高中数学上学期同步测试第3单元湘教版选修21高二

2010—2011学年度上学期单元测试高二数学试题【湘教版】选修2-1第3单元说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）。图1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1图若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是 （） A． B． C． D．2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （） A． B． C． D．3．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1 A．60° B．90° C．105° D．75°4．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF图A． B．图C． D．5．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF图A． B．图C． D．6．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离 （）AA1DCBAA1DCBB1C1图7．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点。点到平面的距离（）A． B． C． D．8．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离 （） A． B． C． D．9．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 （） A． B． C． D．10．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G。则与平面ABD所成角的余弦值 （） A． B． C． D．11．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小 （） A． B． C． D．12．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，。则三棱锥的体积V （） A． B． C． D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。13．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离。14．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离。15．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离16．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共74分)。17．（12分））如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．18．（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.（1）求向量的坐标；（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值图图19．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值。20．（12分）如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面.（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。21．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．22．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1（1）求证：平面EFG∥平面ACB1，并判断三角形类型；（2）若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C参考答案一、选择题AABAACABDBAC二、填空题13．；14．；15．1；16．。三、解答题17．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．根据空间两点距离公式，可得．18．解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.（2）依题意：，所以.设向量和的夹角为θ，则cosθ=.19．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）于是，={－a，a，0}设与的夹角为θ，则由cosθ=AE与CD所成角的余弦值为．评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．20．（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz则（2，2，），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.设=（x,y,z）为平面的一个法向量，-2x+2y+2z=0所以6x=0.取，则。又平面的一个法向量，故。所以二面角的余弦值为（Ⅱ）解：设则，因为翻折后，与重合，所以，故，，得，经检验，此时点在线段上，所以。方法二：（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。因为=及是的中点，所以又因为平面平面，所以平面,又平面,故，又因为、是、的中点，易知∥，所以，于是面，所以为二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值为。（Ⅱ）解：设,因为翻折后，与重合，所以，而，得，经检验，此时点在线段上，所以。21．解：建立坐标系如图，则、，，A1A1B1C1D1ABCDExyz，，．（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，∵∴D1E与平面BC1D所成的角的大小为（即）．（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C∵，∴二面角D－BC1－C的大小为．（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1与BC1之间的距离为．22．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1（1）分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可。证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）。∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，∴⊥，同理⊥，而与不共线且相交于点A，∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，∴平面EFG∥平面ACB1；又因为⊥平面EFG，所以⊥，则·=0，即(－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，化简得xE－yF=0；同理xE－zG=0,yF－zG=0，易得==，∴△EFG为正三角形。（2）解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=∴==·sin600=(·a)2·=·a2。此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1所以异面直线EF与B1Cd===