2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）专题06 反比例函数中的平行四边形含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练

专题06反比例函数中的平行四边形

1.如图，在第一象限内，A是反比例函数），=~伏＞0）图象上的任意一点，A8平行于y轴交反比

例函数y=§化＜。）的图象于点丛作以A8为边的平行四边形ABCZ）,其顶点C,。在）•轴上,

若S*=7,则这两个反比例函数可能是（）

34

B.y=一和v=——

x'x

工

D.y=一5和Hy=——6

xxxx

2.如图，反比例函数的图像经过平行四边形布。的顶点C。，若点A、点八点C的坐

标分别为（3,0）,（0,4）,（«〃），且〃+人=7.5,则k的值是

3.如图‘在平面直角坐标系中’点A在反比例函数），=：（XV。）的图像上一点'点B是y轴正半

4

轴上一点，以04、48为邻边作平行四边形"CO,若点C和4C的中点。都在反比例函数），=一（X

X

4.如图，已知反比例函数产々x>0)与止比例困数y=x(x.O)的图象，点AU，4),点4(4/)与点8

X

均在反比例函数的图象上，点8在直线)上，四边形是平行四边形，则8点的坐标为一

5.如图，分别过反比例函数y=:图像上的点P/(I,)，/),P2(1+2,”)，P3(1+2+3,yj),...,

PH(1+2+3+...+〃,刈)作x轴的垂线,垂足分别为A/,A2f4….，连接A/P2,A2P3,AH….，

AnjPn,再以A/P"A/P2为一组邻边画一个平行四边形A/P/B/P2,以4尸2,A2P3为一组邻边画一个

平行四边形A2P282P3,以此类推，则历的纵坐标是;点、B/,B”.,8〃的纵坐标之和

为__________

Q

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数产区+Z?的图象与双曲线v=--交于点M(4机)、N(〃,

x

-4)»与x轴交于A.

⑴求A、b的值;

（2）①将直线尸匕仍向上平移4个单位分别交x轴、），轴于点3、C,画出这条直线；

②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、a尸为顶点的四边形是平行四边形，求尸点的坐标.

7.综合与探究

如图，己知，4（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。为8点关于AC的对称点，反比例函数y的图象

经过。点.

（1）证明四边形/WCQ为菱形；

（2）求此反比例函数的解析式；

⑶已知在y=V的图象（x>0）上有一点N,丁轴正半轴上有一点“，且四边形A8MN是平行四

x

边形，求M点的坐标.

1L

8.如图，一次函数y=;x+2的图象与X轴交于点B,与反比例函数），=一伙壬0）的图象的一个交

2x

点为A（2,m）.

（1）宜接写出反比例函数的解析式；

（2）过点A作AC_Lx轴，垂足为点。，设点P在反比例函数图象上，且APBC的面积等于6,请

求出点尸的坐标；

（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN//X轴，交反比例函数.y=的图象于点N,若以B、

X

0、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标.

9.如图，一次函数产依+〃与反比例函数)，二竺的图像交于点A(l,6),6(3,〃)两点.

.X

⑴求反比例函数和一次函数的表达式；

⑵连接04、0B,求一4。4的面积；

⑶直线。经过点(0,1)且平行于x轴，点M在直线。上，点N在)，轴上，以A、B、M、N为顶点的

四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由.

10.如图，一次函数y=x+l与反比例函数)，=&的图象相交于4科2),B两点,分别连接。4,OB.

x

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)求AO8的面积；

⑶在平面内是否存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，已知一次函数好如+2与反比例函数尸石的图象交于第一象限内的点A(l,6)和

X

8(6,，〃)，与X轴交于点C,交丁轴于点O.

(I)分别求出这两个函数的表达式；

(2)连接。4、0B,求AAO8的面积：

(3)点P为坐标平面内的点，若点。，A,C,P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点尸的坐

标.

12.加图，在平面直角坐标系中，一次函数y/=2t-4(00)的图象与反比例函数)，2=9的图象交

x

于A、B两点.

(1)求A、8的坐标.

(2)当x为何值时，Zv-4>-?

x

(3)如图，将直线A8向上平移与反比例函数)，=2的图象交于点。、D,顺次连接点4、B、C、D,

X

若四边形ABC。是平行四边形，求的值.

