第五章 利用导数求函数的单调性与最值（特色专题卷）（解析版）-1

第五章利用导数求函数的单调性与最值考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（24-25高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案.【详解】函数的定义域为，，由得，所以的单调减区间为.故选：D.2．（24-25高二下·江西九江·期末）函数有A．最大值为1 B．最小值为1C．最大值为 D．最小值为【答案】A【分析】对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况.【详解】解:，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，有最大值为，故选A.【点睛】本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键.3．（2025高二下·吉林辽源·阶段练习）函数的单调减区间为（

）．A．， B．， C． D．，【答案】A【分析】对函数求导，令导数小于零，解不等式可求出此函数的单调减区间【详解】由题意可得：令，即解得：或故该函数的单调减区间为和，故选：A【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，考查高次不等式的解法，属于基础题.4．（2025高二下·江西宜春·阶段练习）若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】求出函数的导数，根据题意得到有变号零点，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数在其定义域上不单调，即有变号零点，结合二次函数的性质，可得，即，解得或，所以实数的取值范围为.故选：A.5．（2025高二下·全国·阶段练习）已知在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件得出在上恒成立，利用参变量分离法得出，结合基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】由可得，由条件只需，即在上恒成立，由基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为4，故只需.故选：B.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.6．（2025·山东烟台·一模）若函数，则满足的的取值范围为A． B．C． D．【答案】B【分析】判断函数为定义域上的奇函数，且为增函数，再把化为，求出解集即可．【详解】解：函数，定义域为，且满足，∴为上的奇函数；又恒成立，∴为上的单调增函数；又，得，∴，即，解得或，所以的取值范围是．故选B．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题．7．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知函数在其定义域内的一个子区间上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求得的单调性和极值点，由题意得极值点在区间内，结合定义域，即可得答案.【详解】由题意得，令，解得或（舍），当时，，则为减函数，当时，，则为增函数，所以在处取得极小值，所以，解得，又为定义域的一个子区间，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A8．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知函数在上有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为，，所以，令，，对称轴为，当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；所以，依题意使得，且当时，当时，使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，所以，所以，解得，即；故选：A多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（24-25高二下·北京·期中）函数的一个单调递减区间是（

）A． B． C．（0，） D．（，1）【答案】AD【分析】利用导数求得的一个单调递减区间.【详解】的定义域为，，所以在区间上，递减，所以AD选项符合题意.故选：AD10．（2025高二下·广东广州·阶段练习）（多选）已知函数，对于任意，都有恒成立，则实数的值可能为（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】CD【分析】由题设，问题转化为只需满足即可，利用导数求函数在所给区间上的最大值与最小值可得解.【详解】由题意知，对于任意都有，即当时，．∵，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，．∵，，∴，∴．故选：CD【点睛】本题解题的关键是将不等式恒成立转化为，，再利用导数求最值即可．11．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】对求导，说明其单调性，即可判断A、C；构造函数研究其单调性，即可判断B；构造函数，利用导数研究其单调性，即可判断D；【详解】解：因为，所以，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，当，的符号无法确定，故A错误；当时函数取得极小值，且当时，时，故，故C正确；令，，则在上单调递增，故时，即，所以，故B正确；令，，则，，，当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增，，所以恒成立，即在上单调增，因为，所以，故，即，故D正确；故选：BCD【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的构造，属于中档题.填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2025高二·全国·课后作业）函数，的最小值为．【答案】【分析】求导，研究导函数的符号，得到原函数单调性情况从而得到最值情况.【详解】因为，所以．令，则．所以当时，，故在上单调递增．所以当时，，即，所以在上单调递增．故当时，取得最小值.故答案为：13．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.【详解】，由题意在上有解，即在上有解，根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，故，故实数的取值范围是.故答案为：14．（2025高二·江苏·假期作业）已知函数f（x）＝sinx++lnx，f（1﹣a）＜f（2a），则实数a的取值范围．【答案】【解析】先对f（x）求导，判断f（x）的单调性，然后由f（1﹣a）＜f（2a），得到关于a的不等式，进一步得到a的范围．【详解】由f（x）＝sinx++lnx，得，∵当x＞0时，，cosx∈[﹣1，1]，∴当x＞0时，，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴由f（1﹣a）＜f（2a），得，∴，∴a的取值范围为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性解抽象不等式，不要忽略函数的定义域.解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15．（24-25高一下·重庆·期末）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），.【解析】（1）对函数求导，求得、的解集即可得解；（2）结合函数的单调性确定函数的极值，再与端点值比较即可得解.【详解】（1）因为，所以，当或时，，所以在和上单调递增；当时，，所以在上单调递减；所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，所以极大值，极小值，又，，所以在区间上的最大值，最小值．16．（2025高二下·山东济南·阶段练习）已知函数（1）求函数的极值；（2）若函数在上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【分析】（1）对函数求导，得到，用导数的方法判断函数单调性，即可确定极值；（2）由（1）先确定函数在上的单调性，再由题中条件，得出，进而可求出最大值.【详解】（1），或当变化时，，的变化情况如下表：0200极小值极大值则极大值为，极小值为；（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减又，，所以最小值为，即，最大值在或处取，，，所以在上的最大值为．【点睛】本题主要考查导数的方法求函数极值，以及最值，属于常考题型.17．（2025高二下·全国·课前预习）已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线；(2)讨论的单调性；【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；（2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性.【详解】（1）当时，函数，则，切点坐标为，，则曲线在点处的切线斜率为，所求切线方程为，即.（2），函数定义域为R，，①，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，②，解得或，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，③，恒成立，在上单调递增.综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增.18．（24-25高二上·江西景德镇·期中）已知函数，(1)当时（为自然对数的底），求的单调区间；(2)，（），当时，的最大值为，求实数的值【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)2【分析】（1）求出函数导数，解不等式即可求出函数的单调区间；（2）根据（1）求出函数的最值，结合绝对值的性质可得最大值，即可求解.【详解】（1）由，则，令，解得，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，，因为，所以，所以,的最大值为，解得.19．（2025高三·广西南宁·阶段练习）已知函数，（1）若曲线在点处的切线为，求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）当时，增区间为；当时，增区间为，，减区间为；当时，增区间为，，减区间为；（3）．【详解】试题分析：（1）的定义域为，，求出，，可得到的值，可得的值；（2），分，，三种情况讨论的单调性；（3）若至少存在一个，使得，∴，当时，，∴有解，令，讨论函数的性质