难点02 解三角形的最值范围与图形类问题（八大难点+真题精炼）（原卷版）-1

难点02解三角形的最值范围与图形类问题热点一利用基本不等式求周长面积的最值范围例1．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4例2．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面积S的最小值．变式1-1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为．变式1-2．在中，角、、的对边分别为、、，满足.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求的最小值．变式1-3．在中，内角，，的对边分别为，，，满足．(1)求角的大小；(2)若，求周长的最小值．利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”热点二求角度有关的最值范围例3．在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)求的取值范围.例4．在锐角三角形中，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式2-1．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．变式2-2．在锐角中，内角对边分别为，已知.(1)求；(2)求的取值范围.变式2-3．在锐角三角形中，角对应的边分别记为.(1)求角的大小；(2)求的取值范围.利用角的关系进行统一角，利用统一角的范围求出所求的范围热点三转成角的最值范围例5．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（

）A．4 B． C． D．3例6．设的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若的最大值为，求的值．变式3-1．在中，，，则的最大值为．变式3-2．已知的内角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，求的最大值.变式3-3．记的内角的对边分别为，已知的面积．(1)求；(2)若，求；(3)若，且存在最大值，求正数的取值范围．先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围热点四多边形问题例7．在中，，，，为边上一点，且，则例8．在凸四边形中，对角线交于点，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求边的长.变式4-1．在平面四边形ABCD中，如图所示.，，则四边形ABCD面积的最大值是（

）A． B． C． D．变式4-2．如图，在四边形中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．变式4-3．在中，角所对的边分别为，，，且.(1)求;(2)已知，为边上的一点，若，，求的长.将多边形分割成多个三角形，若有一个三角形可用正余弦定理求解六要素，则要根据所求边或角所在的三角形合理求解边角；若没有一个三角形可求解六要素，则需要根据条件选择边角要素（要挑选有关系的边角或者两三角形的的公共边或公共角）进行假设，然后利用正余弦定理构造方程进行求解热点五多边形中的最值范围例9．已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为．例10．如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.(1)若，求的长；(2)用表示的长度；(3)求的面积的取值范围.变式5-1．在中，点D在边上（不含端点），，，，的最小值为.变式5-2．如图，在中，点在边上，．(1)若，，，求；(2)若是锐角三角形，，求的取值范围．变式5-3．已知四边形内接于，若，，．(1)求线段的长．(2)若，求的取值范围．热点六中线问题例11．（多选）已知的内角的对边分别为为的中点，，则（

）A． B．C．的面积为 D．例12．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，，为AC边的中点，求BD的长.变式6-1．在中，，D为的中点，，的面积为，则．变式6-2．记的内角，，的对边分别，，，已知．(1)求；(2)设是边中点，若，求．变式6-3．已知中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若为的中点，，，求的面积.若是的中线，则方法一：向量法；方法二：（双余弦定理法）在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以，所以①+②式即可热点七与中线有关的最值范围例13．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为．例14．在中，内角所对的边分别为，且(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.变式7-1．已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且.(1)求;(2)若，为的中点，求中线的取值范围.变式7-2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角的大小；(2)若点是边中点，且，求面积的最大值.变式7-3．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，(1)求角的大小；(2)若为BC中点，，求的面积的最大值热点八角平分线问题例15．在中，已知，是上的点，平分，，则（）A． B． C． D．例16．的内角的对边分列为，已知.(1)证明：；(2)若点是边上一点，平分，，且的面积是面积的2倍，求.变式8-1．在△ABC中，已知∠BAC＝60°，BC＝3，点D是BC上的点，AD平分∠BAC.若AD＝2，则△ABC的面积为.变式8-2．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(1)求角C;(2)若，，CD平分交AB于点D，求CD的长.变式8-3．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，为边上一点．(1)若为的中点，且，求；(2)若平分，且的面积为，求的长．若是的角平分线，则有：①等面积法；②1．（2022·23高一下·广西南宁·期末）已知，，，AD平分交BC于点D，则．2．（2025·河北保定·一模）记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2024·25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．4．（2024·25高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，．则的最大值是．5．（2024·新疆·模拟预测）在中，角的对边分别为，是的平分线，是边的中线，．(1)求；(2)求的长．6．（2024·25高三上·山东聊城·阶段练习）记的内角，，所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若是的中线，且，的面积为，求的周长．7．（2024·25高三下·河北沧州·阶段练习）记的内角的对边分别为，的面积为，已知．(1)求；(2)若，求的最大值．8．（202324高三上·辽宁铁岭·期中）已知，是的三个内角，若向量，，且.(1)求证：；(2)求的最大值.9．（2024·25高三下·湖北·开学考试）在矩形中，点在线段上，且.(1)求；(2)若动点分别在线段上，且与面积之比为，试求的最小值.10