13.如图，一次函数y=x+【与反比例函数)，=一的图象交于点A和B(-2,〃)，与)，轴交于点C.

⑴求反比例函数解析式；

(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点。作PD〃y轴，交线段A8于点。，是否存在点

P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=gx+l的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,

与反比例函数(存0)的图象交于8,。两点，jlAC=BC.

x

(1)写出点A,6的坐标为：A(,),B(,)

(2)求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；

(3)若?是x轴上一点，轴交一次函数于点交反比例函数于点N,当O,C,M,N为

顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标.

15.如图1,菱形顶点A在户轴,上，顶点。在反比例函数)公夕*。)」：，边"C交y轴于点E,

AO〃x轴，AE=2EC,AD=5.

（1）求h

⑵如图2,延长川交工轴于点尸，问是否在该反比例函数上存在的点“，坐标轴上的点0,使得

以A、尸、/>、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标,

若不存在请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=犬-2的图像与反比例函数为二K（ZHO）的图像交

X

于4（-2,〃），4（次2）两点，与丁轴交于点C,与x轴交于点。，连接04.OB.

备用图

⑴求反比例函数必」（攵工。）的表达式；

X

（2）求AAOA的面积；

⑶点N为坐标轴上一点，点M为凡的图像上一点，当以点C、D、M、N为顶点的四边形是平

行四边形时，请直接写出所有满足条件的N点的坐标.

17.如图1,在平面直角坐标系中，反比例函数y=4（&为常数，x>0）的图像经过点A（2,〃。,

.1

8(6,〃)两点.

y

oX

备用图

⑴加与〃的数量关系是（）

A.m=3nB.n=3mC.tn+n=SD.m—n=4

（2）如图2,若点A绕了轴上的点尸顺时针旋转90。，恰好与点8重合.

①求点P的坐标及反比例函数的表达式：

②连接04、08,则3A04的面积为；

（3）若点M在反比例函数），=幺*>0）的图像上，点N在〉轴上，在（2）的条件卜，是否存在以A、

X

B、例、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点用的坐标，若不存在，请说明

理由.

Q

18.如图1,动点M在函数j=-（x>0）的图象上，过点M分别作x轴和丁轴的平行线，交函数

Xr

4,

1y=—">0）的图象于点C,作直线4C,设直线4c的函数表达式为丁=履+以

图1图2

(1)若点例的坐标为(2,4).

①〃点坐标为,C点坐标为,直线AC的函数表达式为；

②点。在X轴上，点E在y轴上，且以点3、C、D、£为顶点的四边形是平行四边形，请直接写

出点。、E的坐标；

(2)连接80、CO.

①当08=0。时，求。8的长度；

②如图2,试证明.80c的面积是个定值.

专题06反比例函数中的平行四边形

1.如图，在第一象限内，A是反比例函数），=&（4＞（））图象上的任意一点，A8平行于y轴交反比

例函数§化＜。）的图象于点B,作以A8为边的平行四边形ABCZ）,其顶点C,。在）•轴上,

若SABCD=L则这两个反比例函数可能是（）

34

B.?=一和），=——

x'x

D.y=一和y=—

xxxx

【答案】B

【分析】设A（。，&），B（a，&），然后求出AB的长，进而求得CD的长，然后根据5^0=7求

得4的值，进而确定心-依=7,最后结合选项即可解答.

【详解】解：设A（a,—）,B（小红）,ki＞0＞后＜0,

aa

…k、k,k,-k

aaa

•・•平行四边形A8CQ,

:・CD=AB=^^~,

a

*•S^BCD=7>

CDa=l,即——k.a=7,

a

:.k]—k[=7,

结合选项可得B选项符合题意.

故选B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出尢-&=7是解答本

题的关键.

2.如图，反比例函数），=K的图像经过平行四边形A8C。的顶点C,D,若点A、点8、点C的坐

标分别为（3,。），（0,4）,（〃/），且々+。=7.5,则A的值是—.

【答案】9

【分析】根据平移和平行四边形的性质将点。也用小〃表示，再根据反比例函数图象上的点的横

纵坐标的乘积相等列式算出公仇再由点坐标求出出的值.

