2024-2025学年高中数学 第2章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.5 平面直角坐标系中的距离公式（教师用书）教学实录 北师大版必修2

2024-2025学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程1.5平面直角坐标系中的距离公式（教师用书）教学实录北师大版必修2科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章解析几何初步1直线与直线的方程1.5平面直角坐标系中的距离公式（教师用书）教学实录北师大版必修2设计意图本节课通过讲解平面直角坐标系中的距离公式，使学生掌握两点之间的距离计算方法，培养学生的空间想象力和抽象思维能力。通过实际问题引入，激发学生学习兴趣，结合实际案例，引导学生理解和运用距离公式，提高学生解决实际问题的能力。同时，通过小组合作、探究式学习等方式，培养学生的团队协作能力和创新意识。核心素养目标培养学生运用数学语言表达几何关系的抽象思维能力；提升学生通过观察、实验、分析等活动发现和解决问题的能力；增强学生运用数学模型解决实际问题的应用意识；激发学生探索数学规律、追求数学美的情感态度。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已具备平面几何的基础知识，包括点的坐标表示、直线的性质和方程等。此外，学生应熟悉实数的运算和二次根式的性质。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中生对几何问题普遍持有浓厚兴趣，尤其是解析几何这种将几何与代数结合的方法。学生们的学习能力参差不齐，部分学生可能在抽象思维和空间想象力方面表现出色，而另一些学生可能在这些方面存在一定的困难。学习风格方面，学生多倾向于通过实际操作和具体案例来理解抽象概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习平面直角坐标系中的距离公式时，学生可能面临以下困难：一是对坐标系的理解不够深入，导致难以将点与坐标对应；二是距离公式公式的推导过程复杂，学生可能难以理解推导步骤；三是公式的应用能力不足，学生在解决实际问题时可能不知道如何运用公式。此外，学生可能在面对复杂问题时，缺乏将问题抽象为数学模型的能力。教学资源-软硬件资源：黑板、粉笔、直尺、圆规、计算器

-课程平台：北师大版高中数学必修2电子教材

-信息化资源：几何图形软件（如GeoGebra、Geometer'sSketchpad）

-教学手段：多媒体投影仪、PPT课件、实物教具（如坐标系模型）教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对平面直角坐标系中的距离公式的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中遇到过需要计算两点之间距离的情况吗？”

展示一些生活中常见的距离计算场景，如地图导航、建筑设计等。

简短介绍平面直角坐标系中的距离公式的基本概念和它在实际中的应用，为接下来的学习打下基础。

2.平面直角坐标系中的距离公式基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解平面直角坐标系中的距离公式的定义、组成部分和原理。

过程：

讲解平面直角坐标系中的距离公式的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍距离公式的组成部分，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.平面直角坐标系中的距离公式案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解距离公式的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的距离计算案例进行分析，如计算两点间的最短距离、计算点到直线的距离等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解距离公式的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用距离公式解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与距离公式相关的主题进行深入讨论，如“如何利用距离公式解决实际问题”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对距离公式的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调平面直角坐标系中的距离公式的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括距离公式的定义、组成部分、案例分析等。

强调距离公式在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用距离公式。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，提高学生的实际应用能力。

过程：

布置课后作业，要求学生完成以下任务：

（1）独立完成课本中的相关练习题，巩固距离公式的应用。

（2）选择一个生活中的实际问题，尝试运用距离公式进行解决，并撰写简要报告。

（3）预习下一节课的内容，为后续学习做好准备。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《解析几何的发展史》：介绍解析几何的发展历程，从古代的几何学发展到现代的解析几何，让学生了解数学学科的演变。

-《坐标系与空间几何》：深入探讨坐标系在空间几何中的应用，包括空间直角坐标系、极坐标系等，以及它们在解决实际问题中的作用。

-《解析几何在物理中的应用》：介绍解析几何在物理学中的应用，如运动学、力学等领域，让学生了解数学与物理学科的交叉。

-《解析几何在工程中的应用》：探讨解析几何在工程学中的应用，如建筑、机械设计等，让学生认识到数学在工程实践中的重要性。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试自己推导距离公式的推导过程，加深对公式原理的理解。

