2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列专题275 相似三角形的应用【七大题型】（举一反三）（人教版）

2023.2024学年九年级数学下册举一反三系列专题27.5相似三角形的

应用【七大题型】

【人教版】

【题型।相似三角形的应用（九章算术）】..................................................................1

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】..................................................................3

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】..................................................................5

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】................................................................6

【题型5相似三角形的应用（树高问题）】..................................................................8

【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】..................................................................9

【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）］............................................................10

【知识点相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例I】（2021•北京大兴•九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股"章中有这样

一个问题："今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？〃用今天的话说，大

意是：如图，QEFG是一座边长为200步（"步〃是占代的长度单位）的正方形小城，东门〃位于GO的中点，

南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有•树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点。

在直线AC上）.

【变式1-1］（2022•湖南株洲•九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如

图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆43,从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线与井口的直

那么。。为（）米.

D.2

【变式1-2］（2022•河北・二模）《九章算术》的“勾股〃章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开

门.出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百匕十五步见木.问邑方几何？〃大意是：如图,

四边形EFG”是一座正方形小城，北门A位于/G的中点，南门8位于E”的中点.从北门出去正北方向

20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正

方形小城的边长为（）

C

【变式1-3］（2021•河南•鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，

由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题

都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、

远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础.

《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺.从勺端望谷底，入下股九

尺一寸.又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸.问谷深几何？

大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN,在山谷边缘处放置一个直角三角尺A3C助。3

=90°,AC=6尺，A,C,N在一•条直线上，CM3MN,从点A处望山谷底部M处时，视线经过8C上的点£

处，测得EC长为9尺1寸：将三角尺沿着射线C4方向向上平移3丈得到△AB'C',从A处望山谷底部M

处时，视线经过夕C'上的点b处，测得尸U长为8尺5寸.求山谷深CN为几丈.（注：1丈=10尺，1尺

=10寸）

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】

【例2】（2022•浙江金华•九年级期末）如图，小明在8：30测得某树的影长为16m,13：00时又测得该树

的影长为4m,若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（）

A.10mB.8mC.6mD.4m

【变式2-1］（2022•江苏徐州•中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB,其旁边有一个坡面CQ,

坡角4QCN=30。.在阳光下，小明观察到在地面上的影长为12Qcm,在坡面上的影长为180cm.同一时刻,

小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱的高度.

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】

【例3】（2022•山东临沂•二模）如图,£尸是一个杠杆,可绕支点。自由转动,若动力F动和隹力F阻的施力

方向都始终保持竖直向下，当阻力?阻不变时，则杠杆向下运动时手动的大小变化情况是（）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定

【变式3・1】（2019•全国•九年级专题练习）如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端

时，杠杆绕C点特动，另一端3向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆8端必须向上

翘10cm,已知杠杆上的力C与BC长度之比为5:1,则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压多少厘

【变式3-2】一根均匀的木棒。4所受重力G=1ON,小亮以木棒的一端O为支点，竖直向上将木棒的另一端

A缓慢拉到如图所示的位置，保持不动，此时拉力为凡若点8为OA的中点，AC,8。分别垂直地面于点

C,D,则根据杠杆平衡原理得拉力厂的大小为（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【变式3・3】（2021・甘肃白银•九年级期末）如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为

G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OAi时，拉力为Fi，过点BJ乍BiCEOA,

过点A］作A1D13OA,垂足分别为点C、D.在下列结论中：

①△0&C〜△。4。；（2）OA«OC=OB*OD；③OC・G=OD・Fi；@F=Fi，正确的是（）

C.①②③D-①②③④

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】

【例4】（2019•四川•成都市双流区立格实验学校九年级阶段练习）刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最

杰出的数学家之二《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.《海岛算经》第•

个问题的大意足：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高3丈的标杆BC和DE,两杆之问的

距离BD=1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A,点A、

C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A,E,G三点也成一线，试计算山峰的高度

AH及BH的长（这里古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，结果用步来表示）.

