难点01 平面向量的综合问题（八大难点+真题精炼）（原卷版）-1

难点01平面向量的综合问题热点一平面向量共线定理的推论（需联立）例1．已知中，分别为边上的点，且，.与的交点为，若，则.例2．在中，D，E分别是线段BC，AC的中点，，P是直线AD与EF的交点，则．变式1-1．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．变式1-2．在△中，已知，，且AD与BC的交点为M，E是OA中点，又直线ME与线段OB交于点F，若，则实数的值为．变式1-3．平面内有四边形，，且，，，是的中点．（1）试用，表示；（2）上有点，和的交点，，求和．共线定理的推论：设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得.若线段与线段交于点，则可利用推论得到，然后利用题意将转化成和，然后对应系数相等得到二元一次方程组热点二数量积的最值范围问题例3．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．-2例4．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为．

变式2-1．如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为．变式2-2．（多选）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（

）A． B． C．12 D．16变式2-3．在等腰梯形中，，，，．

(1)若与垂直，求的值；(2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．平面向量求最值范围的常用方法：1.定义法：先利用数量积的概念及其运算律转化所求问题，再运用基本不等式或二次函数性质求其最值问题2.基底法：利用基底转化向量，然后根据向量运算律化简目标，接着运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论3.坐标法：先根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标，将平面向量的运算坐标化，然后运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解4.数形结合法：结合条件进行向量关系推导，然后利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹，结合图形,确定临界位置的动态分析求出范围。热点三模的最值范围问题例5．在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是例6．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C． D．变式3-1．已知平面非零向量和单位向量，若与的夹角为与的夹角为，则的最小值为．变式3-2．平面向量满足，且，则的最小值为．变式3-3．如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（

）

A． B． C． D．热点四夹角的最值范围问题例7．如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)求向量与夹角的余弦值；(2)若向量，求实数x，y的值；(3)若向量与的夹角为，求的最小值.例8．在中，点D满足且，则当角A最大时，cosA的值为（

）A． B． C． D．变式4-1．已知是平面向量，满足，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．变式4-2．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为（

）A． B．C． D．变式4-3．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．热点五利用等和弦解决系数和差商方问题例9．在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是A． B． C． D．例10．如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的最小值是（

）A．4 B． C． D．2变式5-1．如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为变式5-2．如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为．

变式5-3．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是．平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。①当等和线恰为直线时，；②当等和线在点和直线之间时，；③当直线在点和等和线之间时，；④当等和线过点时，；⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；热点六平面向量的“四心”问题例11．（多选）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（

）A．若点O为的重心，则，B．若点O为的外心，则C．若点O为的垂心，则，D．若点O为的内心，则．例12．（多选）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（

）A．B．C．D．变式6-1．（多选）下列说法中正确的是（

）A．若是内一点，且，则为的垂心B．若是内一点，且，则为的外心C．在四边形中，若，则四边形为菱形D．若是内一点，且，则为的内心变式6-2．已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心变式6-3．（多选）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若三点共线，则存在实数使1.重心向量式设是的重心,为平面内任意一点,则有①;②③若,则动点的轨迹经过三角形的重心④若,则动点的轨迹经过三角形的重心2.垂心向量式若是的垂心,为平面内任意一点,则有:①;②③,则动点的轨迹通过的垂心3.内心向量式若是的垂心,则有：①②,则动点的轨迹经过三角形的内心4.外心向量式若是的外心,为平面内任意一点,则①②③,则动点的轨迹通过外心.④若热点七奔驰定理例13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是.（填序号）①是的外心；②；③；④例14．如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（

）A．若是的重心，则有B．若成立，则是的内心C．若，则D．若是的外心，，，则变式7-1．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的心.变式7-2．（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（

）A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B．若为内一点，且，则是的内心C．若为内一点，且，则D．若的垂心在内，是的三条高，则变式7-3．（多选）O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.请根据“奔驰定理”判断下列命题正确的是（

）

A．O为的外心B．C．D．奔驰定理：O是内的一点，且，则热点八新定义问题例15．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则.例16．如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.(1)若向量的“完美坐标”为，求；(2)已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；(3)若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.变式8-1．（多选）如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为.在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．在方向上的投影向量为变式8-2．（多选）定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（

）A．若平行四边形ABCD的面积为4，则B．在正中，若，则C．若，，则的最小值为D．若，，且为单位向量，则的值可能为变式8-3．（多选）如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，其中，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若，则有序数对叫做向量在夹角为的坐标系xOy中的坐标，记为.已知，则（

）

A． B．C．为等腰三角形 D．1．（2024·25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知为四边形所在平面内的一点，且向量满足等式，为的中点，，与交于点，若则（

）A． B． C． D．2．（2023·24高二上·广东梅州·期末）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（

）A．若为的重心，则 B．若为的外心，则C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则3．（2024·25高一下·湖南娄底·阶段练习）（多选）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（

）A．若，则存在实数使得B．C．D．4．（2023·24高一下·河北保定·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．（2023·24高二上·广东佛山·期末）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的（填“内心”“外心”“重心”或“垂心”．6．（2023·24高二上·四川凉山·期末）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心7．（2024·25高一上·河北保定·期中）设点在以为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点)，且，则的最大值为.8．（2024·25高一下·河北·阶段练习）如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点.

(1)用基底表示；(2)求的值；(3)设，求的取值范围.9．（2023·24高一下·河北石家庄·期末）在中