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文档简介
2017-2018学年辽宁省大连五校高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.(5分)若a<b<0,则下列不等式中错误的是()A. B. C.|a|>|b| D.a2>b23.(5分)下列函数中,最小值为4的是()A.y=log3x+4logx3 B.y=ex+4e﹣xC.y=sinx+(0<x<π) D.y=x+4.(5分)已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣2y的最小值是()A.﹣9 B.15 C.0 D.﹣105.(5分)下列命题中,说法错误的是()A.“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”B.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C.“∀x>2,x2﹣2x>0”的否定是“∃x≤2,x2﹣2x≤0”D.“若b=0,则f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题6.(5分)设a>0,b>0,若是3a与32b的等比中项,则的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.87.(5分)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个椭圆的离心率是()A.﹣1 B.2﹣ C. D.8.(5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2﹣8a5=0,则=()A. B. C.2 D.179.(5分)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,,则S11=()A.﹣11 B.11 C.10 D.﹣1010.(5分)设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,点M(a,b).若∠MF1F2=30°,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.11.(5分)设{an}为等差数列,若,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时的n值为()A.18 B.19 C.20 D.2112.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x<0时,f(x)满足,2f(x)+xf'(x)<xf(x),则f(x)在R上的零点个数为()A.5 B.3 C.1或3 D.1二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)函数的递增区间为.14.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=.15.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间[2,4]上是单调增函数,则实数a的取值范围是.16.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)若数列{an}满足.(1)求证:数列{an﹣1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2(1﹣an),若数列的前n项和为Tn,求证:Tn<1.18.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣(a+1)x+1(a≠0).(1)若f(x)≤2在R上恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<0.19.(12分)已知过点A(﹣4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B、C两点,当直线的斜率是时,.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.20.(12分)已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,a2=4b1,Sn=2an﹣2,.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明为等差数列.(3)若数列{cn}的通项公式为,令pn=c2n﹣1+c2n.Tn为{pn}的前n项的和,求Tn.21.(12分)已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.22.(12分)已知函数f(x)=blnx,g(x)=ax2﹣x(a∈R)(1)若曲线f(x)与g(x)在公共点A(1,0)处有相同的切线,求实数a,b的值;(2)若a>0,b=1,且曲线f(x)与g(x)总存在公共的切线,求正数a的最小值.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解:若方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线,则mn>0,即“mn>0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件,故选:C2.(5分)若a<b<0,则下列不等式中错误的是()A. B. C.|a|>|b| D.a2>b2【解答】解:∵a<b<0,∴>,|a|>|b|,a2>ab>b2.因此A,C,D正确.对于B:a<b<0时,可得<,因此B不正确.故选:B.3.(5分)下列函数中,最小值为4的是()A.y=log3x+4logx3 B.y=ex+4e﹣xC.y=sinx+(0<x<π) D.y=x+【解答】解:A.0<x<1时,y<0,不正确B.∵ex>0,∴=4,当且仅当x=ln2时取等号,正确.C.令sinx=t∈(0,1),则y=f(t)=t+,y′=1﹣<0,因此函数f(t)在(0,1)上单调递减,∴f(t)>f(1)=5,不正确.D.x<0时,y<0,不正确.故选:B.4.(5分)已知实数x,y满足,则目标函数z=x﹣2y的最小值是()A.﹣9 B.15 C.0 D.﹣10【解答】解:如图作出阴影部分即为实数x,y满足的可行域,由z=x﹣2y,得y=x﹣z,平移直线y=x﹣z,由图象可知当直线y=x﹣z经过点A,直线y=x﹣z的截距最大,此时z最小,由得点A(3,6),当x=3,y=6时,z=x﹣2y取最小值为﹣9.故选:A.5.(5分)下列命题中,说法错误的是()A.“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”B.“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C.“∀x>2,x2﹣2x>0”的否定是“∃x≤2,x2﹣2x≤0”D.“若b=0,则f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题【解答】解:对于A,“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”,故A正确;对于B,若p∧q是真命题,则P、q均为真命题,则p∨q是真命题;反之,p∨q是真命题,p与q不一定都是真命题,则p∧q不一定是真命题,∴“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件,故B正确;对于C,“∀x>2,x2﹣2x>0”的否定是“∃x>2,x2﹣2x≤0”,故C错误;对于D,命题“若b=0,则f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的否命题为:“若b≠0,则f(x)=ax2+bx+c不是偶函数”,是真命题,则“若b=0,则f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题,故D正确.故选:C.6.(5分)设a>0,b>0,若是3a与32b的等比中项,则的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.8【解答】解:a>0,b>0,是3a与32b的等比中项,∴3a•32b==3.∴a+2b=1.则=(a+2b)=4++≥4+2=8,当且仅当a=2b=时取等号.故选:D.7.