【变式4-1]（2022•陕西・武功县教育局教育教学研究室一模）千佛铁塔位于陕西省咸阳市之北杜镇，用纯

铁铸成，中空有梯可攀登，四角柱铸成金刚力士像，顶立层楼，各层环周铸铁佛多尊，故名“千佛塔”，此塔

为中国现存铁塔中最高的一座.某数学兴趣小组本着用数学知识解决实际问题的想法，欲测量该塔的高

度.如图，在点C处有一建筑物，小丽同学站在建筑物上，眼睛位于点。处，她手拿一支长0.5米的竹竿

EF.边观察边移动竹竿（竹竿石厂始终与地面垂直），当移动到如图所示的位置时，眼睛。与竹竿、塔的

顶端£、A共线，同时眼睛。与它们的底端尺6也恰好共线，此时测得ZBDC=63。，小丽的眼睛距竹竿

的距离为0.5米，小丽的眼睛距地面的高度CD=17米，已知DCLBC.请你根据以上测量结果

计算该塔的高度AB.【参考数据：tan63°«2]

【变式4-2］（2022•陕西•模拟预测）延安宝塔，是历史名城延安的标志，是革命圣地的象征，坐落在.陕西

省延安市主城东南的宝塔山景区内.周末，数学实践小组的同学带着测量工具测量延安宝塔的高度.测量

方案如下：首先，在A处竖立一根高4m的标杆A3,发现地面上的点。、标杆顶端8与宝塔顶端M在一条

直线上，测得40=4.3m；然后，移开标杆，在A处放置测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪高AC为1m

时，恰好测得点M的仰角为45。己知MNJ.N。，AB工ND,点D、A、N在一•条直线上，点A,C、B在一

条宜线上，求延安宝塔的高MM

【变式4・3】（2022•陕西西安・一模）“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的标志性建筑，

阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度.揽月阁前面有个高1米的平台，身高

1.8米的小强在台上走动，当小强走到点。处，小红蹲在台下点N处，其视线通过边缘点M和小强头顶点3

正好看到塔顶A点，测得CM=0.9米，然后小强从正前方跳下后，往前走到点E处，此时发现小强头顶尸

在太阳下的影子恰好和塔顶4在地面上的影子重合于点P处，测得NE=5米，EP=1米.请你根据以上数

据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度.

【题型5相似三角形的应用（树高问题）】

【例5】（2011•辽宁大连•中考真题）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了

如下的探索：根据光的反射定律，利用•面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7m

的点E处，然后观测考沿着百线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7m,

观测者目高CD=1.6m,则树高AB约是—.（精确到0.1m）

DEB

【变式5-1］（2021•全国•九年级专题练习）据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里,

木高九丈西尺，人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？〃

大意如下：如图，今有山力8位于树C”的西面.山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离

树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？（1丈=10

尺，结果精确到个位）

【变式5・2】（2022•全国•九年级单元测试）小明想用镜子测量•棵松树的高度，但因树旁有•条河，不能

测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好

在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m,

量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.请你求出松树的高.

【变式5-3］（2021•陕西宝鸡•一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的

大树，小华激动地说：妈妈，我可以通过测录您的影长，测得妈妈的影长。尸=1.6m.妈妈沿8。的方向到

达点尸处，此时小华测得妈妈的影长〃G=2m.已知妈妈的身高为1.6m（即CO=EF=L6m）,

CDH13G,求这棵大树的高度.

【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】

【例6】（2021・河北・石家庄市第四十一中学九年级期中）为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选

定一个目标记为点力，再在河的这一边选点B和点C,使得/18J.8C,CE1BC,设BC与4E交于点0,如图所

示测得8。=120m,DC=40m,EC=30m,那么这条河的大致宽度是（）

A

E

A.60mB.90mC.100mD.120m

【变式6-1］（2019•全国•九年级单元测试）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点A,在

近岸取点B,C,D,E,使点A,B,D在一条直线上，且AD团DE,点A,C,E也在一条直线上且DE回BC.如

果BC=24m,BD=12m,DE=40m,则河的宽度AB约为（

A.20mB.18mC.28mD.30m

【变式6-2］（2022•贵州毕节•二模）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸岸边每隔5m有一棵

树，小华站在离南岸20m的点”处看北岸，在两棵树之间的空隙中，恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾（假

设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内），已知龙舟的长为18.5m,若龙舟行驶在河的中心，且龙

\/南岸

7P

【变式6-3］（2022•陕西•西安工业大学附中九年级期中）为了力I快城市发展，保障市民出行方便，某市在

流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计

算该桥的长.如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选

出点3和点C,分别在43、AC的延长线上取点。、E,使得OEII8C.经测量，3C=120米，DE=210米,

且点E到河岸8c的距离为60米,已知AR28C于点尸，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥A尸的长度.

