2024-2025学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质教学实录 文 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质教学实录文新人教A版选修2-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容教材：新人教A版选修2-1

章节：第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质

内容：本节课主要学习椭圆的定义、标准方程及其几何性质，包括椭圆的焦距、离心率、顶点坐标等，并掌握如何根据椭圆的方程求解相关问题。二、核心素养目标培养学生数学抽象能力，通过椭圆的定义和方程的推导，使学生理解从几何图形到代数表达式的转化过程。增强逻辑推理能力，通过椭圆几何性质的探究，引导学生运用演绎推理和归纳推理。提升数学建模能力，让学生学会将实际问题抽象为数学模型，并解决实际问题。同时，加强直观想象和数学运算能力的培养，使学生能够通过图形直观地理解数学概念，并在运算中提高准确性和效率。三、教学难点与重点1.教学重点

①掌握椭圆的定义及其标准方程，能够根据椭圆的几何特征写出其方程。

②理解并应用椭圆的几何性质，如焦距、离心率、顶点坐标等，能够解决与椭圆相关的几何问题。

③熟练运用椭圆方程求解焦点坐标、准线方程、长轴和短轴长度等。

2.教学难点

①椭圆定义的理解与几何直观的结合，学生需从直观图形到抽象方程的过渡，理解椭圆的对称性和几何性质。

②椭圆标准方程的推导过程，涉及到坐标变换和代数运算，对学生逻辑思维和运算能力要求较高。

③椭圆几何性质的应用，包括如何根据性质解决实际问题，需要学生具备较强的分析问题和解决问题的能力。

④椭圆与双曲线、抛物线的比较，帮助学生建立不同圆锥曲线之间的联系，理解它们的异同点。四、教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（电脑、投影仪）、白板、教鞭。

-课程平台：学校内部教学平台、数学教学软件。

-信息化资源：椭圆几何性质相关教学视频、在线互动平台、椭圆方程的图形动态演示软件。

-教学手段：实物模型（椭圆模型）、几何画板软件、PPT课件。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。设计预习问题：围绕“椭圆的简单几何性质”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何根据椭圆的方程推导出其焦距和离心率？”、“椭圆的对称性如何影响其几何性质？”等，引导学生自主思考。

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解椭圆的基本定义和标准方程。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习环节，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解椭圆的几何性质，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和独立思考能力，为后续课堂讨论打下基础。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示椭圆的实际应用案例，如天文观测、工程设计等，引出“椭圆的简单几何性质”课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解椭圆的标准方程、焦距、离心率等几何性质，结合具体例子帮助学生理解。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，共同探讨椭圆的性质及其应用。

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“为什么椭圆的离心率小于1？”、“椭圆的对称轴有何特点？”等，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，分享自己的理解和发现。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解椭圆的几何性质。

小组讨论法：通过小组合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解椭圆的几何性质，掌握其应用。

通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与椭圆几何性质相关的练习题，如证明椭圆的性质、求解椭圆上的点等，巩固学习效果。

提供拓展资源：提供与椭圆相关的拓展资源，如数学竞赛题、相关数学家的故事等，供学生进一步学习。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的椭圆的几何性质和技能。

通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。六、教学资源拓展1.拓展资源

-椭圆的历史与发展：介绍椭圆在数学史上的地位，如古希腊数学家对椭圆的研究，以及椭圆在现代数学和工程学中的应用。

-椭圆在物理学中的应用：讨论椭圆轨道在物理学中的重要性，例如行星运动轨道的近似椭圆形状，以及光学中椭圆透镜的特性。

-椭圆在工程学中的应用：探讨椭圆在建筑设计、桥梁工程、机械设计等领域中的应用实例。

-椭圆与双曲线、抛物线的比较：深入分析椭圆、双曲线和抛物线之间的几何关系和区别，包括它们的定义、方程、几何性质等。

-椭圆的数学证明：提供一些经典的椭圆几何性质的证明方法，如焦半径公式、椭圆的面积计算等。

2.拓展建议

-阅读推荐书籍：《圆锥曲线导论》、《椭圆与双曲线的性质与应用》等，以获得更深入的理解。

-观看在线课程：通过MOOC平台上的相关课程，如《高等数学》、《数学分析》等，学习椭圆的理论知识。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，以提升解题技巧和数学思维能力。

