高二下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练（原卷版）-1

2024-2025学年高二下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练【人教A版（2019）】题型1题型1曲线的切线问题1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数f(x)=ax2-blnx(1)求函数f(x)的解析式;(2)若曲线y=f(x)在点P处的切线与直线x+3y+1=0垂直，求点P的横坐标．2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数fx(1)求曲线y=fx上任意一点x(2)求曲线y=fx在点3,f3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数fx(1)求曲线y=fx过点1,1(2)若曲线y=fx在点1,1处的切线与曲线y=gx在x=tt∈R4．（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数fx=x-2（1）若曲线y=fx与曲线y=gx在x=1处的切线的斜率相同，求（2）若存在曲线y=fx与曲线y=gx在同一点处的切线的斜率相同，求实数题型2题型2利用导数研究函数的单调性5．（24-25高二下·山东威海·阶段练习）已知函数fx=a2x-lnx,gx=bx-(1)求b；(2)讨论函数hx6．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数fx=ax-ln(1)当a=2时，求函数fx在点1,f(2)试判断函数fx的单调性7．（24-25高三上·浙江·期末）已知a>0，函数(1)若a=2，求f(x)的单调区间(2)若f(x)在(2,+∞)上不单调，求a的取值范围.8．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知函数fx(1)当a=0时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a≠0时，求函数fx的单调区间题型3题型3\o"函数单调性、极值与最值的综合应用"\t"/gzsx/zj166006/_blank"函数单调性、极值与最值的综合应用9．（24-25高三下·云南德宏·阶段练习）已知函数f(x)=2a-ax(1)若a=2，b=0，求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若a=3，且f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间以及f(x)的最小值．10．（24-25高三上·广东·期末）已知函数fx(1)当a=2时，求曲线y=fx在点1,f(2)若函数fx有极小值，且fx的极小值小于1-a211．（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知函数fx(1)若a=0，求曲线y=fx在点1,(2)若fx在x=-1处取得极值，求f12．（24-25高二上·山西·期末）已知函数fx=-x3+m(1)求m的值；(2)求函数fx在区间-4,题型4题型4利用导数研究函数的零点（方程的根）

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示13．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数fx(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线的斜率为2e(2)讨论fx14．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线fx(1)求fx在x=1处的切线方程(2)若函数gx=fx15．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数f(1)求函数fx(2)设函数gx=fx+a，若①求a的取值范围；②求证：x116．（24-25高二上·湖南·期末）已知函数fx(1)当a>0时，求y=fx(2)若gx=fx题型5题型5利用导数证明不等式

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示17．（2025·江西·模拟预测）已知函数fx(1)当a=0时，证明：fx(2)若fx在区间0,1上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围18．（24-25高二上·重庆·期末）已知函数f(x)=aln(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1,x19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数f(x)=ln(1)讨论y=f(x)的单调性；(2)当a>0时，求证：f(x)≤120．（24-25高二下·全国·课后作业）已知f(x)=xln(1)求函数f(x)的极值；(2)证明：对一切x∈(0,+∞)，都有题型6题型6利用导数研究恒成立、存在性问题

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示21．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数f(x)=ax+1x2-2lnx，g(x)=(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f(x)≥e-ax恒成立，求a22．（24-25高三上·山西太原·期末）函数fx=ln(1)求函数fx(2)当a>0时，若不等式fx+1223．（2024高二上·全国·专题练习）已知函数fx(1)求函数fx在1(2)若不等式fx>2-ax24．（24-25高三上·贵州·阶段练习）函数fx(1)求fx在点0,f(2)若存在x∈0,π2，使得f题型7题型7利用导数研究双变量问题

