2024-2025学年上海市交通大学附属中学高二下学期开学摸底考试数学试卷(含答案)_第1页
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文档简介

第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年上海市交通大学附属中学高二下学期开学摸底考试数学试卷一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于直线a,b,l以及平面M,N,下列命题中正确的是(

)A.若a//M,b//M,则a//bB.若a//M,b⊥a,则b⊥M

C.若a⊂M,b⊂M,且l⊥a,l⊥b,则l⊥MD.若a⊥M,a//N,则M⊥N2.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件3.正整数数列{an}满足an+1=an2A.8 B.7 C.6 D.54.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C的准线l上,线段MF与y轴交于点A,与抛物线C交于点B,若|AB|=1,|MA|=3,则p=A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。5.在等差数列an中,已知a1=1,S3=S6.不等式|x−2|>1的解集为

.7.已知sinα=32,则cos2α=8.曲线fx=ex+lnx+19.已知2+i是关于x的方程ax2+x+b=0a,b∈R的一个根,则a+b=10.已知函数fx=m−2x1+211.若limx→0f1+ℎ−f1−ℎ=312.若直线l1:x+16y−4=0与直线l2:x+m2y+m=013.已知拋物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点Pm,6在抛物线上,若PF=6,则m=14.定义:已知一个点集Ω及一点P,任取点集Ω中一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到点集Ω的距离,记作d(P,Ω).现已知空间中一点P,平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集Ω,则点的集合{P|d(P,Ω)≤1}所表示几何体的体积为

.15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动,将筒车抽象为一个半径为R的圆,如图2建立平面直角坐标系,已知筒车按逆时针方向旋转,每旋转一周用时120秒,当t=0时,某盛水筒位于点P03,−33,经过t秒后运动到点Px,y,则当筒车旋转40秒时,此盛水筒对应的点P的纵坐标为

16.平面向量e1,e2为两个相互垂直的单位向量.a,b满足a+5e1=a三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图,已知圆柱的高为2,直三棱柱ABC−A′B′C′的顶点A′、B′、C′在圆柱上底面的圆周上,顶点A、B、C在圆柱下底面的圆周上,已知∠ACB=90∘,BC=AC=1,O(1)求二面角A′−BC−A的余弦值;(2)求A到平面A′BC的距离.18.(本小题12分)已知等差数列an的首项为1,a2n=2an+1,数列bn的前n(1)求数列an,b(2)求数列an⋅bn的前n19.(本小题12分)如图,有一块扇形草地MON,已知半径为R,∠MON=π2,现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用,其中点A、B在弧MN⌢上,且线段(1)若点A为弧MN⌢的一个三等分点,求矩形ABCD的面积S(2)当弧AM⌢长为多少时,矩形ABCD的面积S最大?最大值为多少?20.(本小题12分)已知椭圆Ω:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,F1,F2分别是椭圆Ω的左,右焦点.过点F2且斜率不为(1)求椭圆Ω的标准方程;(2)若直线l的斜率为1,求线段AB的长;(3)若点P在椭圆Ω上,且PA=PB,试问是否存在直线l,使得▵ABP的重心在y轴上?若存在,请求出直线l21.(本小题12分)已知函数y=fx的定义域为D,非空集合M⊆R.若对任意m∈M,任意x∈D且x+m∈D,都有fx≤fx+m恒成立,就称函数(1)当M=1时,判断下列函数是否具备性质M①f②g(2)当M=1,+∞,函数fx=11+x2(3)当M=−2,t,t∈Z,若D=Z且具有性质M的函数均为常值函数,求所有符合条件的t22.(本小题12分)

已知函数y=fx的定义域为R,且对任意的x∈R,有fx+1−fx−1≥x且fx+3−fx−3参考答案1.D

2.A

3.C

4.C

5.−1

6.(−∞,1)∪(3,+∞);

7.−18.2

9.−32

10.1

11.−3

12.4

13.3

14.4+13π15.316.0,617.【详解】(1)如图,连接A′C,A′B,因AA′⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,则AA′⊥BC,又BC⊥AC,AC∩AA′=A,AC,AA′⊂平面AA故BC⊥平面AA又A′C⊂平面AA′C则∠A′CA即二面角A′−BC−A的平面角.在Rt▵A′AC中,AA′=2,AC=1,A′C=cos∠A′CA=由图知二面角A′−BC−A是锐二面角,故二面角A′−BC−A的余弦值为5(2)设点A到平面A′BC的距离为d,则由VA′−ABC=V解得:d=2即A到平面A′BC的距离为2

18.【详解】(1)设等差数列an的公差为d,由a2n=2化简可得a1−d+1=0,由a1=1,则由bn+1=2Sn+1所以bn+1bn=3(n≥2),当可得bnbn−1⋅b所以bn(2)由题意可得Tn则3T两式相减可得−2T则−2T所以Tn

19.【详解】(1)如图,作OH⊥AB于点H,交线段CD于点E,连接OA、OB,∴∠AOB=π6∴AB=2RsinOE=DE=∴EH=OH−OE=RS=AB⋅EH=2R=(2)设∠AOB=θ0<θ<AB=2Rsinθ∴EH=OH−OE=RcosS=AB⋅EH=2R=R∵θ∈0,π∴θ+π4=π2此时∠AOM=12π2−答:当弧AM⌢长为l=π8R时,矩形ABCD

20.【详解】(1)因为▵ABF1的周长为8,所以4a=8,得因为椭圆Ω的离心率为12,所以c=1,b=故椭圆Ω的标准方程为x2(2)由题意,F1−1,0,F21,0,所以直线设Ax1,y1,B所以x1+x所以AB=(3)设直线l的方程为x=ty+1.由x24+y2设Ax1,y1,Bx2则y1+y2=若△ABP的重心在y轴上,则x1+x2+由kHP⋅1解得y3=9t因为点P在椭圆Ω上,所以−8解得t=0或t=±33.故存在直线l,使得其方程为3x−y−3=0

21.【详解】(1)①因fx=x3在R上单调递增,所以x3≤x+13对任意x∈R恒成立,即②假设函数y=gx具有性质M,则gx≤gx+1对任意x∈R恒成立,即sinπx≤sinπx+π对任意x∈R恒成立,即sinπx≤0对任意(2)fx=11+x①若a≤0,因x、x+m∈−∞,a,则f②若a>0,对于任意m∈1,+∞,有x+m∈−∞,a若a−m≥0,则fa−m若a−m<0,欲使函数y=fx具有性质M,只需f得2a≤m,则2a≤mmin=1综上,a的取值范围为−∞,1(3)因为D=Z且具有性质M的函数均为常值函数,所以当m=−2时,fx=fx−2恒成立,则y=f设f2k=pk∈Z因y=fx为常函数,故p=q,f当x

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