【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】

【例7】（2020•江苏无锡・九年级期中）一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1cm,面积为lcm?,

甲、乙两人分别按图①、②把它加工成一个正方形桌面，则①、②中正方形的面积较大的是（）

①②

A.①B.②C.一样大D.无法判断

【变式7-1］（2021•辽宁•沈阳市第七中学九年级期中）如图有一块直角边AB=4cm,BC=3cm的RtZkABC

的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（）

A.7c请

【变式7-2］（2019•浙江宁波•九年级期末）如图，已知在RM48c中，4C为直角，4C=5,8C=12,在RM4BC

内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在48上，依次这样往上叠放上去，则

第二层最多能叠放一个正方形小纸片.

【变式7-3］（2021•浙江台州•九年级期末）一块材料的形状是等腰（M8C,底边8c=120cm,高AD=120cm.

图1

⑴若把这块材料加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上（如图1）,

则这个正方形的边长为多少？

⑵若把这块材料加工成正方体零件（如图2,阴影部分为正方体展开图），则正方体的表面积为多少？

专题27.6图形的位似变换【八大题型】

【人教版】

"外妈宫巾

【题型I位似图形的相关概念辨析】............................................................13

【题型2判断位似中心】.......................................................................14

【题型3求位似图形的相似比】................................................................15

【题型4求位似图形的长度】...................................................................16

【题型5求位似图形的面积】...................................................................17

【题型6求位似图形的周长〕...................................................................18

【题型7求位似图形的坐标】..................................................................20

【题型8格点中作位似图形】..................................................................21

妙好泞，?三

【知识点1位似图形】

1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点。，且有OP'二

hOP（ZwO）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点0叫做位似中心

2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

3、画图步骤：

（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形

（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数人（2工0）,

所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为网

【题型1位似图形的相关概念辨析】

【例1】（2022•全国•九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两

个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△48C与△A'B'C'中，黑=需，/力=/〃，那么△

AHAC

ABC〜AAEU；④已知及位似中心O,能够作一个且只能作一个三角形与A4BC位似，使位似比为

2其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-1］（2022・江苏•九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（）

A.位似的图形都是相似的图形

B.相似的图形都是位似的图形

C.位似图形的位似比等于相似比

D.位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部

【变式1-2］（2022・四川达州•九年级期末）下列说法中正确的有（）

①位似图形都相似；

②两个等腰三角形一定相似；

③两个相似多边形的面积比是2:3,则周长比为4:9；

④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2,那么这两个矩形一定相似.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-3］（2022•山东青岛•九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②，立似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似

图形；

④，‘立似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.

正确的个数（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型2判断位似中心】

【例2】（2022•全国•九年级专题练习）如图，正方形OEFG和正方形45CD是位似图形，且点。与点G是一

对对应点，点。（2,2）,点G（0,1）,则它们位似中心的坐标是（）

C.(0,0)D.(-3,0)

【变式2-1］（2022•北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）

【变式2-2]（2022•全国•九年级单元测试）下列四边形4BCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心

是（）

A.点EB.点FC.点GD.点D

【题型3求位似图形的相似比】

【例3】（2022•湖北恩施•二模）如图，在边长为1的正方形网格中，0ABC与（3DE尸是位似图形，则

与叵。£产的相似比为（）.

【变式3-1]（2022•全国•九年级专题练习）如图,已知△4BC与△/）£1尸位似，位似中心为点O,△4BC的面

积与ZkOE尸面积之比为16：9,则C0:。尸的值为（）

【变式3-21.(2022・福建厦门•模拟预测)如图,把△408缩小后得到△COD,则△力。8与△CO。的相似比

为______

【变式3-3](2022•全国•九年级单元测试)△48C三个顶点4(3,6)、8(6,2)、C(2,-1),以原点为位似中

心，得到的位似图形三个顶点分别为4(1,2),B'(2,|),C(|,-1),则AAB'C'与△48C的位似比是

【题型4求位似图形的长度】

【例4】(2022,重庆•一模)如图,△ABC与ADEF是位似图形,且位似中心为O,OB:OF=3⑵若线段4c=9,

则线段OE的长为()

A.2B.4C.6D.8

【变式4-1](2022•全国•九年级专题练习)如图，已知团ABC与国VBC是以坐标原点0为位似中心的位似图

形，且**=：，若点A(-1,0),点C(：,1),则A'C'=

OAl22

【变式4-2］（2022•全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系中，已知A（6,3）、8（6,0）两点，以坐标原点。

为位似中心，相似比为；，把线段AB缩小后得到线段则A，B%勺长度等于.

