2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）专题36 勾股定理章末测试卷（拔尖卷）含解析

2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列第3章勾股定理章末测试卷

（拔尖卷）

【苏科版】

考试时间：60分钟；满分：100分

姓名：班级：____________考号：

考卷信息：

本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖

面厂，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2021春•黔南州期末）已知△A8C的三边长分别为a,b,c,由下列条件不能判断aABC是

直角三角形的是（）

A.NA=2N8=3NCB.ZA=ZC-ZB

C.azh：c=3：4：5D.（?=（b+c）（b-c）

2.（3分）（2021春•金寨县期末）如图，AABC中，ZC=90°,4。平分NMC,4H=5,AC=3,则

B。的长是（）

A.2B.3.5C.3D.2.5

3.（3分）（2021春•平定县期末）如图，在△ABC中，NB=90°,AB=2,BC=4.四边形AOEC是正

方形，则正方形AOEC的面积是（）

C

A.8B.12C.18D.20

4.（3分）（2021•迁西县模拟）如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°

方向走了8海里，到达3地，然后再从3地走了6海里到达C地，此时快艇位于8地的（)

A.北偏东20°方向上B.北偏西20°方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

5.（3分）（2021•河南模拟）如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案,

现在有五种正方形纸片，面积分别是2,3,4,5,6,选取其中三块（可重复选取），按加图所示方式

组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（）

6.（3分）（2021春•西城区校级期中）如图，在4X4的正方形网格中，每一格长度为1,小正方形的顶

点称为格点，4,B,C,D,E,尸都在格点上，以A8,CD,EF为边能构成一个直角三角形，则点尸的

位置有（）

C.3处D.4处

7.（3分）（2021春•饮州期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3,4,5）,（5,12,13）,

（7,24,25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规

律：若机是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么〃，与这两个整数构成组勾股数；若机

是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1,加1得到两个整数，那么机与这

两个整数构成组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由"?生成的勾股数”.根据以上规律，“由8

生成的勾股数”的“弦数”为（）

A.16B.17C.25D.64

8.（3分）（2020秋•偃师市期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径人4=票“〃，高4c=12。〃，P为BC

的中点，一只蚂蚁从八点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最更距离为（）

A.9s“B.10。〃C.11cmD.12cw

9.（3分）（2021•长沙模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算

法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾

记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静

止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为

5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（）

A.10尺B.14.5尺C.13尺D.17尺

10.（3分）（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接

而成，记图中正方形A8CQ,正方形EFG”，正方形MNPQ的面积分别为Si,S2,S3,若S+S2+S3=45,

则S2的值是（）

15.（3分）（2021春•平定县期末）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为I,点4,B,

三.解答题（共7小题，满分52分）

17.（6分）（2021春•泸州期末）如图，己知△/1AC中，AB=AC,BC=5,。为AB上一点，CQ=4,BD

=3.

（1）求证：ZBDC=90°；

（2）求AC的长.

18.（6分）（2021春•南昌期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去网（读k

un,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广儿何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），

今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB的距离QE为1尺（1尺=10寸），双门间的缝隙CD为2

寸，求门宽AB的长是多少寸？

Si图2

19.（8分）（2021春•阳东区期末）已知：如图，在中，NACB=90°,AB=5cm.AC=3cm,

动点P从点B出发沿射线BC以\cmls的速度移动，设运动的时间为ts.

（1）求边的长；

（2）当△A4P为直角三角形时，求，的值.

备用图

20.（8分）（2020秋•南海区期末）在△48C中，

（1）如图I,AC=15,AO=9,CD=\2,8c=20,求△ABC的面积;

21.（8分）（2021春•巩义市期末）如图，学校操场边有一块四边形空地48C。，其中A8_LAC,

BC=17〃?，CD=9〃i,AD=\2m.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行

绿化整理.

（1）求需要绿化的空地A8CQ的面积:

（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE,且AE_LBC于点E,试求小路AE的长.

