2017-2018学年大连五校高二上期末数学试卷(文科)(含答案)-(新课标人教版)

2017-2018学年辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A． B． C．|a|＞|b| D．a2＞b23．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣105．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x≤2，x2﹣2x≤0”D．“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B． C．2 D．179．（5分）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣1010．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．11．（5分）设{an}为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＜0时，f（x）满足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．14．（5分）在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=．15．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{an}满足．（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜0．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{cn}的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公共的切线，求正数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线，则mn＞0，即“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件，故选：C2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A． B． C．|a|＞|b| D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正确．对于B：a＜b＜0时，可得＜，因此B不正确．故选：B．3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3x+4logx3 B．y=ex+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π） D．y=x+【解答】解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确B．∵ex＞0，∴=4，当且仅当x=ln2时取等号，正确．C．令sinx=t∈（0，1），则y=f（t）=t+，y′=1﹣＜0，因此函数f（t）在（0，1）上单调递减，∴f（t）＞f（1）=5，不正确．D．x＜0时，y＜0，不正确．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣10【解答】解：如图作出阴影部分即为实数x，y满足的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得点A（3，6），当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值为﹣9．故选：A．5．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x≤2，x2﹣2x≤0”D．“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题【解答】解：对于A，“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”，故A正确；对于B，若p∧q是真命题，则P、q均为真命题，则p∨q是真命题；反之，p∨q是真命题，p与q不一定都是真命题，则p∧q不一定是真命题，∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件，故B正确；对于C，“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x＞2，x2﹣2x≤0”，故C错误；对于D，命题“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的否命题为：“若b≠0，则f（x）=ax2+bx+c不是偶函数”，是真命题，则“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题，故D正确．故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：a＞0，b＞0，是3a与32b的等比中项，∴3a•32b==3．∴a+2b=1．则=（a+2b）=4++≥4+2=8，当且仅当a=2b=时取等号．故选：D．7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．【解答】解：∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△PF1F2为直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由椭圆的定义知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴离心率为﹣1．故选：A8．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A． B． C．2 D．17【解答】解：根据题意，等比数列{an}中a2﹣8a5=0，即a2=8a5，则有a1q=8a1q4，即有q3=，解可得q=，则===1+q4=1+（）4=；故选：A．9．（5分）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，故选A10．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．【解答】解：由题意可得F1（﹣c，0），M（a，b），直线MF1的斜率为tan30°=，即有=，即a+c=b，平方可得（a+c）2=3b2=3（c2﹣a2）=3（c+a）（c﹣a），化简可得a+c=3（c﹣a），即为c=2a，可得e==2．故选：C．11．（5分）设{an}为等差数列，若，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．21【解答】解：∵Sn有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选C12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＜0时，f（x）满足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1【解答】解：构造函数F（x）=（x＜0），所以F′（x）==[2f（x）+xf'（x）﹣xf（x）]，因为2f（x）+xf′（x）＜xf（x），x＜0，所以F′（x）＞0，所以函数F（x）在x＜0时是增函数，又F（0）=0所以当x＜0，F（x）＜F（0）=0成立，因为对任意x＜0，＞0，所以f（x）＜0，由于f（x）是奇函数，所以x＞0时f（x）＞0，即f（x）=0只有一个根就是0．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．【解答】解：函数，f′（x）=﹣2x2+3x﹣1，令f′（x）≥0，即﹣2x2+3x﹣1≥0，解得：x≤1，故函数在递增，故答案为：．14．（5分）在数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，则an=．【解答】解：∵数列{an}中，a2=，a3=，且数列{nan+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4，3a3+1=7+1=8，∴数列{nan+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，解得an=．故答案为：．15．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是[﹣e2，+∞）．【解答】解∵函数f（x）在区间[2，4]上是单调递增函数，∴f′（x）≥0在区间[2，4]上恒成立，即（x﹣1）ex+a≥0在区间[2，4]上恒成立，记g（x）=（x﹣1）ex+a，则g（x）min≥0，g′（x）=xex，∵x∈[2，4]，∴g′（x）＞0，故g（x）在[2，4]递增，故g（x）min=g（2）=e2+a≥0，解得：a≥﹣e2，故实数a的范围是：a≥﹣e2．故答案为：[﹣e2，+∞）．16．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{an}满足．（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2（1﹣an），若数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜1．【解答】证明：（1）∵an=2an﹣1﹣1∴an﹣1=2（an﹣1﹣1），又∵a1=﹣1，∴a1﹣1=﹣2∴数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列∴，∴．（2）由（1）知：∴，∴，所以．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）≤2在R上恒成立，即ax2﹣（a+1）x﹣1≤0在R上恒成立，所以；（2）f（x）＜0⇔ax2﹣（a+1）x+1＜0⇔（ax﹣1）（x﹣1）＜0（*）当0＜a＜1时，（*）式等价于；当a=1时，（*）式等价于（x﹣1）2＜0⇒x∈∅；当a＞1时，（*）式等价于；当a＜0时，（*）式等价于或x＞1综上，当0＜a＜1时，f（x）＜0的解集为；当a=1时，f（x）＜0的解集为∅；当a＞1时，f（x）＜0的解集为；当a＜0时，f（x）＜0的解集为．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），当直线l的斜率是时，l的方程为，即x=2y﹣4，由得2y2﹣（8+p）y+8=0，∴，又∵，∴y2=4y1，由这三个表达式及p＞0得y1=1，y2=4，p=2，则抛物线的方程为x2=4y…（5分）（2）设l：y=k（x+4），BC的中点坐标为（x0，y0）由得x2﹣4kx﹣16k=0∴，线段的中垂线方程为，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2，由△=16k2+64k＞0得k＞0或k＜﹣4，∴b∈（2，+∞）…（7分）20．（12分）已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，a2=4b1，Sn=2an﹣2，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{cn}的通项公式为，令pn=c2n﹣1+c2n．Tn为{pn}的前n项的和，求Tn．【解答】解：（1）当n＞1时，⇒an=2an﹣1当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{an}是公比为2，首项为2的等比数列，则：．（2）证明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列．（3）由（2）知：∴pn=c2n﹣1+c2n=，∴，两式相减得：，∴∴．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