陕西省周至县高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法教学实录 北师大版选修2-2

陕西省周至县高中数学第一章推理与证明1.3反证法教学实录北师大版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析1.本节课的主要教学内容：北师大版选修2-2第一章“推理与证明”中的1.3反证法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课将引导学生运用已学的逻辑推理和证明方法，通过反证法解决实际问题。这部分内容与学生在课本中学到的演绎推理、归纳推理等内容紧密相连，有助于学生深化对推理与证明的理解和应用。核心素养目标本节课旨在培养学生的逻辑推理能力、数学抽象能力和数学证明能力。通过反证法的学习，学生能够学会运用逻辑推理解决数学问题，提高抽象思维和严谨论证的能力，从而在解决数学问题的过程中，培养数学思维品质，增强数学应用的意识和能力。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在本节课之前已经学习了逻辑推理的基本概念和演绎推理的方法，包括命题、推理规则、三段论等。此外，学生对数学归纳法、证明的基本方法也有一定的了解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学普遍持有一定的兴趣，尤其是对逻辑推理和证明这类具有挑战性的内容。学生的数学能力差异较大，部分学生具备较强的逻辑思维能力和证明技巧，而部分学生可能在这一领域存在一定的困难。学习风格上，有的学生偏好通过实例学习，有的则更喜欢抽象思考和理论分析。

3.学生可能遇到的困难和挑战：学生在学习反证法时可能遇到以下困难：理解反证法的逻辑结构和证明过程，区分反证法与其他证明方法，以及在解题时正确运用反证法。此外，学生的数学基础不牢固、逻辑思维能力较弱或缺乏足够的练习，都可能导致在学习反证法时遇到挑战。教师需要关注这些潜在的困难，通过适当的教学策略帮助学生克服。教学资源-软硬件资源：黑板、粉笔、多媒体教学设备（投影仪、电脑）、电子白板。

-课程平台：学校内部网络教学平台，用于发布教学资料和在线讨论。

-信息化资源：反证法相关教学视频、动画演示、在线互动练习系统。

-教学手段：案例分析法、小组讨论、课堂提问、板书展示。教学流程1.导入新课

详细内容：首先，通过提问的方式引导学生回顾已学的演绎推理和归纳推理的基本概念。例如，提问：“同学们，我们之前学习了哪些推理方法？它们在解决数学问题中有哪些作用？”然后，展示一些实际生活中的逻辑推理问题，让学生思考这些问题是如何通过推理来解决的。最后，引入本节课的主题——反证法，通过一个简单的反证法例子，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲授

（1）讲解反证法的定义和原理：通过板书和多媒体演示，详细解释反证法的概念，包括其适用条件、证明步骤和逻辑结构。举例说明反证法在解决数学问题中的应用，如证明一个数不是素数等。

（2）分析反证法的证明过程：引导学生分析反证法的证明过程，包括假设、推导矛盾、得出结论等步骤。通过具体例子，让学生了解如何运用反证法进行证明。

（3）比较反证法与其他证明方法：通过对比反证法与直接证明、数学归纳法等方法，让学生了解各种证明方法的优缺点，以及在不同情况下的适用性。

3.实践活动

（1）学生独立完成反证法练习题：提供一些基础的反证法练习题，让学生独立完成。教师巡视指导，解答学生遇到的困难。

（2）小组讨论反证法在实际问题中的应用：将学生分成小组，讨论反证法在实际问题中的应用，如证明几何图形的性质、解决数学竞赛问题等。

（3）课堂展示：每组派代表展示讨论成果，教师点评并总结。

4.学生小组讨论

（1）举例回答：如何将反证法应用于解决实际问题？

举例回答：在证明一个三角形不是直角三角形时，假设它是直角三角形，然后通过三角形的性质推导出矛盾，从而得出结论。

（2）举例回答：反证法在几何证明中的应用有哪些？

举例回答：在证明一个四边形不是平行四边形时，假设它是平行四边形，然后通过平行四边形的性质推导出矛盾，从而得出结论。

（3）举例回答：如何判断一个命题是否适合使用反证法进行证明？

举例回答：如果一个命题可以通过假设其反面进行证明，并且假设的反面能够推导出矛盾，那么这个命题适合使用反证法进行证明。

5.总结回顾

内容：首先，回顾本节课所学内容，强调反证法的定义、原理、证明过程和适用范围。然后，引导学生思考反证法在实际问题中的应用，以及如何判断一个命题是否适合使用反证法进行证明。最后，布置课后作业，巩固所学知识。

环节具体分析和举例：

（1）导入新课环节：通过提问和实例引入反证法，激发学生学习兴趣，用时5分钟。

（2）新课讲授环节：

-讲解反证法的定义和原理，用时10分钟。

-分析反证法的证明过程，用时10分钟。

-比较反证法与其他证明方法，用时5分钟。

（3）实践活动环节：

-学生独立完成反证法练习题，用时10分钟。

-小组讨论反证法在实际问题中的应用，用时10分钟。

-课堂展示，用时5分钟。

（4）学生小组讨论环节，用时10分钟。

（5）总结回顾环节，用时5分钟。

总用时：45分钟。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

（1）阅读材料一：《数学证明的艺术》——作者：马丁·加德纳

该书籍深入浅出地介绍了数学证明的基本概念和方法，包括反证法在内的多种证明技巧。通过阅读这本书，学生可以更全面地了解数学证明的精髓，并学习到更多的证明技巧。

（2）阅读材料二：《数学证明的原理与应用》——作者：彼得·J.利文斯顿

这本书详细介绍了数学证明的基本原理，并举例说明了反证法在数学各个领域的应用。通过阅读，学生可以加深对反证法的理解，并学会将其应用于实际问题。

（3）阅读材料三：《数学证明的故事》——作者：保罗·R.莫里森

这本书通过讲述数学证明的故事，展示了数学证明的魅力和数学家的智慧。阅读后，学生可以激发对数学证明的兴趣，并从中汲取解决问题的灵感。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

