A,若向量,则,即,显然此式能成立,故A错;对于选项B,若向量,则有,即,即,显然此式不成立,故B正确;对于选项C,,则当时,,故C错;对于选项D,若,则,,则在上的投影向量为,故D正确.9.(2025·安徽·一模)已知数据的平均数为10,方差为1,且,则下列说法正确的是(
)A.数据的方差为4B.数据的平均数为17C.数据的平均数为10,方差大于1D.若数据的中位数为分位数为,则【答案】AB【详解】对于A:数据的方差为,A选项正确;对于B:数据的平均数为,B选项正确;对于C:数据的平均数为,方差,C选项错误;对于D:若取数据,平均数为10,方差为1,则中位数为,因为,所以第5个数为分位数,所以,D选项错误.10.(24-25高三下·安徽·阶段练习)已知函数的定义域为,,且不恒为,则(
)A.B.C.是奇函数 D.(为的导函数)【答案】ABD【详解】对于A,令,,又因为不恒为,则,所以A正确;对于B,令,可得,因此,所以B正确;对于C,令,可得,所以;又因为函数的定义域为,所以是偶函数,又不恒为0,这样不可能是奇函数,故C错误;对于D,由B的推导过程知,两边求导得所以,故D正确.三、填空题11.(24-25高三下·河南驻马店·开学考试)已知随机变量服从正态分布,若,则.【答案】1【详解】因为随机变量服从正态分布,且,则,可得.12.(24-25高三上·山东威海·期末)已知甲、乙两人投篮命中率分别为,并且他们投篮互不影响现,每人投篮2次,则甲比乙进球数多的概率为.【答案】【详解】甲、乙两人投篮命中率分别为和,并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次,甲比乙进球数多包含以下两种情况:①甲进1球,乙进0球,概率为:,②甲进2球,乙进1球,概率为:,③甲进2球,乙进0球,概率为:甲比乙进球数多的概率.13.(24-25高三下·陕西商洛·阶段练习)若等比数列满足,则其公比为.【答案】【详解】由,得,所以,即,解得.又,所以,所以.四、解答题14.(2025·广东肇庆·二模)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面,平面平面.(1)证明:平面.(2)若为的中点,求到平面的距离.【详解】(1)证明:如图,在平面内作,交于点.因为平面平面,平面平面平面,所以平面,则.因为平面,所以,因为平面,所以平面.(2)解:如图,连接交于点,连接.易知为的中位线,所以.因为平面平面,所以平面,所以到平面的距离,即为点到平面的距离.由(1)知平面,所以.因为,所以.又因为平面,所以两两垂直.因为,所以.(建系):如图,以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则,所以,.设平面的法向量为,则即取,则,所以平面的一个法向量为.则点到平面的距离,即到平面的距离为15.(2025·湖北武汉·二模)如图,与存在对顶角,,,且.(1)证明:为中点;【详解】(1)设,,则,.在中,由余弦定理得:在中,由余弦定理得:.由,所以.化简得:.故为中点.16.(2024·河南开封·二模)已知椭圆的左,右焦点分别为,,
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