2024-2025学年上海市交通大学附属中学高二下学期开学摸底考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市交通大学附属中学高二下学期开学摸底考试数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.关于直线a,b,l以及平面M,N，下列命题中正确的是(

)A.若a//M,b//M，则a//bB.若a//M,b⊥a，则b⊥M

C.若a⊂M,b⊂M，且l⊥a,l⊥b，则l⊥MD.若a⊥M,a//N，则M⊥N2.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件3.正整数数列{an}满足an+1=an2A.8 B.7 C.6 D.54.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段MF与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若|AB|=1,|MA|=3，则p=A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.在等差数列an中，已知a1=1,S3=S6.不等式|x−2|>1的解集为

．7.已知sinα=32，则cos2α=8.曲线fx=ex+lnx+19.已知2+i是关于x的方程ax2+x+b=0a,b∈R的一个根，则a+b=10.已知函数fx=m−2x1+211.若limx→0f1+ℎ−f1−ℎ=312.若直线l1:x+16y−4=0与直线l2:x+m2y+m=013.已知拋物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点Pm,6在抛物线上，若PF=6，则m=14.定义：已知一个点集Ω及一点P，任取点集Ω中一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到点集Ω的距离，记作d(P,Ω).现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集Ω，则点的集合{P|d(P,Ω)≤1}所表示几何体的体积为

．15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为R的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当t=0时，某盛水筒位于点P03,−33，经过t秒后运动到点Px,y，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点P的纵坐标为

16.平面向量e1,e2为两个相互垂直的单位向量．a，b满足a+5e1=a三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图，已知圆柱的高为2，直三棱柱ABC−A′B′C′的顶点A′、B′、C′在圆柱上底面的圆周上，顶点A、B、C在圆柱下底面的圆周上，已知∠ACB=90∘,BC=AC=1，O(1)求二面角A′−BC−A的余弦值；(2)求A到平面A′BC的距离．18.(本小题12分)已知等差数列an的首项为1，a2n=2an+1，数列bn的前n(1)求数列an，b(2)求数列an⋅bn的前n19.(本小题12分)如图，有一块扇形草地MON，已知半径为R，∠MON=π2，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN⌢上，且线段(1)若点A为弧MN⌢的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S(2)当弧AM⌢长为多少时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？20.(本小题12分)已知椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆Ω的左，右焦点.过点F2且斜率不为(1)求椭圆Ω的标准方程；(2)若直线l的斜率为1，求线段AB的长；(3)若点P在椭圆Ω上，且PA=PB，试问是否存在直线l，使得▵ABP的重心在y轴上？若存在，请求出直线l21.(本小题12分)已知函数y=fx的定义域为D，非空集合M⊆R.若对任意m∈M，任意x∈D且x+m∈D，都有fx≤fx+m恒成立，就称函数(1)当M=1时，判断下列函数是否具备性质M①f②g(2)当M=1,+∞，函数fx=11+x2(3)当M=−2,t,t∈Z，若D=Z且具有性质M的函数均为常值函数，求所有符合条件的t22.(本小题12分)

已知函数y=fx的定义域为R，且对任意的x∈R，有fx+1−fx−1≥x且fx+3−fx−3参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.−1

6.(−∞,1)∪(3,+∞)；

7.−18.2

9.−32

10.1

11.−3

12.4

13.3

14.4+13π15.316.0,617.【详解】(1)如图，连接A′C,A′B，因AA′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，则AA′⊥BC，又BC⊥AC,AC∩AA′=A,AC,AA′⊂平面AA故BC⊥平面AA又A′C⊂平面AA′C则∠A′CA即二面角A′−BC−A的平面角．在Rt▵A′AC中，AA′=2,AC=1,A′C=cos∠A′CA=由图知二面角A′−BC−A是锐二面角，故二面角A′−BC−A的余弦值为5(2)设点A到平面A′BC的距离为d，则由VA′−ABC=V解得：d=2即A到平面A′BC的距离为2

18.【详解】(1)设等差数列an的公差为d，由a2n=2化简可得a1−d+1=0，由a1=1，则由bn+1=2Sn+1所以bn+1bn=3(n≥2)，当可得bnbn−1⋅b所以bn(2)由题意可得Tn则3T两式相减可得−2T则−2T所以Tn

19.【详解】(1)如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=π6∴AB=2RsinOE=DE=∴EH=OH−OE=RS=AB⋅EH=2R=(2)设∠AOB=θ0<θ<AB=2Rsinθ∴EH=OH−OE=RcosS=AB⋅EH=2R=R∵θ∈0,π∴θ+π4=π2此时∠AOM=12π2−答：当弧AM⌢长为l=π8R时，矩形ABCD

20.【详解】(1)因为▵ABF1的周长为8，所以4a=8，得因为椭圆Ω的离心率为12，所以c=1，b=故椭圆Ω的标准方程为x2(2)由题意，F1−1,0，F21,0，所以直线设Ax1,y1，B所以x1+x所以AB=(3)设直线l的方程为x=ty+1．由x24+y2设Ax1,y1，Bx2则y1+y2=若△ABP的重心在y轴上，则x1+x2+由kHP⋅1解得y3=9t因为点P在椭圆Ω上，所以−8解得t=0或t=±33.故存在直线l，使得其方程为3x−y−3=0

21.【详解】(1)①因fx=x3在R上单调递增，所以x3≤x+13对任意x∈R恒成立，即②假设函数y=gx具有性质M，则gx≤gx+1对任意x∈R恒成立，即sinπx≤sinπx+π对任意x∈R恒成立，即sinπx≤0对任意(2)fx=11+x①若a≤0，因x、x+m∈−∞,a，则f②若a>0，对于任意m∈1,+∞，有x+m∈−∞,a若a−m≥0，则fa−m若a−m<0，欲使函数y=fx具有性质M，只需f得2a≤m，则2a≤mmin=1综上，a的取值范围为−∞,1(3)因为D=Z且具有性质M的函数均为常值函数，所以当m=−2时，fx=fx−2恒成立，则y=f设f2k=pk∈Z因y=fx为常函数，故p=q，f当x