（1）课后作业：布置一些与反证法相关的课后作业，如证明一些简单的数学命题，让学生在实践中巩固所学知识。

（2）数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，通过解决竞赛中的问题，提高反证法的应用能力。

（3）数学研究：引导学生进行数学研究，选择与反证法相关的课题，如探讨反证法在数学各个领域的应用，或研究反证法与其他证明方法的关系。

（4）小组合作：组织学生进行小组合作，共同探讨反证法在解决实际问题中的应用，如证明几何图形的性质、解决数学竞赛问题等。

（5）学术报告：邀请数学专家进行学术报告，分享反证法的最新研究成果和应用案例，拓宽学生的视野。教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的表现是评价学习效果的重要指标。评价内容包括学生的出勤情况、课堂参与度、回答问题的准确性以及解决问题的能力。教师应观察学生在课堂上的注意力集中程度，是否能够积极参与讨论，是否能够正确理解和运用反证法的概念。例如，通过提问学生关于反证法的定义和应用，评估学生对知识点的掌握情况。

2.小组讨论成果展示：小组讨论是培养学生合作能力和深入思考的重要环节。评价小组讨论成果时，应考虑以下方面：小组成员的分工合作情况、讨论的深度和广度、对问题的分析和解决能力。教师可以要求每个小组准备一个简短的展示报告，通过展示来评价他们的讨论成果。例如，一个小组可能通过展示一个几何证明的过程，来展示他们对反证法应用的理解。

3.随堂测试：随堂测试是即时评估学生学习效果的有效手段。测试可以包括选择题、填空题和简答题，旨在考察学生对反证法基本概念和证明步骤的掌握。教师应确保测试题目的难度适中，既能反映学生的学习水平，又能激发他们的学习兴趣。例如，测试中可以包含一个简单的反证法证明题，要求学生在规定时间内完成。

4.课后作业反馈：课后作业是巩固课堂知识的重要环节。评价作业时，应关注学生的完成情况、作业的准确性和创新性。教师可以通过批改作业来了解学生对知识的掌握程度，以及他们在解题过程中遇到的问题。例如，教师可以批改学生的反证法证明作业，指出他们的错误，并提供正确的解题思路。

5.教师评价与反馈：教师的评价应针对学生的个体差异，既要肯定学生的优点，也要指出他们的不足。以下是一些具体的评价与反馈内容：

-针对课堂表现：对于积极参与课堂讨论的学生，给予口头表扬和肯定；对于注意力不集中的学生，给予适当的提醒和指导。

-针对小组讨论成果展示：对于表现突出的小组，给予奖励和鼓励；对于讨论不充分的小组，提供反馈，指导他们如何改进讨论方法。

-针对随堂测试：对于测试成绩优秀的学生，给予表扬，并鼓励他们继续保持；对于成绩不佳的学生，分析原因，提供个性化的辅导。

-针对课后作业反馈：对于完成作业认真、质量高的学生，给予肯定；对于作业中有明显错误或未完成的学生，提供详细的反馈，帮助他们改进。内容逻辑关系①反证法的定义

-重点知识点：反证法是一种通过假设命题的否定，并推导出矛盾，从而证明原命题为真的证明方法。

-重点词句：反证法、假设、否定、矛盾、证明。

②反证法的证明步骤

-重点知识点：反证法的证明步骤包括提出假设、推导矛盾、得出结论。

-重点词句：提出假设、推导矛盾、得出结论、假设的反面、逻辑推导。

③反证法的应用

-重点知识点：反证法适用于证明那些可以通过假设其反面进行证明的命题。

-重点词句：适用于、假设其反面、命题、逻辑推理、证明。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法：在教学中，我们可以尝试使用更多的案例来帮助学生理解反证法的应用。比如，通过分析历史数学家的实际证明过程，让学生看到反证法在实际问题中的应用，这样不仅能够提高学生的兴趣，还能加深他们对理论的理解。

2.互动式教学：我们可以尝试采用更多互动式的教学方法，比如小组讨论、角色扮演等，让学生在互动中学习，这样能够激发他们的思考，提高他们的参与度。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.教学深度不够：我发现有些学生在理解反证法的逻辑结构时存在困难，这可能是因为我在讲解时过于注重理论的阐述，而忽略了实际操作和思维的引导。

2.学生参与度不高：在课堂讨论中，我发现有些学生参与度不高，这可能是因为讨论的问题难度过大，或者是对讨论没有足够的兴趣。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要是通过随堂测试和作业，这种方式可能无法全面评估学生对反证法的掌握程度。

反思改进措施（三）

1.深化理论讲解与实践结