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2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式>1的解集为()A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)2.(5分)a>b的一个充分不必要条件是()A.a=1,b=0 B.< C.a2>b2 D.a3>b33.(5分)在△ABC中,若a=1,b=2,cosA=,则sinB=()A. B. C. D.4.(5分)等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,则a6=()A.16 B.32 C.64 D.1285.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm,灯塔A在观测站C的北偏东20°,灯塔B在观测站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akm B.2akm C.akm D.akm6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F满足=3,=3,则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.7.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1009=1,则S2017()A.1008 B.1009 C.2016 D.20178.(5分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,若O为坐标原点,则•=()A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣49.(5分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.10.(5分)在△ABC中,若BC=2,A=120°,则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣11.(5分)正实数ab满足+=1,则(a+2)(b+4)的最小值为()A.16 B.24 C.32 D.4012.(5分)圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为()A.一个点 B.椭圆C.双曲线 D.以上选项都有可能二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为.14.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的取值范围为.15.(5分)已知F为双曲线C:﹣=1的左焦点,A(1,4),P是C右支上一点,当△APF周长最小时,点F到直线AP的距离为.16.(5分)若数列{an}满足an+1+(﹣1)n•an=2n﹣1,则{an}的前40项和为.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)=(m+1)x2﹣mx+m﹣1.(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若不等式f(x)+1>0的解集为,求m的值.18.(12分)在△ABC中,a,b,c的对角分别为A,B,C的对边,a2﹣c2=b2﹣,a=6,△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值;(2)求边b,c.19.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+an=2Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.20.(12分)已知命题p:函数f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R,命题q:对于x∈[1,3],不等式ax2﹣ax﹣6+a<0恒成立,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.21.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面为边长为1的正方形,侧棱AA1=2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小;(2)在棱上AA1是否存在一点P,使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,若存在,确定P的位置,若不存在,说明理由.22.(12分)在圆x2+y2=3上任取一动点P,过P作x轴的垂线PD,D为垂足,=动点M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程及其离心率;(2)若直线l交曲线C交于A,B两点,且坐标原点到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.

2016-2017学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.(5分)不等式>1的解集为()A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)【解答】解:不等式可化为x(x﹣1)<0,∴0<x<1,∴不等式>1的解集为(0,1),故选B.2.(5分)a>b的一个充分不必要条件是()A.a=1,b=0 B.< C.a2>b2 D.a3>b3【解答】解:A.当a=1,b=0时,满足a>b,反之不成立,则a=1,b=0是a>b的一个充分不必要条件.B.当a<0,b>0时,满足<,但a>b不成立,即充分性不成立,C.当a=﹣2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立,即充分性不成立,D.由a3>b3得a>b,即a3>b3是a>b成立的充要条件,故选:A3.(5分)在△ABC中,若a=1,b=2,cosA=,则sinB=()A. B. C. D.【解答】解:∵0<A<π,且cosA=,∴sinA==,由正弦定理得,,则sinB===,故选D.4.(5分)等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,则a6=()A.16 B.32 C.64 D.128【解答】解:∵等比数列{an}中,a2+a4=20,a3+a5=40,∴,解得a=2,q=2,∴a6=2×25=64.故选:C.5.(5分)两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm,灯塔A在观测站C的北偏东20°,灯塔B在观测站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B之间的距离为()A.akm B.2akm C.akm D.akm【解答】解:根据题意,△ABC中,∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°,∵AC=akm,BC=2akm,∴由余弦定理,得cos120°=,解之得AB=akm,即灯塔A与灯塔B的距离为akm,故选:D.6.(5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F满足=3,=3,则BE与DF所成角的正弦值为()A. B. C. D.【解答】解:如图,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4,∵点E,F满足=3,=3,∴B(4,4,0),E(4,3,4),D(0,0,0),F(0,1,4),=(0,﹣1,4),=(0,1,4),设异面直线BE与DF所成角为θ,则cosθ===.sinθ==,∴BE与DF所成角的正弦值为.故选:A.7.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1009=1,则S2017()A.1008 B.1009 C.2016 D.2017【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a1009=1,∴S2017=(a1+a2017)=2017a1009=2017.故选:D.8.