【变式4-3］（2022•全国•九年级课时练习）如图，在矩形A8C0中，AB=S,BC=4.若矩形AEFG与矩形

ABCD位似,点尸在矩形48co的内部，且相似比为3:4,则点C、尸之间的距离为.

D----------------1c

G--------------IF

AEB

【题型5求位似图形的面积】

【例5】（2022・河北•石家庄外国语教育集团九年级阶段练习）如图，△力8。与4力0?成位似图形，位似中

心为点4若AD:A8=1:3,则△ADE与AABC面积之比为（）

A.1:2B.1:3C.1:9D.1:16

【变式5-1］（2022•重庆市巴川中学校八年级期末）如图，与△/'夕C'位似，位似中心为点O,OA'=

2AAf,△/BC的面积为9,则△4B'C'面积为（）

A.4B.6D.-

【变式5-2］（2022•全国•九年级谡时练习）如图，已知1388（；〃的面积为24,以％为位似中心，作的

位似图形回砥“，位似图形与原图形的位似比为j连接AG、OG.则的面积为

【变式5-3］（2022•全国•九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形AiOiGAz与正方形42。2c2H3

是以。为位似中心的位似图形，且位似比为，点4,4，仆在工轴上，延长43c2交射线OB1与点％，以为

边作正方形4383c344；延长交射线。当与点也，以/I4B4为边作正方形4B4c4/：…按照这样的规律继

续下去,若。=1，则正力形力202182021。202242022的面积为-

【题型6求位似图形的周长】

【例6】（2022•浙江温州•二模）如图，已知园48c与配陀”是位似图形，O是位似中心，若。人=20/）,则助BC

与ROEF的周长之比是（）

A

A.2：1B.3:1C.4：1D.6:1

【变式6-1］（2022•全国•九年级专题练习）如图，四边形4BC。与四边形EFGH位似，位似中心是O,若

OA：OE=1：3,且四边形ABCO的周长为4,则四边形EFG”的周长为（）

C.20D.24

【变式6-2］（2022•重庆南岸•九年级期末）如图，已知（MBC与眈所位似，位似中心为点O,OA：0/）=1：

3,且出WC的周长为2,则团OEr的周长为（）

C.8D.18

【变式6-3］（2022•全国•九年级课时练习）如图,ZMBC与ADEF位似,点O是位似中心.若。4:40=2:3,

△DE/与△A8C的周长差为12cm,则△ABC的周长为（）

D

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【题型7求位似图形的坐标】

【例7】（2022•河北•泊头市教师发展中心九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（-4,2）,

B（-2,-2）.以坐标原点。为位似中心把财04缩小得到财财/08/与财的位似比为;，则点A的

在平面直角坐标系中，以原点。为位似中心，将AAOB缩小为

原来的点得到△C。。，若点A的坐标为（4,2）,则AC的中点E的坐标是

【变式7-2］（2022・全国•九年级专题练习）如图，△ABC中,48两个顶点在“轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以

点C为位似中心，在x轴的下方作A/BC的位似图形△AB'C,并把△48C的边长放大到原来的2倍.设点8的

对应点夕的横坐标是m,则点8的横坐标是（）

A.-g(m+3)B.-/m+1)C.—(rn.-1)D.—

【变式7-3］（2022•山东・胶州市初级实验中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形O/WC与正

方形OQE尸是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3,点6、E在第一象限，若点A的坐标为（4,0）,

则点E的坐标是.

【例8】（2022•辽宁抚顺・二模）如图，在平面直角坐标系中，0X8C的三个顶点分别为人（-2,2）,4（-

⑴画出0ABC关于x轴对称的财源。；

（2）以坐标原点O为位似中心，将汕8c缩小为原来的%得到△/B'C',使a48c与△4'B'C'位于位似中心两

侧，请在平面直角坐标系中画出

⑶设出WC与团△%夕C'的周长分别为12,贝%:l2=.

【变式8-1］（2022•河南南阳•九年级期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1,点。和△ABC

的顶点均为小正方形的顶点.

(1)以。为位似中心，在网格图中作△A'8'C',使△48(“和△A8C位似,且位似比为1：3.

(2)证明△4BC'和△4BC相似.