(5分)已知F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点,且∠PF1F2=2∠PF2F1,则这个椭圆的离心率是()A.﹣1 B.2﹣ C. D.【解答】解:∵P是以F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点,∴△PF1F2为直角三角形,且∠P=90°,∵∠PF1F2=2∠PF2F1,∴∠PF1F2=60°,F1F2=2c,∴PF1=c,PF2=c,由椭圆的定义知,PF1+PF2=c+c=2a,即==﹣1∴离心率为﹣1.故选:A8.(5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2﹣8a5=0,则=()A. B. C.2 D.17【解答】解:根据题意,等比数列{an}中a2﹣8a5=0,即a2=8a5,则有a1q=8a1q4,即有q3=,解可得q=,则===1+q4=1+()4=;故选:A.9.(5分)等差数列{an}中,Sn是其前n项和,,则S11=()A.﹣11 B.11 C.10 D.﹣10【解答】解:,得,由,得,d=2,,∴S11=﹣11,故选A10.(5分)设F1,F2分别是双曲线的左右焦点,点M(a,b).若∠MF1F2=30°,则双曲线C的离心率为()A. B. C.2 D.【解答】解:由题意可得F1(﹣c,0),M(a,b),直线MF1的斜率为tan30°=,即有=,即a+c=b,平方可得(a+c)2=3b2=3(c2﹣a2)=3(c+a)(c﹣a),化简可得a+c=3(c﹣a),即为c=2a,可得e==2.故选:C.11.(5分)设{an}为等差数列,若,且它的前n项和Sn有最小值,那么当Sn取得最小正值时的n值为()A.18 B.19 C.20 D.21【解答】解:∵Sn有最小值,∴d>0,故可得a10<a11,又:S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)>0,S19=19a10<0∴S20为最小正值故选C12.(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x<0时,f(x)满足,2f(x)+xf'(x)<xf(x),则f(x)在R上的零点个数为()A.5 B.3 C.1或3 D.1【解答】解:构造函数F(x)=(x<0),所以F′(x)==[2f(x)+xf'(x)﹣xf(x)],因为2f(x)+xf′(x)<xf(x),x<0,所以F′(x)>0,所以函数F(x)在x<0时是增函数,又F(0)=0所以当x<0,F(x)<F(0)=0成立,因为对任意x<0,>0,所以f(x)<0,由于f(x)是奇函数,所以x>0时f(x)>0,即f(x)=0只有一个根就是0.故选:D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.(5分)函数的递增区间为.【解答】解:函数,f′(x)=﹣2x2+3x﹣1,令f′(x)≥0,即﹣2x2+3x﹣1≥0,解得:x≤1,故函数在递增,故答案为:.14.(5分)在数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,则an=.【解答】解:∵数列{an}中,a2=,a3=,且数列{nan+1}是等比数列,2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,∴数列{nan+1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴,解得an=.故答案为:.15.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间[2,4]上是单调增函数,则实数a的取值范围是[﹣e2,+∞).【解答】解∵函数f(x)在区间[2,4]上是单调递增函数,∴f′(x)≥0在区间[2,4]上恒成立,即(x﹣1)ex+a≥0在区间[2,4]上恒成立,记g(x)=(x﹣1)ex+a,则g(x)min≥0,g′(x)=xex,∵x∈[2,4],∴g′(x)>0,故g(x)在[2,4]递增,故g(x)min=g(2)=e2+a≥0,解得:a≥﹣e2,故实数a的范围是:a≥﹣e2.故答案为:[﹣e2,+∞).16.(5分)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为.【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,连接AF、BF,由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab,配方得,|AB|2=(a+b)2﹣ab,又∵ab≤()2,∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣(a+b)2=(a+b)2得到|AB|≥(a+b).∴≤=,即的最大值为.故答案为:.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(10分)若数列{an}满足.(1)求证:数列{an﹣1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2(1﹣an),若数列的前n项和为Tn,求证:Tn<1.【解答】证明:(1)∵an=2an﹣1﹣1∴an﹣1=2(an﹣1﹣1),又∵a1=﹣1,∴a1﹣1=﹣2∴数列{an﹣1}是首项为﹣2,公比为2的等比数列∴,∴.(2)由(1)知:∴,∴,所以.18.(12分)已知函数f(x)=ax2﹣(a+1)x+1(a≠0).(1)若f(x)≤2在R上恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<0.【解答】解:(1)∵f(x)≤2在R上恒成立,即ax2﹣(a+1)x﹣1≤0在R上恒成立,所以;(2)f(x)<0⇔ax2﹣(a+1)x+1<0⇔(ax﹣1)(x﹣1)<0(*)当0<a<1时,(*)式等价于;当a=1时,(*)式等价于(x﹣1)2<0⇒x∈∅;当a>1时,(*)式等价于;当a<0时,(*)式等价于或x>1综上,当0<a<1时,f(x)<0的解集为;当a=1时,f(x)<0的解集为∅;当a>1时,f(x)<0的解集为;当a<0时,f(x)<0的解集为.19.(12分)已知过点A(﹣4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B、C两点,当直线的斜率是时,.(1)求抛物线G的方程;(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.【解答】解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为,即x=2y﹣4,由得2y2﹣(8+p)y+8=0,∴,又∵,∴y2=4y1,由这三个表达式及p>0得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为x2=4y…(5分)(2)设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0)由得x2﹣4kx﹣16k=0∴,线段的中垂线方程为,∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2,由△=16k2+64k>0得k>0或k<﹣4,∴b∈(2,+∞)…(7分)20.(12分)已知数列{an},{bn},Sn为数列{an}的前n项和,a2=4b1,Sn=2an﹣2,.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明为等差数列.(3)若数列{cn}的通项公式为,令pn=c2n﹣1+c2n.Tn为{pn}的前n项的和,求Tn.【解答】解:(1)当n>1时,⇒an=2an﹣1当n=1时,S1=2a1﹣2⇒a1=2,综上,{an}是公比为2,首项为2的等比数列,则:.(2)证明:∵a2=4b1,∴b1=1,∵,∴综上,是公差为1,首项为1的等差数列.(3)由(2)知:∴pn=c2n﹣1+c2n=,∴,两式相减得:,∴∴.21.(12分)已知椭圆的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点.(Ⅰ)求该椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M,N,问:x轴
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