汉阳区2024-2025学年上学期期末八年级数学试卷（含解析）

汉阳区2024-2025学年八上期末数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．汉字形美如画，下面四个汉字中成轴对称的是（）A． B． C． D．2．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面标有序号①，②，③的三个三角形中，与△ABC全等的图形序号是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．只有②4．若代数式x−1x在实数范围内有意义，则实数xA．x≠1 B．x≠0 C．x＞0 D．x＞15．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．116．计算（﹣2xy2）3=→第①步(−2A．幂的乘方法则 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则7．下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b） B．（a+2b）（2b﹣a） C．（﹣a+b）（b﹣a） D．（﹣a﹣b）（a+b）8．已知分式x+n2x−m(m，n为常数）满足表格中的信息，则x的取值﹣44a6分式的值无意义013bA．﹣m﹣3n B．6 C．4 D．29．在平面直角坐标系中，将△ABC按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第1次关于x轴对称，第2次关于y轴对称，第3次关于x轴对称，⋯⋯，依次类推．若点A(3，2)，则将△A．(3，2) B．(3，−10．如图，边长为2a（a＞0）的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，AE与BF交于点G，记四边形CFGE的面积为S，则S的值是（用含a的代数式表示）（）A．a2 B．15a2 C．4二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置。11．分解因式：ax+ay＝．12．化简：1x−1−113．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，将数0.000000007用科学记数法表示为．14．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a8﹣2a6﹣10的值是．15．关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论：（1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6；（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4；（4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数．其中正确结论的序号有．16．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是BC，AC上的动点，且AE＝CD，当AD+BE最小时，∠AEB的大小是度．三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．（8分）（1）计算：（2x）3（﹣5xy2）；（2）计算：(y−118．（8分）（1）因式分解：3ax2+6axy+3ay2；（2）先化简，再求值：x2−1x19．（8分）已知关于x的分式方程2x+bx−3（1）若这个分式方程的解是x＝2，求b的值；（2）若分式方程的解是非负数，直接写出b的取值范围．20．（8分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB边上一点，AE＝AC．（1）求证：DE＝DC；（2）直接写出△BDE的周长是．21．（8分）如图是由小正方形组成的6×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（1）如图1，先画△ABC的中线AD，再画点E，连BE，使BE⊥AC，垂足为F；（2）如图2，先画△GHM，使△GHM与△ABC全等，且点A的对应点M在BC边上．点P为AC上一动点，再画点Q，使AQ＝AP．22．（10分）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元．（1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？（2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件，①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求m的值；②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值．23．（10分）问题呈现：借助几何直观探究数量关系，是数形结合的常见方法，图1，图2是用边长为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，图3是用边长为a，b的四个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出a，b的关系式为：图1：；图2：；图3：．解决问题：（1）直接写出结果：①若mn＝4，m2+n2＝5，则（m+n）2＝；②若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝；（2）若3a+2b＝8，ab＝2，则求a，b．拓展延伸：如图4，以Rt△ABC的直角边AB，BC为边作正方形ABFG和正方形BCDE．若△ABC的面积为6，CF＝1，求正方形ABFG的边长．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，原点为O，一条直线交x轴负半轴和y轴正半轴于点A，B，点C在线段AB上，点D在线段OB上，线段CD的垂直平分线交OA于点E，∠BAO＝∠CDE＝α（0°＜α＜90°）．（1）若α＝30°，则解决以下问题：①当点D与原点O重合，如图2，求证：AC＝BC；②如图3，若DC∥OA，连BE，求证：AE＝BE；（2）如图4，过点D作x轴的平行线，交AB于点F，求证：BF＝2AC．