【变式8-2](2022•浙江宁波•九年级专题练习)如图，9X9的方格都是由边长为1的小正方形绍成.团ABCD

的顶点都在格点上，请按以下要求在图1,图2中画出相应的格点图形(顶点均在格点上).

⑴画出画48CD绕点人旋转得到的山IB'。'。'，使得点B落在边8c上.

(2)请以4为位似中心，作与团48CD的面积比为祁J位似图形目力EFG.

4

【变式8・3】(2022•山西吕梁•九年级期末)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶

点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形.

图①

⑴任图②中，请在网格中画一一个与图①团48c相似的回。EA

⑵在图③中，以O为位似中心，画一个0A/8/。，使它与的位似比为2：1.

专题27.6图形的位似变换【八大题型】

【人教版】

旦无力

【题型1位似图形的相关概念辨析】.............................................................13

【题型2判断位似中心】.......................................................................14

【题型3求位似图形的相似比】.................................................................15

【题型4求位似图形的长度】...................................................................16

【题型5求位似图形的面积】...................................................................17

【题型6求位似图形的周长】...................................................................18

【题型7求位似图形的坐标】...................................................................20

【题型8格点中作位似图形】...................................................................21

”若A女三

【知识点1位似图形】

1、定义:一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P'所在的直线都经过同一点O,

且本OP'=k・OP（k¥。）,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点。叫做位

似中心

2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比

3、画图步骤：

（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出

新图形

（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一

个数Z（女工0）,

所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为网

【题型1位似图形的相关概念辨析】

【例1】（2022•全国•九年级专题练习）下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比

的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△48C与△A夕L中，

搐=痣，/力=44,那么AABC〜△AB'C'；④己知AABC及位似中心。，能够作一个

且只能作一个三角形与△ABC位似，使位似比为2其中真命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可.

【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；

②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；

③正确.根据两边对应成比例且夹角相等的两个二角形相似可得：在回ARC与团AWU中，黑=

痣，13A=13A',刃口么0ABCE0A'B'C'；

AC

④错误，因为已知0ABe及位似中心。，能够作两个三角形与回ABC位似，且位似比为2.

故选：C.

【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记

性质概念是解题的关键.

【变式1-1］（2022・江苏•九年级专题练习）下列语句中，不正确的是（）

A.位似的图形都是相似的图形

B.相似的图形都是位似的图形

C.位似图形的位似比等于相似比

D.位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部

【答案】B

【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可.

【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意；

B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意；

C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意；

D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键.

【变式1-2］（2022•四川达州•九年级期末）下列说法中正确的有（）

①位似图形都相似；

②两个等腰三角形一定相似；

③两个相似多边形的面积比是2:3,则周长比为4:9；

④若一个矩形的四边形分别比另一个矩形的四边形长2.那么这两个矩形一定相似.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据位似变换的概念、相似多边形的判定定理和性质定理判断.

【详解】解：①位似图形都相似，本选项说法正确；

②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；

③两个相似多边形的面积比是2：3,则周长比为a：75,本选项说法错误；

④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2,那么这两个矩形对应边的比不一定相

等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；

团正确的只有①；

故选:A.

【点睛】本题考查的是位似变换、相似多边形的判定和性质，掌握位似变换的概念、相似多

边形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【变式1-3]（2022•山东雪岛•九年级单元测试）关于对位似图形的4个表述中：

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这

两个图形是位似图形；

④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.

正确的个数（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可.

【详解】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是用似图形，①错误；

位似图形一定有位似中心，②正确；

根据位似的定义，除上述条件还需有对应边平行，或位于同•条直线上，③错误；

反例如下图，团ABC能）AiBiJ,并且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点Bn但是这

两个三角形不是位似图形.

位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误.

故选A.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似

图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图

形，这个点叫做位似中心.注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一

点；③对应边平行.

【题型2判断位似中心】

【例2】（2022•全国•九年级专题练习）如图，正方形OE2和正方形48CD是位似图形，且

点。与点G是一对对应点，点。（2,2）,点G（0,1）,则它们位似中心的坐标是（）

A.(-2,0)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-3,0)

【答案】A

【分析】根据两个位似图形对应顶点所在的直线相交于一点，交点就是位似中心，可得连接

QG并延长，其与x轴交点即为位似中心，用待定系数法求出直线。G解析式，即可求解.