【详解】解：・・・A（3,0）,8（0,4）,

，A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，

根据平行四边形的性质，。也可以看作由。向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，

VC（a.b）,・・・O（a+3,〃—4）,

Va+b=7.5,

/.C（a,7.5—«）,。（〃+3,3.5-o）,

•:C、。都在反比例函数图象上，

・•・它们横纵坐标的乘积相等，即。（7.5-〃）=（4+3）（3.5-。），解得々=1.5,

AA:=1.5x（7.5-1.5）=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设

出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解.

3.如图，在平面直角坐标系中，点4在反比例函数丁="（x<0）的图像上一点，点4是y轴正半

x

4

轴上一点，以OA、A8为邻边作平行四边形48cO,若点。和8。的中点。都在反比例函数），=一（x

x

>0）的图像上，则A的值是.

【答案】-8

【分析】作AEJ_人轴，b_L人轴，DG_L人轴，证&A°?三AC/?F(/VAS),设。［〃?，2)，则0(2小,5

4(-2〃?,展)；因为/)GJ_x轴，力是BC的中点，由。E=B尸=2G/即可求解；

【详解】解：•・•作AE_Lx轴，b_Lx轴，OG_Lx轴，

•・•四边形4BC0是平行四边形，

A0//BC,

:.ZAOE=ZCBF,

•・・AE_Lx轴，bJ_x轴，

JZAEO=/CFB,

在A4OE和AC8尸中，

ZAEO=ZCFB

•.•Z4OE=NC8/，

AO=BC

:.M0E=\CBF{AAS),

:・AE=FC,OE=BF,

设£>[〃[,3],则C(2〃?,2],,cfo,-1,F[^—

\fn)km)l-2〃"Vm)\mJ

・••Z)G_Lx轴，。是8c的中点，

/.FC=2DG,OE=BF=2GF,

mmm

-2mrn

&=一8,

都答案为：-8.

【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌

握相关知识并灵活应用是解题的关健.

4.如图，已知反比例函数产々x>0)与正比例函数y=x("O)的图象，点41,4),点4(4刈与点用

X

均在反比例函数的图象上，点8在直线)，=X上，四边形必宣/是平行四边形，则8点的坐标为

【答案】(\A5,x/l3)

【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出H点坐标，再利用平行四边形的性质假设出“点

坐标，进而表示出9点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案.

【详解】解：反比例函数乃々x>())过点A(l,4),

x

/.Ar=1x4=4,

4

・••反比例函数解析式为：y=-,

•点。(4,份在反比例函数的图象

.-.4/7=4,

解得：b=l,

.5(4,1),

点B在直线丁二彳上，

•••设8点坐标为：(a,a),

点4(1,4),8(4,1),

・•.A点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到A点，

:四边形/VV88是平行四边形，

.•・B点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得至IJ9点(〃+3/-3),

.•点9在反比例函数的图象上，

(a+3)(。-3)=4,

解得；a-(负数不合题意)，

故B点坐标为：(加，V13).

【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出用

点坐标是解题的关键.

5.如图,分别过反比例函数,，=■!■图像上的点P/(1,y/),P2(1+2,y2),P3(1+2+3,”)，...，

Pn(1+2+3+...+〃，/)作x轴的垂线,垂足分别为AhA2,Ab...»An,连接A/P2,A2P3,A必，…,

An.jPn,再以A/P/,4小2为一组邻边画一个平行四边形A/P/8/P2,以4尸2,A2P3为一组邻近画一个

平行四边形A2P2&尸3,以此类推，则&的纵坐标是__________；点、B/,B2….,8〃的纵坐标之和

为•

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点修、尸2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相

等的性质求得点田的纵坐标是”+#、B2的纵坐标是"+”、&的纵坐标是兴+W，据此可以推知点

114

Bn的纵坐标是然+»储，再求和整理即叽

11-+2+3++n1+2+3+,+〃+一(〃“+1)/7(/7+2)

【详解】•・•点B(l,川)，巳(1+2,”)在反比例函数y=:的图象上，

..11

.・>,，，2=由=屋

・•・4A=x=i.

又•・•四边形A/P/8/P2,是平行四边形，

・・・，4=片鸟=1,RAJIBH.