22.（8分）（2020秋•项城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼

图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：

两个全等的直角三角板ABC和直角三角板。E凡顶点尸在BC边上，顶点C、。重合，连接入石、EB.设

48、DE交于点、G./ACB=/DFE=9（）°,BC=EF=a,AC=DF=b（a>b）,AB=DE=c.请你回

答以下问题：

（1）填空：AGE—,S四边形（2.

（2）请用两种方法计算四边形AC3E的面积，并以此为基础证明勾股定理.

E

a

C（D）FB

23.（8分）（2021春•安庆期末）如图是5X6的网格.

-----1---1----1---1----1-r|----1----1-----1----V----1---1

J1J•।।।•।|J।।।

!\11111'111011

!।\।।।■|行；।।।।।।

-T-r-1■-»►-T-K^i---P-|

।।O1111*।।।।।।

图⑴图（2）

（1）如图（1）,A,B,C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC的数量和位置

关系，直接写出结论，不需要说明理由；

（2）如图（2）,求N1+22的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）.

第3章勾股定理章末测试卷（拔尖卷）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2021春•黔南州期末）已知△ABC的三边长分别为db,c,由下列条件不能判断△A8C是

直角三角形的是（）

A.NA=2N8=3/CB.NA=NC'-/8

C.atb：c=3：4：5D.cT=（b+c）（b-c）

【解题思路】根据三角形的内用和定理求出/A的度数，即可判断选项A：根据三角形内角和定理求出

NC的度数，即可判断选项及根据勾股定理的逆定理判定选项。和选项O即可.

【解答过程】解：设△A8C中，NA的对边是a,N8的对选是4/C的对边是c,

4.VZA=2ZB=3ZC,

11

VZA+Z5+ZC=180°,

・・・NA+/NA+2NA=18O°,

，…1080

解得：NA=（^y）°,

1•△A8c不是直角三角形，故本选项符合题意；

B.VZA=ZC-ZB,

；・ZA+ZB=ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

A2ZC=180°,

.*.ZC=90°,

•♦.△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

C.Va：b：c=3：4：5>

.\cr+b2=（r,

AZC=90°,

•••△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；

》・,/=（力+c）（b-c）,

a2=/72c2»

22

即a+（r=bf

••・NB=90°,

•••△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意：

故选：A.

2.（3分）（2021春•金寨县期末）如图，△ABC中，ZC=90°,平分N84C,AB=5,AC=3,则

【解题思路】过。作。A"于2，根据勾股定理可得3C，根据角平分线性质可得。£=QC,根据二角

形面积公式求出CD,即可求出8D.

【解答过程】解：如图，过。作。E_L4B于E,

:.BC=y/AB2-AC2=>/52-32=4,

•・・A。平分/8AC,

:.DE=DC，

\'SMBC=%C・BC=%C・CO+%8・OE,即gx3X4=1x3CD+|x5CD,

解得C/）=I5

，4O=4-CD=4-1.5=2.5.

故选：D.

3.（3分）（2021春•平定县期末）如图，在4A3c中，ZB=90°,AB=2,BC=4.四边形AQEC是正

方形，则正方形AOEC的面枳是（）

A.8B.12C.18D.20

【解题思路】在△ABC中，通过勾股定理得4:2=20,从而解决问题.

【解答过程】解：在△A3C中，/8=90。，

由勾股定理得：AC2=AB2+BC1=22+42=20,

•・•四边形AOEC是正方形，

***S正方形A=/SC=AC~=2°，

故选：。.

4.（3分）（2021•迁西县模拟）如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°

方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于8地的（）

A.北偏东20°方向上B.北偏西200方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

【解题思路】由4c=10海里，48=8海里，4c=6海里得4:2=人32+8呼，根据勾股定理的逆定理得到

/A3c=90°,再利用平行线的性质和互余的性质得到N1,求得/2.

【解答过程】解：如图，过点8作

♦・・AC=10海里,A6=8海里,BC=6海里,

：.AC2=AB2+BC2,

・•・△ABC为直角三角形，即NA8C=90°,

又•・•8点在A的北偏东70°方向，

AZ1=90°-70°=20°,

AZ2=Z1=2O°,

即C点在B的北偏西20°的方向上.