【详解】解；连接OG并延长交x轴于

0点。与点G是一对对应点，

则可知两个位似图形在位似中心的同旁，位似中心就是点M,

设直线OG解析式为；y=kx+b,

将。(2,2),G(0,1)代入得：

(2k+b=2

Ib=l

解得：［k=2,

力=1

团直线OG解析式为y=：%+1,

令v=0,可得：x=—2,

0)

即位似中心的坐标是(一2,0).

故选A.

【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求•次函数，熟练掌握位似

中心的定义是解题的关键.

【变式2-1］（2022•北京师大附中九年级阶段练习）图中的两个三角形是位似图形，它们的

位似中心是（）

A.点PB.点。C.点MD.点N

【答案】A

【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心.即位似中心一

定在对应点的连线上.

【详解】点尸在对应点M和点N所在直线上，

回两个三角形的位似中心是：点P.

故选A.

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

【变式2-2］（2022•全国九年级单元测试）下列四边形48CD和四边形EFG。是位似图形，

它们的位似中心是（）

A.点EB.点FC.点GD.点D

【答案】D

【分析】利用位似图形的对应点的连线都经过同一点进仃判断.

【详解】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D.

故选D.

【点睛】本题考查了位似变换：两位似图形的对应点的连线都经过同一点：对应边平行.

【变式2-3］（2022•江苏•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩

形"CD与矩形E尸GO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点8、户的坐标分别为（-4,

4）、（2,1）,则位似中心的坐标为（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（0,4）

【答案】B

【分析】如图，连接B尸交,轴于尸，根据位似图形的定义可得点尸为位似中心，根据点从

户坐标可得点C、G坐标，可得CG的长，根据相似三角形的性质可求出GP的长，即可求

出点。的坐标.

【详解】如图，连接8尸交y轴于P,

回矩形ABC。与矩形EFG。是位似图形，位似中心在），轴上，点8、尸为对应点，

团点P为位似中心，

团四边形48。。和四边形比PO是矩形，点8,r的坐标分别为（-4,4）,（2,1）,

团点。的坐标为（0,4）,点G的坐标为（0,1）,BC=4,GF=2,OG=1,

0CG=3,

^BC^GF,

同团BCPI0FGP,

曜PC=穿BC=32PC=CG-PG,

解得：GP=1,

团OP=OG+GP=2,

团点尸的坐标为（0,2）,

故选：B.

【点睹】本题考查位似图形的定义、相似三角形的判定与性质，理解位似图形的定义、熟练

掌握相似三角形的判定定理是解题关键.

【题型3求位似图形的相似比】

【例3】（2022•湖北恩施•二模）如图，在边长为1的正方形网格中，龈3c与国DEF是位似

图形，则0ABe与团OEr的相似比为（）.

A

A.2B.-C.TD.2

【答案】D

【分析】0ABC与田。石尸是位似图形，所以（MBQHWM,根据勾股定理求出4B和。E即可

解答.

【详解】解：西A3C与团OEF是位似图形，

W^BC^DEF,

由图可知ABW22+22=2后.DE=\/”+M=a.

喂=箸=2

团财BC与团QEr的相似比为2,

故选：D.

【点睛】本题考查位似图形的性质.

【变式3-1】（2022•全国•九年级专题练习）如图，已知A48c与ADEF位似，位似中心为点

O,△48。的面积与面积之比为16：9,则C。:OF的值为（）

【答案】C

【分析】根据位似图形的概念得到ACW印,进而证明△AOCIWWM根据相似二角形的性

质解答即可.

【详解】解:0HABC与ADE尸位似,

^LABC^DEF,AC^DF,

团ZkABC的面积与AOE”面积之比为16：9,

喘=/

^AOC^DOF.

胖="=々，

OFDF3

故选：c.

【点睛】本题考查的是位似图形、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比

的平方是解题的关键.

【变式3-2].(2022•福建厦门•模拟预测)如图，把△力OB缩小后得至I"COD,则AAOB与

△COO的相似比为.

【答案】5:2

【分析】根据位似变换的性质，三角形的相似比等于黑=|即可得出结论.

【详解】解:如图所示,D(2,0)、8(5,0),

•••}£△4。8缩小后得至COD,

•••位似比为界=则44。8与乙COD的相似比为5:2,

故答案为:5:2.

【点睛】本题考查的是位似变换的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点

为位似中心，相似比为匕那么位似图形对应点的坐标的比等于火或-女是解题的关键.

【变式3-3](2022・全国•九年级单元测试)ZkA