14

・••点8/的纵坐标是：y+=-+1=-.

2JJ

•・•点丹(1+2+3,户)在反比例函数)，=’的图象上，

*1+2+3

・••点&的纵坐标是：%+*=:+[；

・・.点尸川+2+3+4,闻在反比例函数必的图象上,

1

”=

1+2+3+4

，点B.；的纵坐标是：%+>4=----------+---------------

1+2+31十2十3十4

・•・点Bn的纵坐标是：然+了川=------+——:一1——;一-

1+2+3++〃1+2+3++〃+(〃+1)

=--2---1----2---

〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

4

一〃(〃+2)

二点以，比…曲]的纵坐标之和为

I、，114

(1+—)+(4-------)+(--------F-----------)++

1+21+21+2+31+2+31+2+3+4〃(〃+2)

1

=4xJ++)

1x32x43x5〃x(〃+2)

=4xix(l-l+l-l+l-l++i—L)

232435nn+2

1

=2(1+—一)

2〃+ln+2

3n2+5n

n~+3〃+2

故答案为:，-¥十”

〃-+3〃+2

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的国象.解

答此题的关键是根据平行四边形的对边平行同相等的性质求得点Bn的纵坐标为/+/+)九

三、解答题(共0分)

Q

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数尸质+力的图象与双曲线产■一交于点M(~4,in).N(〃,

x

-4),与x轴交于A.

⑴求联人的值；

⑵①将直线产区+〃向上平移4个单位分别交x轴、），轴于点4、C,画出这条直线；

②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、尸为顶点的四边形是平行四边形，求尸点的坐标.

【答案】（1火=-1,b=-2；

⑵①作图见解析；②点尸坐标为（0,-2）或（Y,2）或（4,2）.

【分析】（1）先求出点M和点N的坐标，再待定系数法求解析式即可；

（2）①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点8和点C坐标，即可画出平移后

的直线；

②分情况讨论：当CA,C8为边时，当AC,84为边时，当AC,A8为边时，分别根据平行四边形

的性质即可求出点P坐标.

（1）

88

解：把x=-4,y=ni代入产--中，得m=--=2,

x-4

，点M（-4,2）,

QQ

把x=〃，产代入产--中，得〃=--7=2,

x-4

・••点N（2,-4）,

工将点M(-4,2),点N(2,-4)代入尸H+b中,

z(-4k+b=2

得2k+h=-4"

%=一1

解得

b=-2

.•.仁1,。二2；

(2)

解：①由（1）知直线MN的解析式为尸土2,

将直线尸*2向上平移4个单位，得产了+2,

当人=0时，尸2,

•••点C坐标为（0,2）,

当｝=-x+2=0时，x=2,

，点B坐标为（2,0）,

直线与x轴的交点4的坐标为（-2,0）,

分情况讨论：

当C4,C3为边时，A0〃a且AP=C4,

•・•点C（0,2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2,0）,

・,•点B（2.0）向左平移2个单位,向下平移平移2个单位得创点P（（）,-2）.

点P坐标为（0,-2）；

当BC,BA为边时，AP//CBRAP=CB,

同理可得点P坐标为（-4,2）；

当AC,4H为边，AC//BPRAC=BP,

同理可得点尸坐标为（4,2）.

综_1_,满足条件的点尸坐标为（0,-2）或（-4,2）或（4,2）.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质,

平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强.

7.综合与探究

如图，已知，A（0,4）,B（-3.0）,C（2,0）,。为8点关于AC的对称点，反比例函数y的图象

经过D点、.

（1）证明四边形/WCQ为菱形；

（2）求此反比例函数的解析式；

⑶已知在y=V的图象（x>0）上有一点N,丁轴正半轴上有一点“，且四边形A8MN是平行四

x

边形，求M点的坐标.

【答案】（1）见详解

（2）y=—

x

Q

⑶%）

【分析】（1）由A（0,4）,B（-3,0）,C（2,0）,利用勾股定理可求得AB=5=8C,又由。为B点关

「AC的时称点，可得人8=人。，BC=DC,即可证得人B=A/）=CO=CB,继而证得四边形人BCO为菱

形；

（2）由四边形ABCQ为菱形，可求得点。的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数

的解析式；

（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解

析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标.