参考答案与试题解析题号12345678910答案BDBBACBDBC一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。1．【解答】解：由题知，汉字“最”，“汉”，“阳”无法沿着某条直线翻折，使其完全重合，故ACD选项不符合题意．汉字“美”沿着中心竖直方向的直线翻折，直线两边的部分可以完全重合，故B选项符合题意．故选：B．2．【解答】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定性．故选：D．3．【解答】解：根据SAS可证第②个三角形和△ABC全等，根据AAS可证第③个三角形和△ABC全等，故选：B．4．【解答】解：由分式有意义的条件可知：x≠0，故选：B．5．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝3×360°解得n＝8．故选：A．6．【解答】解：（﹣2xy2）3＝（﹣2）3x3（y2）3，其运算依据是积的乘方法则，故选：C．7．【解答】解：A．（2a+b）（a﹣2b），只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；B．（a+2b）（2b﹣a）＝（2b+a）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，能利用平方差公式，故选项B符合题意；C．（﹣a+b）（b﹣a）＝（b﹣a）（b﹣a）＝b2﹣2ab+a2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；D．（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；故选：B．8．【解答】解：观察表格可知：当x＝﹣4时，分式x+n2x−m∴2×（﹣4）﹣m＝0，﹣8﹣m＝0，解得：m＝﹣8，当x＝4时，x+n2x−m∴4+n＝0，∴n＝﹣4，∴分式为x−42x+8∴当x＝a时，a−42a+82a+8＝3a﹣12，3a﹣2a＝8+12，a＝20，检验：当a＝20时，2a+8≠0，∴a＝20是原分式方程的解，当x＝6时，b=6−4∴ab=20×1故选：D．9．【解答】解：由题知，因为点A的坐标为（3，所以第1次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（3，−第2次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（−3第3次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（−3第4次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（3，第5次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（3，−…，由此可见，从第1次轴对称变换开始，每经过四次轴对称变换，点A的对应点坐标循环出现，又因为2025÷4＝506余1，所以第2025次轴对称变换后所得点A的对应点坐标是（3，−故选：B．10．【解答】解：连接EF，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，边长为2a，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠ABC＝∠C＝90°，∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴BE＝CE＝CF＝a，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=A在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABC=∠C=90°∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF=5a，∠BAE＝∠∵∠CBF+∠ABG＝∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠AGB＝90°，即AE⊥BF，∵S△ABE=12AE•BG=12∴BG=BE⋅AB∴GF＝BF﹣BG=5在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG=B∴S△CEF=12CE•CF=a22，S△GEF=∴S＝S△CEF+S△GEF=a故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置。11．【解答】解：ax+ay＝a（x+y）．故答案为：a（x+y）．12．【解答】解：1=x+1=x+1−x+1=2=2故答案为：2x13．【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．故答案为：7×10﹣9．14．【解答】解：由题知，a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10＝1+2+3+4，…，所以an当n＝6时，a6当n＝8时，a8所以a8﹣2a6﹣10＝36﹣2×21﹣10＝﹣16．故答案为：﹣16．15．【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1，∴n＝﹣m﹣1，∴x2+mx+n＝x2+mx﹣m﹣1＝x2﹣1+mx﹣m＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）＝（x﹣1）（x+1+m），∴二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1），∴结论（1）正确；（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2，或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴m＝6或m＝﹣6，∴结论（2）不正确；（3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，∴m＝q﹣2，n＝﹣2q，∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4，即2m+n＝﹣4，∴结论（3）正确；∵x2+mx+n＝x2+mx+m2＝（x+m2）2+n∵（x+m2）∴当n−m即m2﹣4n＜0时，无论x取何实数，x2+mx+n总是正数，∴结论（4）正确，故答案为：（1）（3）（4）．