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平面向量线性运算的坐标表示25．（24-25高二下·浙江杭州·开学考试）已知函数fx=eaxx，其中(1)求fx(2)设x1<x2且x1x26．（24-25高二下·广东揭阳·阶段练习）设函数fx(1)当a=3时，求函数fx(2)若函数fx有两个极值点x1,x2，且27．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=a+1x+a(1)求函数fx(2)设函数gx=2x2f'x28．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知函数fx(1)讨论函数fx(2)若fx≤0恒成立，求题型8题型8导数中的新定义问题29．（23-24高二下·江苏南京·期中）设函数g(x)在区间D上可导，g'x为函数g(x)的导函数.若g'x是D上的减函数，则称g(x)为D上的“上凸函数”；反之，若g(x)为D上的“上凸函数”，则g(1)判断函数f(x)=2xcosx-1在0,π2上是否为(2)若函数h(x)=-13x3+1230．（23-24高二下·江西萍乡·期中）定义：如果函数y=fx在定义域内存在实数x0，使fx0+k=fx0+fk成立，其中k为大于0的常数，则称点x0(1)若a=1，求曲线y=hx在x=1(2)若hx在1,+∞上存在1级“平移点”，求a31．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）记y=f'x，y=g'x分别为函数y=fx，y=gx的导函数．若存在x0∈R，满足fx0(1)判断函数fx=x与gx=x2-x+1是否存在“(2)若函数fx=ax3-1与gx=(3)已知函数fx=-x2+a，gx=bexx，若存在实数a>0，使函数y=f32．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数fx在定义域内，存在极大值fx1和极小值fx2，且存在一个常数k，使fx1-fx(1)当a=52时，判断(2)是否存在a使fx的极值差比系数为2-a？若存在，求出a(3)若322≤a≤5题型9题型9相邻、不相邻排列问题

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平面向量线性运算的坐标表示33．（24-25高二下·全国·课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．34．（23-24高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过6道工序．(1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序?(2)若其中某3道工序必须相邻．问有多少种加工顺序?(3)若其中某3道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序?35．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排.(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？36．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？(1)甲同学既不站在排头也不站在排尾；(2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻；(3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻；(4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻.题型10题型10分组分配问题

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平面向量线性运算的坐标表示37．（23-24高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有6名同学（简记为A，B，C，D，E，F）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者.(1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、B两人约定去同一个场馆，C、D不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？38．（23-24高二下·吉林·期末）从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者.(1)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？(2)先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？(3)若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？39．（24-25高二上·江西萍乡·期末）安排6名教师A,B,C,D,E,F到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.(1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？(2)每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A,B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？40．（24-25高二下·山东菏泽·阶段练习）6名同学(简记为A、B、C、D、E、F)到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.(1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？(2)每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法种数？(3)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、B两人约定去同一个场馆，C、D不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？题型11题型11排列、组合的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示41．（23-24高二下·湖北武汉·期中）混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品．现需通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束．(1)一共抽取了4次检测结束，有多少种不同的抽法?(2)若第一次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，检测结束时有多少种不同的抽法?（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）42．（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.(1)一共有多少不同的分组方案？(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A、B、C、D、E、F六名女老师进行训练，经训练发现E不能站在5号位，若A、B同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？43．（23-24高二下·江苏泰州·期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？(1)男选手甲必须参加，且第4位出场；(2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；(3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加.44．（23-24高二下·山东济宁·期中）某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过12站的地铁票价如下表：乘坐站数0<x≤33<x≤77<x≤12票价（元）357现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过12站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付车费8元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？(2)若甲、乙两人共付车费10元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？题型12题型12二项式中的系数和问题

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平面向量线性运算的坐标表示45．（24-25高二上·辽宁·期末）设(3x-1)7(1)a2(2)a046．（24-25高二上·全国·课后作业）设2x-34(1)a1(2)a0(3)a147．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知1+2x6(1)求a2(2)求a1(3)求a1-248．（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）已知(1+2x)m+(1-x)(1)求2m-n；(2)若m+1=n，求a0题型13题型13杨辉三角问题