（1）证明：•.F（0,4）,«（-10）,C（2,O）,二。A=4,OB=3,OC=2,：,

AI3=y/OA2+OI32=x/42+32=5»4c=4O+OC'=2+3=5，六A4=4C'，:。为8点关于AC'的对

称点，AA/3=AD,CB=CD,:.AB=AD=CD=CB,工四边形ABC。为菱形：

出・・・四边形钛，。为菱形，・・.。点的坐标为（5,4）,反比例函数丫」的图象经过。点，.・.44,

x5

20

・・・上20,・••反比例函数的解析式为：），二工；

x

（3）,・,四边形A8AW是平行四边形，・・・AN〃用W,4N=4M,工AN是8M经过平移得到的，

•••将8点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A点，，将M先向右平移3

个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N点，・・・M点在），轴正半轴，・・.M点的横坐标为0,

（）（）

••・即根据平移可知N点的横坐标为3,代入y=‘?，得），=2”,即N点坐标为（3,2多0），・••艰据平移

x33

onQQ

的路径可知M点的纵坐标为：4=a，・・・M点的坐标为（0,7.

【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及

平行四边形的性质.注意掌握坐标与图形的关系是关键.

1b

8.如图，一次函数>=71+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数），二一（2H0）的图象的一个交

2x

点为A（2m）.

（1）宜接写出反比例函数的解析式；

（2）过点A作AC_Lx轴，垂足为点C,设点P在反比例函数图象上，且^PBC的面积等于6,请

求出点2的坐标；

（3）设M是直线AB上一动点，过点M作MN〃x轴，交反比例函数y=人的图象于点N,若以B、

X

O、M、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标.

【答案】（1）反比例函数的表达式为y=-；（2）P（3,2）或P（-3,-2）；（3）点M点坐标

X

为：M,（2>/7,2+>/7）;M2（-277,2-77）；M3（2>/5-4，x/3）；M4（-2x/3-4,->/3）

【分析】（1）先将点A（2,m）代入反比例函数），=工入+2求得A的坐标，然后代入），二与，求得

2x

k的值即可;

(2)可求得点B的坐标，设P(x,y),由S”BC=6,即可求得X,y的值；

(3)设M(2y-4,y),N(-,y),根据平行四边形的性质可得(2)，-4)-9=4,解出y即可求解.

)'y

【详解】(1)•・•一次函数y=；x+2的图象经过点A(2,m),

m=3.

・••点A的坐标为(2,3).

•・•反比例函数)，=A(kwO)的图象经过点A(2,3),

x

...k=6,

・•・反比例函数的表达式为y=9.

X

(2)令gx+2=0,解得x=-4,即B(-4,0).

•・・AC_Lx轴，

AC(2,0).

.\BC=6.

设P(x,y),

丁SAPBC=g•BC*|y|=6,

Ayi=2或y2=-2.

分别代入y=9中，

X

得xi=3或X2=-3.

・・・P(3,2)或P(-3,-2).

(3)<MN〃OB,故M,N的纵坐标相同,

<M是直线ABy=gx+2上一动点，N在反比例函数y=工的图象上，

2x

设M(2y-4,y),N(y,y),

依题意可得(2)=4)-；=4

当(2.尸4)-°=4时，

y

解得yi=2+币,y2=2-41,

・・・M|(2a2+⑺；M2(-2X/7,2-5/7)

当(2y_4)_q=_4时，

解得yi=5y2=-G,

M3(2X/3-4,^);M4(-2>/3-4,-X/3)

综上，点M点坐标为:M,(277,2+77)；M2(-2V7,2-X/7)；M3(2>/3-4,>/3)；M(2痒

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解

析式是解此题的关键.

9.如图，一次函数尸辰+〃与反比例函数y二'的图像交于点A(l,6),8(3，〃)两点.

X

⑴求反比例函数和一次函数的表达式；

⑵连接OA、OB,求AO8的面积；

⑶直线。经过点(0,1)且平行于x轴，点”在直线〃上，点N在)，轴上，以A、4、M、N为顶点的

四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由.