16．【解答】解：过点C作CF⊥BC，且CF＝AB，连接DF，AF，设AF交BC于点H，如图所示：∴∠FCD＝∠BAC＝90°，在△CFD和△ABE中，CF=AB∠FCD=∠BAC=90°∴△CFD≌△ABE（SAS），∴DF＝BE，∠CDF＝∠AEB，∴AD+BE＝AD+DF，根据“两点之间线段最短”得：AD+DF≤AF，∴当点A，D，F在同一条直线上时，AD+DF为最小，即AD+BE为最小，当点A，D，F在同一条直线上时，∠CDF＝∠CHF＝∠AEB，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC，∵CF⊥BC，∴∠ACF＝135°，∴CF＝AB＝AC，∴∠CAF＝∠CFA=12（180°﹣∠∴∠CHF＝∠ACB+∠CAF＝45°+22.5°＝67.5°，∴当AD+BE为最小时，∠AEB＝∠CHF67.5°．故答案为：67.5．三、解答题（共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。17．【解答】解：（1）原式＝8x3•（﹣5xy2）＝﹣40x4y2；（2）原式＝y2﹣y+118．【解答】解：（1）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2；（2）x2=(x+1)(x−1)=1−x当x=1原式=1−19．【解答】解：（1）将x＝2代入原方程得，2×2+b2−3解得：b＝﹣3．（2）解方程得，x=3−b∵分式方程的解是非负数，∴3−b3≥0，且解得：b≤3且b≠﹣6．20．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，在△EAD和△CAD中，AE=AC∠EAD=∠CAD∴△EAD≌△CAD（SAS），∴DE＝DC；（2）解：∵AB＝6，AC＝4，BC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝2，BD+DC＝BC＝5，∵DE＝DC，∴BD+DC＝BD+DE＝5，∴△BDE的周长为：BE+BD+DE＝2﹣5＝7．故答案为：7．21．【解答】解：（1）取BC中点D，连接AD，取C上方格点E，连接BE交AC于F，如图1：则线段AD，点E即为所求；理由：由作图知AD是△ABC的中线，△BCE≌△ATC（SAS），∴∠EBC＝∠CAT，∵∠CAT+∠ACT＝90°，∴∠EBC+∠ACT＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BE⊥AC；（2）如图2，取格点M，G，H得△GHM；AC与GM交于P，取格点N，连接AN，AN的中点是点Q，此时AQ＝AP；则△GHM，点Q即为所求；理由：由画图可知：AC＝AN，点P是AC的中点，Q是AN的中点，∴AP=12AC，AQ=∴AQ＝AP．22．【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是（x+8）元，根据题意得：2000x解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意，∴x+8＝40+8＝48（元）．答：甲种商品每件的进价是40元，乙种商品每件的进价是48元；（2）①根据题意得：（40+3m）×200040+（48﹣2m解得：m＝2．答：m的值为2；②设购入n件甲种商品，总费用为w元，根据题意得：w＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m，∵w的值与n无关，∴5m﹣8＝0，解得：m=8∴w＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（5×85−8）n故答案为：4480．23．【解答】解：问题呈现：图1中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，两个阴影正方形的面积分别为a2，b2，两个空白长方形的面积为2ab，所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2中大正方形的面积为a2，两个阴影正方形的面积分别为（a﹣b）2，b2，两个空白长方形的面积为2b（a﹣b）所以有a2＝（a﹣b）2+b2+2b（a﹣b），即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，图3中大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，4个空白长方形的面积为4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（1）①∵mn＝4，m2+n2＝5，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝5+8＝13，故答案为：13；②∵x+y＝6，x2+y2＝28，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，即36＝28+2xy，∴xy＝4，故答案为：4；（2）∵3a+2b＝8，即b=8−3a2，又∴a（8﹣3a）＝4，解得a＝2或a=2当a＝2时，b＝1，当a=23时，即a＝2，b＝1或a=23，拓展延伸：设正方形ABFG的边长为a，正方形BCDE的边长为b，由题意得S△ABC=12ab＝6，即ab＝12，a﹣b＝解得a＝4或a＝﹣3（舍去），即正方形ABFG的边长为4．24．【解答】证明：（1）①当点D与原点O重合时，∠BAO＝∠COE＝α＝30°，∴AC＝OC，∵∠AOB＝90°，∴∠CBO＝90°﹣30°＝60°，∠BOC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBO＝∠BOC