5.（3分）（2021•河南模拟）如图所示是用三块止方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案,

现在有五种正方形纸片，面积分别是2,3,4,5,6,选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式

组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（）

【解题思路】如果三角形的三边长b,c满足。2+庐=62,那么这个三角形就是直角三角形.依据三角

形各边的平方是对应的各个正方形的面积进行判断即可.

【解答过程】解：由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，

•・•所围成的三角形是直角三角形，

・•・斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和，

又・・・3+4W5,2+2=4,3+3=6,2+4=6,

・•・选取的三块纸片的面积不可以是3,4,5,

故选：A.

6.（3分）（2021春•西城区校级期中）如图，在4X4的正方形网格中，每一-格长度为1,小正方形的顶

点称为格点，4,B,C,D,E：尸都在格点上，以AB,CD,E尸为边能构成一个直角三角形，则点尸的

位置有（）

D

A.1处B.2处C.3处D.4处

【解题思路】先利用勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足A32+CZ）2=E尸或

CD2+EF2=AB2,即为直角三角形，解出E尸的长，进而得出点尸的位置.

【解答过程】解：由题意可得，CD=2,AB=V2^T3^=>/13.

•・•以A8,CD,Eb为边能构成一个直角三角形，

：.AB2+CD2=EF1VS.CD2+EF2=AB2,

即13+4=石尸或4+七产=13,

解得EF=07或3,

尸点的位置如图所示.

7.（3分）（2021春•钦州期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3,4,5）,（5,12,13）,

（7,24,25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规

律：若小是大于I的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么，〃与这两个整数构成组勾股数；若相

是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1,加II得到两个整数，那么〃?与这

两个整数构成组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由川生成的勾股数”.根据以上规律，“由8

生成的勾股数”的“弦数”为（）

A.16B.17C.25D.64

【解题思路】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案.

【解答过程】解：•••由8生成的勾股数”的“弦数”记为A,

8

:.（一）29=16,16-1=15,16+1=17,

2

故A=17,

故选:B.

8.（3分）（2020秋•偃师市期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径44=票。〃，高8c=12cm,P为BC

的中点，一只蚂蚁从4点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最班距离为（）

A.9cmB.10c/?zC.11c/??D.\2cm

【解题思路】把圆柱的侧面展开，连接AP,利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的

最短距离.

【解答过程】解：已知如图：

•・•圆柱底面直径月8=票。以母线3c=12o〃，0为4c的中点，

8

，圆柱底面圆的半径是一cm,BP=6cm,

71

1o

.\AB=亍x2x-xIT=8（7??,

Z71

在中，AP=VAB2+PB2=V82+62=10（cw）,

・•・蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm,

9.（3分）（2021•长沙模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算

法统宗》中有一•道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾

记.仕女佳人争蹴，”朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算山索长有几？”译文；“有一架秋千，当它静

止时，踏板离地1尺，将它往前推送1（）尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为

5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（）

A.10尺B.14.5尺C.13尺D.17尺

【解题思路】设绳索有大尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果.

【解答过程】解：设绳索有工尺长，

则102+（x+1-5）2=7,

解得：x=14.5,

即绳索长14.5尺，

故选：B.

10.（3分）（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接

而成，记图中正方形/WC7）,正方形E/G”,正方形A/NPQ的面积分别为Si,S2,S3,若S+S2+S3=45,

则52的值是（）

A.12B.15C.20D.25

［解题思路】设每个小直角二帝形的面积为小，贝ISi=4，〃+&,S3=S24/H,依据SI+S2+S3=45,可得

4M+S2+S2+S2-4〃?=45,进而得出S2的值.

【解答过程】解：设每个小直角三角形的面积为m,则Si=Sn+S2,53=52-4/n,

V5i+52+53=45,

：.4m+S2+S2+S2~4/n=45,

即3s2=45,

解得S2=15.

故选:B.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2020秋•武侯区校级月考）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成

的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,），表示直角三角形的两直角边（X

〉），），则xv=22.5.