【答案】(1)反比例函数解析为尸9,一次函数解析式为严-2x+8

x

(2)8

⑶M(4,1),N(0,7)或M(2,I),N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3)

【分析】(1)由4点坐标可求得，〃的值，可求得反比例函数解析式，则可求得8点坐标，由A、B

两点坐标，利用待定系数法可求得直线A4的解析式；

(2)设直线AB与x轴交于点D,求出。点的坐标，分别求出“OQ^LBOD的面机即可•确定aAOB

的面积；

(3)设M(〃?，1),N(0,«),分三种情况讨论，AB.AM、4N分别为平行四边形的对角线，列

出相应方程式解得即可.

(1)

解：•・•反比例函数产丝的图像过A(1,6),

x

.*.///=1x6=6,

・•・反比例函数解析为产9,

X

把x=3代入可得〃=2,

：.B(3,2),

设直线AB解析式为y=kx+b(k*0),

k+b=6

把A、8坐标代入可得《

3k+b=2'

k=-2

y=kx+b(^k^O)解得，

b=8'

工一次函数解析式为y=-2*8；

(2)

解：设直线4B与x轴的交点为D,

令)，=0,得2i+8=0,

解得m4,

：,D(4,0),

・'・SADO=；X4X6=I2，S8W=；X4X2=4,

**•SAOR—SADO-SBDO=8；

(3)

解：点M在直线〃」：，点N在)，轴上,

设M(m,1),N(0»n),

①当48为平行四边形对角线时，

I+3=〃?+0

6+2=1+〃

rn=4

解得「，

〃二7

:,M(4,1),N(0,7)；

②当AW为为平行四边形对角线时,

\+ni=3+0

6+1=2+〃'

m=2

解得

〃=5

・・・M(2,1),N(0,5)；

③当AN为为平行四边形对角线时,

1+0=3+，〃

6+〃=2+1'

in=-2

解得

n=-3

:.M(-2,1),N(0,-3)；

综上所述，以4、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，例(4,1),N(0,7)或Mi2,1),

N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3).

【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与％轴交点、平行

四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中注

意数形结合，在(3)中确定出M、N的位置是解题的关键.

10.如图，一次函数尸x+l与反比例函数尸人的图象相交于4九2),B两点，分别连接04,OB.

x

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)求一408的面积：

⑶在平面内是否存在一点P,使以点0,B,4,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接

写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴丁，2

x

(2)|

⑶P(T1)或代―3,-3)或P(3,3)

【分析】(1)先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可；

(2)先求出以。点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；

(3)分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案.

(1)

解：把A(皿2)代入一次函数)，=*+1,得2=m+1,

解得〃2=1,

二.A(l,2),

把A(l,2)代入反比例函数)，=士k，得2=k£,

x1

:.k=2,

2

「•反比例函数的表达式为)，=-；

x

(2)

2

解：令-=x+l,解得工=1或户_2,

x

当X=-2时，y=-l,即8(-2,-1),

当x=0时，y=l,

/.OC=1,

SAO8=Sg+S0cB=JOC.kJ+foe3=OC(k/-XA)=；xIx(2+1)=1；

(3)

解：存在，理由如下：

当04与04为邻边时，点0(0,0)先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点3(-2,-1),则点A(l,2)

也先向左平移2个单位再向下平移I个单位到点P,即/'(-ID；

当A〃与AO为邻边时，点4L2)先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点,则点0(0,0)

也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点即2-3,-3)；

当84与8。为邻边时，点B(-2,-l)先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点4L2),则点。。0)

也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点P,即P(3,3):

综上，P点坐标为打一口)或尸(T-3)或尸(3,3).

【点睛】本题考查了反比例法数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面

积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨金的思想

是解题的关键.

11.如图，已知一次函数y=3+力与反比例函数)，=&的图象交于第一象限内的点41,6)和

X

8(6,m),与上轴交于点C,交轴于点Q.

(1)分别求出这两个函数的表达式；

(2)连接。4、08,求AAQ8的面积；

(3)点?为坐标平面内的点，若点。，A,C,尸组成的四边形是平行四边形，清直接写出点P的坐

标.