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平面向量线性运算的坐标表示49．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在(1+x+x2)n=Dn0+Dn(1)当n=2时，写出三项式系数D20，D21，D2(2)a+bnn∈N的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈(3)求D2016050．（23-24高二下·贵州黔西·期末）观察杨辉三角（如图所示）的相邻两行，发现三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，即Cnr=Cn-1(1)求数列an(2)请利用上述杨辉三角的性质求数列{ana51．（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式(1)求图2中第10行的各数之和；(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.52．（24-25高二上·全国·单元测试）在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和.(1)试用组合数表示这个一般规律;(2)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论.题型14题型14条件概率与全概率公式的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示53．（24-25高二下·全国·课后作业）设某仓库有一批产品，已知其中50%，30%，20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为110，115，(1)现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率；(2)若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率.54．（24-25高三下·广东清远·开学考试）为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是23，其余4对双打的胜率均是1(1)混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率；(2)求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率；(3)若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率.55．（24-25高三上·广东深圳·期末）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.（i）求选到的袋子为甲袋的概率；（ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.56．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两人进行AI知识问答比赛，共进行多轮抢答赛，每轮比赛中有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得-1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且两人每题答题正确的概率分别为12和13(1)甲在每轮比赛中获胜的概率；(2)甲前二轮累计得分恰为4分的概率.题型15题型15期望与方差的综合应用

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平面向量线性运算的坐标表示57．（2024高二·全国·专题练习）北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1h免费，超过1h的部分每小时收费标准为40元（不足1h的部分按1h计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1h离开的概率分别为14，16；1h以上且不超过2h离开的概率分别为12，2358．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望;(2)在(1)中Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差DX与DY59．（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的概率分布；(2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人.60．（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数．(1)求随机变量X的分布列和期望EX(2)若0<p<13，设随机变量X的方差为DX题型16题型16期望、方差与其他知识综合

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平面向量线性运算的坐标表示61．（23-24高二下·天津·期末）本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14，(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值EX、方差62．（24-25高二下·湖北·阶段练习）杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种.如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和第80百分位数；(2)以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，检验规定如下：①检验次数不超过5次；②若检验出3个生育期超过中位数的稻种则检验结束.设检验结束时，检验的次数为X，求随机变量X的分布列、期望和方差.63．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布及期望.(2)用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人?从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差.64．（23-24高二下·北京房山·期末）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：男女支持方案一2416支持方案二2535假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；(2)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列与数学期望；(3)在（2）中，Y表示抽出两人中男生的个数，试判断方差DX与DY的大小题型17题型17超几何分布与二项分布

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示65．（24-25高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题便可通过面试.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响(1)求甲正确完成面试题数ξ的分布列及其期望；(2)求乙正确完成面试题数η的分布列及其方差；(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.66．（24-25高三上·河南南阳·期末）高三（1）班有55名同学，在某次考试中总成绩在650分（含650分）以上的有4人：甲、乙、丙、丁；在600分—650分之间的有15人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申．其中数学成绩超过120分的有10人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.(1)从该班同学中任选一人，求在数学成绩超过120分的条件下，总成绩超过650分的概率；(2)从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人.①采取不放回抽样方式抽取，记X为成绩在600分—650分之间的同学的个数，求X的分布列和期望；②采取放回抽样方式抽取，记Y为成绩在600分—650分之间的同学的个数，求EY的值.67．（24-25高三上·广东汕头·期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：时长（小时）0,22,2.52.5,33,3.53.5,4人数（人）34334218用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响.(1)从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；(3)从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有Y人可以在3小时内完成各科作业，求EY68．（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：等级一等品二等品三等品四等品数量40301020(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望；(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，方案一：产品不分类，售价均为21元/件.方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：等级一等品二等品三等品四等品售价/（元/件）24221816从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.题型18题型18正态分布的实际应用

平面向量线性运算的坐标表示

平面向量线性运算的坐标表示69．（2025·吉林延边·一模）某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有A，B个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记A种棉花和B种棉花的绒长（单位：mm）分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(37,9)，Y服从正态分布N(43,9).(1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间[37,43]的概率；(2)记该地区棉花的绒长为随机变量Z，若用正态分布Nμ0,σ02来近似描述Z的分布，请你根据（1）中的结果，求参数(3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间[35.3,44.7]的个数为W，求W的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若X~Nμ,σ2，则