【解题思路】根据勾股定理列出方程，进而利用各图形面积的关系列式解答即可.

【解答过程】解：根据勾股定理可得：，+）2=49,（x-y）2=*

可得：49-2xy=4,

解得：到=22.5,

故答案为：22.5.

12.（3分）（2021春•广安期末）如图，已知四边形A,B,C,D,七都是正方形，图中所有的三角形都

是直角三角形.若正方形4,B,力的面积依次为4,6,15,则正方形C的面积为5.

【解题思路】由题意可知：SA+SB=SE,SC^SE=S/）,代入计算即可.

【解答过程】解：由题意可知：SA+SB=SE,SC+SE=SD,

•・•正方形A,B,。的面积依次为4,6,15,

•\SC=SD-SA-SB=\5-6-4=5,

故答案为：5.

13.（3分）（2021春•保山期末）在直角三角形A8C中，若48=8,AC-BC=2,则三角形A8C的面积

为15或60.

【解题思路】①当AB=8是斜边时，根据勾股定理得到AC2+8C2=AB2=64,求得AC・4C=30,根据三

角形的面积公式即可得到结论；②当4c为斜边时，由已知条件得到AC=BC+2,根据勾股定理得到

=15,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答过程】解：①当人8=8是斜边时，

^\AC2+BC2=AB2=64,

,：AC-BC=2,

；・（AC-BC）2=AC2+BC2-2AC*BC=4,

：.AC-BC=3O,

・•・三角形ABC的面积=%C・BC=15；

②当AC为斜边时，

'：AC-BC=2,

：,AC=BC+2,

\'AC1=AB2+BC2,

・•・（BC+2）2=82+BC2,

；・三角形ABC的面积=聂8・8C=1x8X15=60,

综上所述，三角形A8C的面积为15或60,

故答案为：15或60.

14.（3分）（2021春•环江县期末）如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度即=1〃?，将它往前推6〃?至

C处时，水平距离。。=6机，踏板离地的垂直高度CF=4/n,它的绳索始终拉直，则AC的长是，〃7.5.

【解题思路】设秋千的绳索氏为m?，根据题意可得AC=（x-3）m,利用勾股定理可得f=6?+（x-3）

2

【解答过程】解：设秋千绳索AB的长度为x〃?，

由题意可得4C=4B=x〃?，

四边形OCFE为矩形，BE=1/w,DC=6m,CF=4m,DE=CF=4m,

：,DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m,

在RtZXA。。中，AD2+DC2=AC2,

即（x-3）2+62=X2,

解得x=7.5,

即AC的长度为75m,

故答案为：7.5.

15.（3分）（2021春•平定县期末）如图所示的网格是正方形忖格，每个小正方形的边长均为1,点A,D,

C,Z）都在格点上，则ND48+/C4B的度数是45度.

D

/

/—C

N-----

AB

【解题思路】作C点关于AB的对称点E,连接DE,利用勾股定理得出AD,DE,AE的长，进而利用

勾股定理的逆定理解答即可.

由勾股定理得：AD=V22+32=A/13,DE=V22+32=713,AE=Vl2+52=V26,

：.AD1+DE2=AE1,

・•・是直角三角形,

,:AD=DE,

：.ZDAE=45°=/DAB+/BAE=/DAB+/CAB,

故答案为：45.

16.(3分)(2021春•睢阳区期末)如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽40cm,长50c/n.一只蚂蚊从A点

爬到8点，最短路程是130口〃.

【解题思路】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.

【解答过程】解：如图所示，

,它的每一级的长宽高为20c〃i,宽40cm,长50c〃?，

・・・A8=J502+[2x(20+40)F=130(cm).

答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点8的最短路程是130a儿

故答案为：130cm.

三.解答题(共7小题，满分52分)

17.(6分)(2()21春•泸州期末)如图，己知△/1BC中，AB=AC,BC=5,D为AB上一点、,CO=4,BD

(1)求证：ZBDC=90°；

(2)求4。的长.