【答案】(l)y=9,y=-x+7

x

(2)T

(3)点尸的坐标为:(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出•次函数与反比例函数解析式；

(2)利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；

(3)利用平行四边形的性质结合当4P〃0C且AP=OC时，当AP〃O。且AP，=OC时，当A0〃P”C,

且40=P"C时，分别得出答案.

(1)

•・•点41,6)在反比例函数y=8■的图象上，

X

.•.6=牛，解得：&2=6,

・•・反比例函数的表达式是：y=-；

X

.8(6,⑼在反比例函数尸工的图象上，

/.m=\t

•••4(6,1),

6=k.+h

将点41,6),8(6,1)代入)，=k/+入可得：\

1=6^+b

k.=—1

解得：］,，

b=l

，一次函数表达式是：)，=f+7；

(2)

由(1)知,直线L3的解析式为y=-x+7,则力(0,7),C(7,0),

1|35

・'-S^OB=SACOD-(SMOD+S^oc)=3℃.OD-k=于7x7-7=W；

(3)

..P点坐标为(&6)：

当4〃〃0C且4P=O。时，贝|J4P=OC=7,

41,6),

二产点坐标为：（Y，6）；

当AO〃产C,且47=产。时，则点A与P〃到尤轴距离相等，且尸点横坐标为7-1=6,

产点坐标为：（6,-6）

综上所述：点P的坐标为：（&6）,（-6,6）,（6,-6）.

【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考杳了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质

等知识，正确数形结合分析是解题关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，一次函数）"=214（右0）的图象与反比例函数的图象交

x

于4、B两点、.

（1）求A、4的坐标.

（2）当x为何值时，2r-4>g?

⑶如图，将直线4B向上平移与反比例函数），=9的图象交于点C、D,顺次连接点A、从C、D,

x

若四边形A8c。是平行四边形，求S型绣人8C。的值.

【答案】⑴点A、8的坐标分别为（・1,・6）、（3,2）

（2）x>3或-IVxVO

⑶32

【分析】（1）联立），尸244（原0）和即可求解；

x

（2）观察函数图象即可求解；

（3）当四边形48CO是平行四边形，则（x4-x8）2=（xC-xD）2,求出直线A3平移的距离为8,由

S四边形ABCD=AB・EH,即可求解.

(1)

解：联立y/=2x-4（附））和”=9,得

x

y=2x-4

，6，

）'=一

x

4,x=-l4fx=3

解得：A或C，

y=-6[y=2

故点A、8的坐标分别为（-1,-6）、（3,2）；

（2）

解：由图象得，当x>3或-l<r<0时，2x-4>-；

x

（3）

设直线AB向上平移了机个单位得到直线CD,

则直线CD的表达式为y=2・4+加②，

联立①②并整理得：源+（w-4）x-6=0,

.*.x/+%2=y（4-in）,x/X2=-3,

则（X/-X2）2=（X/+X2）2-4xiX2=_竺）—+12,

4

•・•四边形48CQ是平行四边形，

故（M・x8）2=（3+1）2=（xC-.vD）2=（X/-X2）2=«-〃，）_+12,

4

解得〃?=0（舍去）或8,

即直线A8平移的距离为8,

设直线A8交），轴于点E,过点E作EH_LCO于点”，宜线CO交y轴于点尸,

则FE=m=S,

由直线CD的表达式知，tan/HFE=g,MsinZ/7FE=^,

在RSEH*中，EH=EFsin^HIE=4=x8=

・•・S艰/ABCD=AB・EH=J(3++(2+6『x专=32.

【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直隹三角形、

图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中.

13.如图，一次函数y=x+l与反比例函数y=@的图象交于点4和B（-2,〃），与,，轴交于点C.

X

⑴求反比例函数解析式；

⑵点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作尸。〃），轴，交线段AB于点。，是否存在点

尸使得四边形。尸0C为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）丁二一

x

⑵存在,（S-近）

【分析】（1）将点3（-2,加代入y=x+l得点B的坐标，再将点8坐标代入反比例函数解析式

即可；

2

（2）由四边形。POC为平行四边形，得PO=OC,设尸（m,-）,表示出点。的坐标，求出P。

的长度，即可解决问题.

解：由题意知，点8在一次函数.v=x+l的图象上,

，点4坐标为（-2,-1）,

代入反比例函数解析式可得〃=（-2