-实践项目研究：组织学生进行椭圆相关的小课题研究，如设计椭圆轨道的物理实验、分析椭圆在建筑设计中的应用等。

-制作几何模型：利用木条、硬纸板等材料，制作椭圆的几何模型，帮助学生直观理解椭圆的几何性质。

-进行数学探究：引导学生自主探究椭圆的性质，如尝试证明椭圆的面积与半长轴和半短轴的关系，或者研究椭圆在不同旋转角度下的对称性。

-撰写数学论文：鼓励学生撰写关于椭圆的数学论文，总结所学知识，并尝试提出自己的观点或发现。

-组织数学讲座：邀请数学专家或大学教授进行讲座，分享椭圆及其在数学和科学中的应用经验。

-参观科技展览：组织学生参观科技展览，特别是与数学和工程学相关的展览，以激发学生对椭圆应用的兴趣和好奇心。七、课后作业1.已知椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（其中\(a>b>0\)），且\(a=3\)，\(b=2\)，求椭圆的焦距\(2c\)。

解：根据椭圆的性质，焦距\(c\)可以通过公式\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)计算得到。代入已知数值，得\(c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\)。因此，焦距\(2c=2\sqrt{5}\)。

2.给定椭圆的方程\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，求椭圆的离心率\(e\)。

解：离心率\(e\)的计算公式为\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(a\)是半长轴，\(c\)是焦距。首先，从方程中可知\(a^2=9\)，所以\(a=3\)。焦距\(c\)通过\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)计算，其中\(b^2=4\)，所以\(b=2\)。因此，\(c=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}\)。所以，离心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。

3.椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的一个顶点在原点，求通过原点的直线与椭圆的交点坐标。

解：椭圆的顶点坐标可以通过分析方程直接得到，对于方程\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，顶点为\((\pm4,0)\)和\((0,\pm3)\)。因为直线通过原点，可以设直线方程为\(y=kx\)。将直线方程代入椭圆方程，得到\(\frac{x^2}{16}+\frac{k^2x^2}{9}=1\)，整理后得到\((9+16k^2)x^2=144\)，解得\(x^2=\frac{144}{9+16k^2}\)。由于交点坐标为\((x,kx)\)，因此交点坐标为\((\pm\frac{12}{\sqrt{9+16k^2}},\pm\frac{12k}{\sqrt{9+16k^2}})\)。

4.已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求椭圆的准线方程。

解：椭圆的准线方程可以通过公式\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)计算，其中\(a\)是半长轴，\(c\)是焦距。对于给定的椭圆，\(a^2=25\)，\(b^2=16\)，所以\(a=5\)，\(b=4\)。焦距\(c\)通过\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)计算，得\(c=\sqrt{25-16}=3\)。因此，准线方程为\(x=\pm\frac{25}{3}\)。

5.设椭圆\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)上的点\(P\)到其左焦点的距离为\(5\)，求点\(P\)的坐标。

解：椭圆的左焦点坐标为\((-c,0)\)，其中\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。对于给定的椭圆，\(a^2=36\)，\(b^2=25\)，所以\(a=6\)，\(b=5\)，\(c=\sqrt{36-25}=1\)。设点\(P\)的坐标为\((x,y)\)，根据椭圆的性质，点\(P\)到左焦点的距离等于\(a-ex\)，其中\(e\)是离心率。由题意，\(5=6-ex\)，解得\(ex=1\)。由于\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{6}\)，代入\(ex=1\)得\(x=6\)。将\(x=6\)代入椭圆方程，得\(\frac{36}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，解得\(y^2=25\)，所以\(y=\pm5\)。因此，点\(P\)的坐标为\((6,5)\)或\((6,-5)\)。八、内容逻辑关系①本文重点知识点：

①椭圆的定义：平面内到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。

②椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（其中\(a>b>0\)）。

③焦距：\(c=\sqrt{a^2-