2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷02（适用于天津市）-1

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷02本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将答题卡交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分.参考公式：·如果事件互斥，那么·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种4.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（）A.85 B.86 C.86.5 D.875.已知等差数列前项和为，且，则（）A.6 B.9 C.11 D.146.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）A. B. C. D.7.若函数满足对于，，，则的解析式可能为（）A. B.C. D.8.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（）A. B. C. D.9.平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.i是虚数单位，复数______．11.在的展开式中，的系数是________．12.过点作曲线y=2xx∈R的切线，则切点的坐标为13.已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为___________.（写出一个即可）14.在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________.15.已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若.（i）求的面积；（ii）求的值.17.如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知为等差数列的前n项和，，．（1）若为数列的前n项和，求；（2）等差数列满足，数列满足．（i）求数列与数列的通项公式；（ii）求．19.已知数列的首项，且满足，的前项和为.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）在数列中，，，求数列的通项公式及.20.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，，且an>0.求证：当，且时，不等式成立.

天津市2024-2025学年高三下学期数学二模练习试卷02本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场/座位号填涂在答题卡规定位置上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将答题卡交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；2．本卷共9小题，每小题共5分，共45分.参考公式：·如果事件互斥，那么·柱体的体积公式，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可.【详解】，所以，故选：C2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立；当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种【答案】B【解析】【分析】根据题意，首先选取种相同课外读物，再选取另外两种课外读物，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：首先选取种相同课外读物的选法有种，再选取另外两种课外读物需不同，则共有种，所以这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有种．故选：B．4.某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（）A.85 B.86 C.86.5 D.87【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图性质求，根据百分位数定义，结合数据求解即可.【详解】由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为，设这组数据的第85百分位数为，则，解得：，故选：B5.已知等差数列前项和为，且，则（）A.6 B.9 C.11 D.14【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出和，从而得出通项公式，进而即可得到．【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，则有，解得，所以等差数列的通项公式为，故．故选：B．6.如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为，则易得，，从而可得，再代入球的体积公式，即可求解．【详解】作出四棱锥如图：根据题意可得正四棱锥的斜高为，底面正方形的边长为6，正四棱锥高为，设这个正四棱锥的内切球的球心为，半径为，与侧面相切于，则高线与斜高的夹角为，则，则,，，这个正四棱锥的内切球的体积为．故选：B．7.若函数满足对于，，，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可.【详解】因为，所以关于对称，又，则，所以是以为周期的周期函数；对于A：若，则最小正周期，又，所以不关于对称，故A错误；对于B：若，则最小正周期，又，所以不关于对称，故B错误；对于C：若，则最小正周期，则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误；对于D：若，则最小正周期，又，满足关于对称，故D正确.故选：D8.祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，设底面中心为，截面中心为，则，，所以，所以截面为的面积为.设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，底面中心与截面中心之间的距离为，在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，所以，所以为等腰直角三角形，所以，所以四边形边长为，所以四边形面积为，所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，即.故选：D.9.平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论．详解】由，，，可得，故，又，所以，以为直径作圆，则，，，四点共圆，如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），则，又表示在上的投影，由图可知，，，故（此时点在劣弧的中点位置），即的最小值为．故选：D．【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上，②看作是在上投影,结合图形特征可得投影的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共105分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．2．本卷共11题，共105分．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10.i是虚数单位，复数______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算即可.【详解】.故答案为：11.在的展开式中，的系数是________．【答案】【解析】【分析】根据二项式定理求出的通项，求出的值即可得结果.【详解】由二项式定理知的展开式的通项为：，令，解得，所以的系数是，故答案为：.12.过点作曲线y=2xx∈R的切线，则切点的坐标为【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可.【详解】设切点的坐标为，由，y'=2所以过切点的切线方程为：，把代入得：-2t=-t⋅2所以t=1ln2，则切点坐标为：故答案为：13.已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为___________.（写出一个即可）【答案】（或）【解析】【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可.【详解】由题意得，因为圆与直线相切，且与圆相切于点，所以将代入中，得到，解得，所以圆方程为，化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1，所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切，当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为，设圆心到直线距离为，由点到直线的距离公式得，此时，解得(负根舍去)，所以此时圆的方程为，当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为，设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，此时，解得(负根舍去)，所以此时圆的方程为.故答案为：（或）14.在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为_________；点是线段上一点，且，若，则的最大值为_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值．【详解】由，可得，则；由，可得，则，由，可得，即，整理得，故，当且仅当时等号成立，则的最大值为．故答案为：；．15.已知函数，若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．【答案】,,．【解析】【分析】方程可化为，根据一次函数与二次函数的性质，分别讨论函数与函数，在同一坐标系内作出它们的图象并观察交点的个数，建立关于的不等式，进而求出实数的取值范围．【详解】方程，即，结合，得，原方程可化为，①时，原方程变为，只有一个实数根，不符合题意；②，记，的图象是开口向下的抛物线，函数的最大值，因为在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为，结合图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；③，则，在上是减函数，在，上是增函数，的最小值为，的图象是开口向上的抛物线，函数的最小值，当时，即时，函数的最小值，观察图象可知：此时与的图象有两个交点，符合题意；当时，函数的最小值，方程即的根的判别式△，且方程即的根的判别式△，结合与都在处取最小值，可知与的图象不止有两个交点，不符合题意．综上所述，或，即实数的取值范围是,,．故答案为：,,．【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若.（i）求的面积；（ii）求的值.【答案】（1）2（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案；（2）（i）由正弦定理和余弦定理可得，再由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式即可得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式计算即得.【小问1详解】由正弦定理，即，，所以.【小问2详解】（i）由（1）知，即，又，由余弦定理，得，解得，，则，.（ii），.17.如图所示，在三棱柱中，平面，.是棱的中点，为棱中点，是的延长线与的延长线的交点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，进而利用向量法即可证明平面；（2）利用向量法求解直线与平面所成的夹角的正弦值即可；（3）利用向量法求解平面与平面所成的夹角的余弦值即可.【小问1详解】在三棱柱中，平面，，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图：由，得，，在中，且是棱的中点，则也是的中点，即，，设平面的一个法向量，则则，令，得，，因为，所以，又因为平面，所以平面．【小问2详解】由（1）知平面的法向量，又，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】设平面的一个法向量，则，令，得设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值．18.已知为等差数列的前n项和，，．（1）若为数列的前n项和，求；（2）等差数列满足，数列满足．（i）求数列与数列的通项公式；（ii）求．【答案】（1）（2）（i），；（ii）.【解析】【分析】（1）设数列an公差为，求出，然后求出数列的前n项和即可；（2）（i）设数列bn公差为，由（1）得，又，求出，然后求出即可；（ii）利用错位相减法与裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列an公差为，由公式，，有，求得，即，所以．设，前项和为，．当时，．当时，．所以【小问2详解】（ⅰ）设数列bn公差为，由（1）得，又，即，解得，所以．（ⅱ），设，，①，②①－②得，．所以，．设，所以，．．所以，．19.已知