(5分)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,若O为坐标原点,则•=()A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4【解答】解:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),∴直线AB的方程为y=k(x﹣1),由,得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1+x2=1,y1•y2=k(x1﹣1)•k(x2﹣1)=k2[x1•x2﹣(x1+x2)+1]'则•=x1•x2+y1•y2=x1•x2+k(x1﹣1)•k(x2﹣1)=﹣3.故选:C.9.(5分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A. B. C. D.【解答】解:|PF2|=x,∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2x,|F1F2|=x,又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c∴2a=3x,2c=x,∴C的离心率为:e==.故选D.10.(5分)在△ABC中,若BC=2,A=120°,则•的最大值为()A. B.﹣ C. D.﹣【解答】解:∵,∴⇒4=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA⇒4=AC2+AB2+AC•AB≥2A•CAB+AC•AB=3AC•AB⇒AC•AB≤∴•=AC•ABcos120°≤,则•的最大值为,故选:A.11.(5分)正实数ab满足+=1,则(a+2)(b+4)的最小值为()A.16 B.24 C.32 D.40【解答】解:正实数a,b满足+=1,∴1≥2,解得ab≥8,当且仅当b=2a=4时取等号.b+2a=ab.∴(a+2)(b+4)=ab+2(b+2a)+8=3ab+8≥32.故选:C.12.(5分)圆O的半径为定长,A是平面上一定点,P是圆上任意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为()A.一个点 B.椭圆C.双曲线 D.以上选项都有可能【解答】解:∵A为⊙O外一定点,P为⊙O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q,则QA=QP,则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R,即动点Q到两定点O、A的距离差为定值,根据双曲线的定义,可知点Q的轨迹是:以O,A为焦点,OP为实轴长的双曲线故选:C.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为∀x∈[﹣,],tanx>m.【解答】解:命题“∃x∈[﹣,],tanx≤m”的否定为命题“∀x∈[﹣,],tanx>m”,故答案为:∀x∈[﹣,],tanx>m14.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的取值范围为[0,].【解答】解:x,y满足,不是的可行域如图:z=x+2y化为:y=﹣+,当y=﹣+经过可行域的O时目标函数取得最小值,经过A时,目标函数取得最大值,由,可得A(,),则z=x+2y的最小值为:0;最大值为:=.则z=x+2y的取值范围为:[0,].故答案为:[0,].15.(5分)已知F为双曲线C:﹣=1的左焦点,A(1,4),P是C右支上一点,当△APF周长最小时,点F到直线AP的距离为.【解答】解:设双曲线的右焦点为F′(4,0),由题意,A,P,F′共线时,△APF周长最小,直线AP的方程为y=(x﹣4),即4x+3y﹣16=0,∴点F到直线AP的距离为=,故答案为:16.(5分)若数列{an}满足an+1+(﹣1)n•an=2n﹣1,则{an}的前40项和为820.【解答】解:由于数列{an}满足an+1+(﹣1)nan=2n﹣1,故有a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97.从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.{an}的前40项和为10×2+(10×8+×16)=820,故答案为:820三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(10分)设f(x)=(m+1)x2﹣mx+m﹣1.(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集;(2)若不等式f(x)+1>0的解集为,求m的值.【解答】(本题12分)解:(1)当m=1时,不等式f(x)>0为:2x2﹣x>0⇒x(2x﹣1)>0⇒x>,x<0;因此所求解集为;…(6分)(2)不等式f(x)+1>0即(m+1)x2﹣mx+m>0∵不等式f(x)+1>0的解集为,所以是方程(m+1)x2﹣mx+m=0的两根因此⇒.…(12分)18.(12分)在△ABC中,a,b,c的对角分别为A,B,C的对边,a2﹣c2=b2﹣,a=6,△ABC的面积为24.(1)求角A的正弦值;(2)求边b,c.【解答】解:(1)由在△ABC中,a2﹣c2=b2﹣①,整理得cosA==,则sinA==;(2)∵S=bcsinA=24,sinA=,∴bc=80,将a=6,bc=80代入①得:b2+c2=164,与bc=80联立,解得:b=10,c=8或b=8,c=10.19.(12分)Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,an2+an=2Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解答】解:(1)由题得an2+an=2Sn,an+12+an+1=2Sn+1,两式子相减得:结合an>0得an+1﹣an=1…..(4分)令n=1得a12+a1=2S1,即a1=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n…..(6分)(2)因为bn==(n≥2)所以Tn=+…+①Tn=+…++②…..(8分)①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣,所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣.…..(12分)20.(12分)已知命题p:函数f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R,命题q:对于x∈[1,3],不等式ax2﹣ax﹣6+a<0恒成立,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解答】解:当P真时,f(x)=lg(x2﹣2x+a)的定义域为R,有△=4﹣4a<0,解得a>1.…..(2分)当q真时,即使g(x)=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1,3]上恒成立,则有a<在x∈[1,3]上恒成立,而当x∈[1,3]时,=≥,故a<.…..(5分)又因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q一真一假,…..(6分)当p真q假时,a>1.…..(8分)当p假q真时,a<…..(10分)所以实数a的取值范围是(﹣∞,)∪(1,+∞)…..(12分)21.(12分)如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面为边长为1的正方形,侧棱AA1=2(1)求直线DC与平面ADB1所成角的大小;(2)在棱上AA1是否存在一点P,使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°,若存在,确定P的位置,若不存在,说明理由.【解答】解:(1)∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面为边长为1的正方形,侧棱AA1=2,∴以点D为坐标原点O,DA,DC,DA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,…..(2分)D(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,1,),C(0,1,0),,=(0,1,),=(0,1,0),设平面ADB1的法向量为,则,取z=1,得=(0,﹣,1),…..(4分)设直线DC与平面所ADB1成角为θ,则sinθ=|cos<>|==,∵θ∈[0,],∴θ=,∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为.…..(6分)(2)假设存在点P(a,b,c)

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