-通过网络资源或图书馆，查找与解析几何相关的拓展资料，如历史文献、学术论文等，拓宽知识面。

-利用几何软件（如GeoGebra、Geometer'sSketchpad）进行实际操作，探索坐标系中的图形变换、曲线性质等。

-结合实际生活场景，设计并解决一些与距离公式相关的问题，如城市规划、建筑设计等，提高实际应用能力。

-参与数学竞赛或社团活动，与其他同学交流学习心得，共同探讨解析几何的魅力。

-针对距离公式的应用，进行小组合作研究，探讨如何将距离公式应用于实际问题中，提出创新性的解决方案。

-撰写关于解析几何的学习报告，总结学习心得，分享自己的见解和发现。

-通过网络平台或社交媒体，分享解析几何的学习心得和拓展知识，与其他同学和老师交流互动。课堂1.课堂评价：

-提问环节：通过设计开放式问题，鼓励学生积极参与课堂讨论，观察学生在回答问题时展现出的思维深度和解决问题的能力。

-观察法：在课堂教学中，教师通过观察学生的课堂表现，如注意力集中程度、参与度、合作交流情况等，评估学生的学习状态。

-实时测试：在讲解新知识点后，通过快速问答或小测验的形式，检验学生对知识点的掌握情况，及时调整教学进度。

-课堂活动：组织小组讨论、小组竞赛等活动，评估学生在实际操作中运用知识解决问题的能力，以及团队协作能力。

-反馈与辅导：对于学生在课堂上出现的错误，教师应给予及时的反馈和辅导，帮助学生纠正错误，巩固知识点。

-情感态度评价：关注学生在课堂上的情感态度，如是否积极参与、是否有学习兴趣等，以促进学生的全面发展。

2.作业评价：

-批改标准：对学生的作业进行严格批改，确保评分标准的一致性和公正性。

-详细点评：在批改作业时，不仅关注学生的答案是否正确，还要对解题过程进行分析，指出学生在解题中可能出现的误区。

-及时反馈：在作业批改后，及时将评价结果反馈给学生，帮助学生了解自己的学习状况，指导学生如何改进。

-鼓励进步：对于作业中表现出色的学生，给予表扬和鼓励，激发学生的学习动力；对于作业中存在的问题，提出具体的改进建议。

-个性化辅导：针对作业中暴露出的问题，提供个性化的辅导方案，帮助学生克服学习障碍。

-作业展示：定期在课堂上展示学生的优秀作业，营造良好的学习氛围，激发学生的学习热情。

-定期回顾：通过定期回顾学生的作业情况，评估教学效果，调整教学策略，确保教学目标的实现。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-平面直角坐标系的概念

-点的坐标表示方法

-直线的方程及其几何意义

-距离公式的推导过程

-距离公式在解决问题中的应用

②本文重点词句：

-“平面直角坐标系”：“一个平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，其中一条是x轴，另一条是y轴。”

-“坐标表示方法”：“一个点在平面直角坐标系中的位置可以用一对有序实数（x，y）来表示，称为该点的坐标。”

-“直线的方程”：“直线的方程可以表示为y=kx+b的形式，其中k是直线的斜率，b是y轴截距。”

-“距离公式”：“两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的距离可以用公式d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]来计算。”

-“应用”：“距离公式可以应用于解决实际问题，如计算两点间的最短距离、点到直线的距离等。”

③本文逻辑关系：

-知识点之间的关系：首先介绍平面直角坐标系的概念和点的坐标表示方法，这是学习直线方程和距离公式的基础。

-直线方程的推导：从直线的几何意义出发，推导出直线的方程，并解释斜率和截距的含义。

-距离公式的推导：通过分析两点之间的距离，推导出距离公式，并解释公式中的平方和开方操作。

-距离公式的应用：最后，通过具体的案例，展示距离公式在解决实际问题中的应用。典型例题讲解1.例题一：

已知平面直角坐标系中两点A（2，3）和B（-1，5），求点A关于直线x+y=0的对称点C的坐标。

解答：

-设点C的坐标为（x，y）。

-因为点C是点A关于直线x+y=0的对称点，所以AC和BC的中点在直线x+y=0上。

-中点坐标为((2+x)/2,(3+y)/2)。

-将中点坐标代入直线方程x+y=0，得到((2+x)/2)+((3+y)/2)=0。

-解得x=-5，y=1。

-因此，点C的坐标为（-5，1）。

2.例题二：

已知直线y=2x+1与圆(x-3)²+(y-2)²=9相交于两点A和B，求线段AB的中点坐标。

解答：

-将直线方程代入圆的方程，得到(2x+1-2)²+(x-3)²=9。

-化简得5x²-12x+4=0。

-解得x1=1，x2=4/5。

-对应的y值为y1=3，y2=2.4。

-线段AB的中点坐标为((1+4/5)/2,(3+2.4)/2)。

-解得中点坐标为(9/10,2.6)。

3.例题三：

已知点P（a，b）到直线x-2y+1=0的距离为3，求点P的轨迹方程。

解答：

-点P到直线x-2y+1=0的距离公式为d=|a-2b+1|/√(1²+(-2)²)。

-将d=3代入公式，得到|a-2b+1|/√5=3。

-解得a-2b+1=3√5或a-2b+1=-3√5。

-因此，点P的轨迹方程为a-2b=3√5或a-2b=-3√5。

4.例题四：

已知点A（1，2）和B（4，6），求经过这两点的圆的方程。

解答：

-圆心C在AB的垂直平分线上，先求AB的中点D。

-中点D坐标为((1+4)/2,(2+6)/2)=(5/2,4)。

-AB的斜率为(6-2)/(4-1)=2，所以垂直平分线的斜率为-1/2。

-垂直平分线方程为y-4=-1/2(x-5/2)。

-将点A和B代入方程，求出圆心C的坐标。

-圆心C坐标为(1,1/2)。

-圆的半径r=√[(1-1)²+(2-1/2)²]=√(1/4)=1/2。

-圆的方程为(x-1)²+(y-1/2)²=(1/2)²。

5.