高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.2.2 正切函数的图象与性质示范教学实录 新人教B版必修4

高中数学第一章基本初等函数（II）1.3三角函数的图象与性质1.3.2.2正切函数的图象与性质示范教学实录新人教B版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容分析1.本节课的主要教学内容为正切函数的图象与性质，具体包括正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性以及正切函数的图象特征。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课内容与第一章基本初等函数（I）中的正弦函数和余弦函数的图象与性质有紧密联系，学生需要运用已掌握的正弦函数和余弦函数的性质来理解正切函数的性质。教材章节为新人教B版必修4第一章基本初等函数（II）1.3。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象和数学运算等核心素养。通过正切函数的图象与性质的学习，学生能够理解和运用函数的周期性和奇偶性，发展数学抽象能力；通过分析正切函数图象，学生能够培养直观想象和数学建模能力，提高逻辑推理和数学运算的准确性。三、学情分析本节课面对的是高中一年级的学生，他们刚刚接触了函数的概念，对函数的图象与性质有一定的了解，但还处于初步阶段。在知识层面上，学生对正弦函数和余弦函数的图象与性质有一定的认识，但可能对正切函数的理解较为薄弱。在能力方面，学生具备一定的观察能力和初步的数学建模能力，但在逻辑推理和抽象思维能力上还有待提高。

学生的素质方面，大部分学生具备良好的学习态度和求知欲，能够积极参与课堂讨论，但部分学生可能对数学学习存在畏难情绪，需要教师耐心引导。在行为习惯上，学生能够遵守课堂纪律，但个别学生可能在课堂上的注意力集中度不够，需要教师通过多种教学手段激发他们的学习兴趣。

对课程学习的影响主要体现在以下几个方面：首先，学生的已有知识基础对于理解正切函数的性质至关重要，教师需要通过复习和巩固相关内容来帮助学生建立知识之间的联系。其次，学生的逻辑推理能力对于分析正切函数的周期性和奇偶性至关重要，教师应通过设计合适的练习和问题，引导学生逐步提高逻辑思维能力。最后，学生的数学建模能力对于理解函数的实际应用具有重要意义，教师可以通过实际问题引入，让学生在实践中感受数学的应用价值，从而激发学生的学习兴趣和动力。四、教学资源-软硬件资源：电子白板、投影仪、笔记本电脑、计算机辅助教学软件

-课程平台：学校内部网络教学平台

-信息化资源：正切函数图象的动态演示软件、相关数学学习网站资源

-教学手段：多媒体课件、实物教具（如三角板）、教学模型、数学问题卡片五、教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：通过展示生活中的正切现象，如斜坡的倾斜角度，提问学生：“你们知道斜坡的倾斜角度是如何测量的吗？”以此引发学生对正切函数的兴趣。

-回顾旧知：简要回顾正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性以及图象特征，引导学生将已有知识迁移到正切函数的学习中。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：详细讲解正切函数的定义、定义域、值域、周期性和奇偶性等基本性质。

-举例说明：通过绘制正切函数的典型图象，展示函数的周期性、奇偶性和渐近线等特征，帮助学生直观理解。

-互动探究：分组讨论，让学生尝试自己绘制正切函数的图象，并分析其性质。教师巡视指导，解答学生疑问。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：布置练习题，让学生独立完成。练习题包括正切函数的性质判断、图象绘制和实际应用等。

-教师指导：对学生的练习情况进行巡视，针对学生存在的问题进行个别指导，帮助学生巩固所学知识。

4.课堂小结（约5分钟）

-回顾本节课的主要内容，强调正切函数的重要性质和应用。

-鼓励学生在课后继续探究正切函数的其他性质，如反函数、导数等。

5.课后作业（约10分钟）

-布置课后作业，包括以下内容：

a.完成课后练习题，巩固正切函数的性质。

b.查阅资料，了解正切函数在实际生活中的应用。

c.准备下一节课的预习内容，为后续学习打下基础。

教学过程中，教师应注重以下几点：

-鼓励学生积极参与课堂活动，培养他们的合作意识和团队精神。

-关注学生的个体差异，针对不同层次的学生给予适当的指导。

-创设情境，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。

-注重理论与实践相结合，引导学生将所学知识应用于实际问题。

-及时反馈，帮助学生巩固所学知识，提高他们的学习效果。六、学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度：

-学生能够准确理解正切函数的定义、定义域、值域、周期性和奇偶性等基本性质。

-学生能够熟练绘制正切函数的图象，并分析其特征，如周期、渐近线等。

-学生能够运用正切函数的性质解决实际问题，如计算角度、测量斜坡倾斜度等。

2.能力提升：

-学生在逻辑推理能力方面得到提升，能够通过分析正切函数的性质，推导出相关结论。

-学生在数学建模能力方面得到锻炼，能够将实际问题转化为数学模型，并运用所学知识解决。

-学生在直观想象能力方面得到提高，能够通过观察正切函数的图象，理解函数的性质。

3.学习兴趣和动力：

-学生对正切函数的学习产生浓厚兴趣，愿意主动探究相关知识。

-学生在学习过程中，感受到数学的实用性和魅力，增强学习动力。

-学生在解决实际问题的过程中，体会到数学的应用价值，激发进一步学习的兴趣。

4.行为习惯：

-学生在课堂上能够认真听讲，积极参与讨论，提高课堂学习效果。

-学生在课后能够自觉完成作业，巩固所学知识，养成良好的学习习惯。

-学生在遇到困难时，能够主动寻求帮助，培养独立解决问题的能力。

5.综合素质：

-学生在团队合作中，学会与他人沟通、协作，提高团队协作能力。

-学生在探究过程中，培养创新思维和批判性思维，提高综合素质。

-学生在解决实际问题的过程中，锻炼自己的实践能力和动手能力。七、课堂1.课堂评价

-提问评价：在课堂教学中，通过提问的方式检验学生对正切函数性质的理解程度。设计不同难度的问题，如基本概念理解、性质应用等，观察学生的回答是否准确、完整，以及是否能将所学知识灵活运用。

-观察评价：通过观察学生的课堂表现，如参与度、注意力集中程度、小组讨论的互动情况等，评估学生的学习状态和课堂参与度。

-测试评价：在课程结束后，进行小测验或课堂练习，测试学生对正切函数性质的记忆和应用能力。测试题应包括选择题、填空题和简答题，以全面评估学生的知识掌握情况。

2.课堂互动

-小组讨论：在讲解正切函数的性质时，组织学生进行小组讨论，鼓励他们提出问题、分享观点，并通过合作解决问题。

-实践操作：让学生动手绘制正切函数的图象，通过实际操作加深对函数性质的理解。

3.及时反馈

-对于学生在课堂上的表现，教师应给予及时的口头反馈，表扬优点，指出不足。

-对于学生的提问和回答，教师应给予清晰的解答和评价，帮助学生巩固知识。

4.课后评价

-作业评价：对学生的作业进行认真批改，针对错误进行详细分析，指出错误原因，并提供正确的解题思路。

-反馈交流：通过课后辅导或个别交流，了解学生在学习过程中遇到的问题，提供个性化的帮助。

5.评价记录

-教师应记录学生的课堂表现、作业完成情况以及测试成绩，以便跟踪学生的学习进度和效果。

-定期总结：在课程结束后，对学生的学习效果进行总结，分析学生在哪些方面取得了进步，哪些方面还需要加强。

6.评价目的

-通过课堂评价，教师能够及时了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

-通过评价，学生能够认识到自己的学习成果和不足，激发学习动力，促进自我提升。

-评价过程有助于形成良好的学习氛围，促进学生之间的互助与合作。八、重点题型整理1.**题目**：已知正切函数的周期为π，求其定义域。

**解答**：正切函数的周期为π，意味着函数图象每隔π个单位长度重复一次。因此，定义域为所有使得tan(x)存在的x值，即除去所有使得分母为零的x值。由于tan(x)在π的整数倍处不定义，所以定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}。

2.**题目**：求函数y=tan(x+π/4)的值域。

**解答**：正切函数的值域是整个实数集R。由于函数y=tan(x+π/4)是正切函数的平移形式，其值域不变，因此函数y=tan(x+π/4)的值域也是R。

3.**题目**：证明函数y=tan(x)在区间(0,π/2)内是增函数。

**解答**：首先，我们需要证明函数y=tan(x)的导数在区间(0,π/2)内是正的。计算导数得y'=sec²(x)。在区间(0,π/2)内，sec(x)>0，因此y'>0。由于导数大于零，函数y=tan(x)在区间(0,π/2)内是增函数。

4.**题目**：已知函数f(x)=tan(x)+2，求f(x)的渐近线。

**解答**：正切函数tan(x)的渐近线是x=kπ，k∈Z。因此，函数f(x)=tan(x)+2的渐近线也是x=kπ，k∈Z。此外，由于函数向上平移了2个单位，y=2也是一条渐近线。

5.**题目**：求函数y=tan(x)在x=π/4处的切线方程。

**解答**：首先，计算函数在x=π/4处的导数，即切线的斜率。导数y'=sec²(x)，所以在x=π/4处，斜率k=sec²(π/4)=2。切线方程的一般形式是y-y1=k(x-x1)，其中(x1,y1)是切点的坐标。在x=π/4时，y=tan(π/4)=1，因此切线方程是y-1=2(x-π/4)，即y=2x-π/2+1。板书设计①正切函数的定义

-定义：y=tan(x)=sin(x)/cos(x)，x≠(2k+1)π/2，k∈Z

-性质：周期性、奇偶性、连续性

②正切函数的图象

-周期性：周期为π

-奇偶性：奇函数

-渐近线：x=(2k+1)π/2，k∈Z

-特征点：x=kπ，k∈Z，y=0

③正切函数的性质

-值域：R

-导数：y'=sec²(x)

-导数的几何意义：切线斜率

-二阶导数：y''=2sec²(x)tan(x)

④正切函数的应用

-解三角形：求解角度和边长

-渐近线应用：求解函数的不连续点

-切线问题：求解切线方程和斜率教学反思与改进教学反思是教师专业成长的重要环节，它帮助我不断审视自己的教学实践，发现问题，寻找改进的方法。以下是我对本次正切函数图象与性质示范教学的一些反思与改进措施。

1.教学内容的呈现方式

-反思：在讲解正切函数的性质时，我发现部分学生对于周期性和奇偶性的理解不够深入。这可能是因为我在讲解时过于依赖理论，缺乏直观的演示。

-改进：在未来的教学中，我将结合实际案例，如使用几何画板等软件，展示正切函数的周期性和奇偶性，让学生通过直观的图象来理解这些性质。

2.学生的参与度

-反思：在课堂互动环节，我发现部分学生参与度不高，可能是由于问题设计不够吸引人或者难度过大。

-改进：我将设计更多层次的问题，既有基础知识的巩固，也有挑战性的思考题，以激发学生的学习兴趣和参与度。

3.作业布置与反馈

-反思：在作业布置方面，我发现有些学生对于作业的完成情况不够重视，反馈不及时。

-改进：我将采用多元化的作业形式，如小组合作、个人展示等，增加作业的趣味性和互动性。同时，我将加强对作业的批改和反馈，及时指出学生的错误，并提供改进建议。

4.学生个体差异的关注

-反思：在教学过程中，我意识到学生的个体差异较大，有些学生基础较好，有些学生则较为吃力。

-改进：我将根据学生