D

BC

【解题思路】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可；

（2）根据勾股定理求出4c即可.

【解答过程】（1）证明：・・・BC=5,CQ=4,BD=3,

/.42+32=52,

・・・N4QC=90"；

（2）解：在RtZ\AOC中，ZADC=180°-90°=90°,

依题意有（AB-3）2+CD2,即AC?=（AC-3）2+42,

解得AC=符.

故AC的长为片.

6

18.（6分）（2021春•南昌期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去闹（读k

un,门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广儿何？题目大意是：如图1、2（图2为图I的俯视示意图），

今推开双门，门框上点C和点。到门槛44的距离QE为1尺（1尺=10寸），双门间的健隙CO为2

寸，求门宽人"的长是多少寸？

【解题思路】取的中点O,过D作DE工ABTE,根据勾股定理解答即可得到结论.

【解答过程】解：取的中点O,过。作。于E,

由题意得：OA=OB=AD=BC,

设OA=OB=AD=13C=r>]■,

则A8=2r（寸），OE=10寸，。£=£。。=1寸，

：.AE=(r-1)寸,

在RtZXAOE中，

AE2+D£?=AD2,即（r-1）2+102=^,

解得：「=50.5,

/.2r=101（寸），

：.AB=\0\寸，

答：门宽AB的长是101寸.

19.（8分）（2021春•阳东区期末）已知：如图，在RlZ^ABC中，NACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,

动点P从点B出发沿射线BC以lends的速度移动，设运动的时间为/.v.

（1）求4C边的长；

备用图

【解题思路】（1）由勾股定理求解即可；

（2）①由题意得：BP=tcm,分两种情况：①当NAPB=90°时，点P与点C重合，则8P=AC=4cm

得r=4；

②当NBA尸=90°时，CP=（；-4）cm,在RtZ\ACP和RlZSAB尸中，由勾股定理得：AP2=AC1+CP1=

BP2-AB2,Bp32+（/-4）2=?-52,求解即可.

【解答过程】解：（1）在RtAABC中，由勾股定理得：BC=y/AB2-AC2=V52-32=4（cm）；

（2）由题意得：BP=tcm,分两种情况：

①当NAPB=90°时，如图1所示：

点P与点C重合，

；・BP=BC=4cm,

/./=4；

②当N84P=90°时，如图2所示：

MCP=（r-4）cm,NACP=90°,

在RlZXACP中，由勾股定理得：AP1=AC2+CP2,

在RlZ\AB尸中，由勾股定理得：AP1=BP2-AB2,

：.AC2+CP2=BP2-AB2,

即32+（r-4）2=?-52,

解得：仁竽；

25

综上所述，当3P为直角三侑形时，，的值为4s或;-s.

4

图2

20.(8分)(2020秋•南海区期末)在△A8C中，

(1)如图I,4c=15,AQ=9,CD=12,BC=20,求△ABC的面积;

(2)如图2,AC=13,BC=20,AB=lh求△/WC的面积.

【解题思路】（1）已知△ADC三边的长度，运用勾股定理E勺逆定理首先证出CD14B,然后在直角△

DC8中，应用勾股定理求出4D,则人8=人。+町），最后根据三角形的面积公式得出△/WC的面积；

（2）过C作CQ_L/3A的延长线于点。，利用勾股定理得出从。的长，进而得出C。的长解答即可.

【解答过程】解：（1）;。。2+4£>2=144+81=225,AC2=225,

：，CD1+AD1=CA1,

•••△△AOC是直角三角形,

AZADC=90°,

：.CDLAI3,

AZADC=90°,

：.BD=VBC2-CD2=16,

：.AB=AD+DB=\6+9=25,

・•・MBC的面积二1X25X12=150；

(2)过C作CDLBA的延长线于点/),

CDLAB,

・・・NCOB=90°,

设A。为x,DB=（x+11）,由勾股定理得：CQ2=A（?2-A》，CD2=BC2-DB2,

即AC2-AD1=BC2-DB2,

则13?・『=2（）2・（x+11）2,

解得：x=5,

Z.CD=yjAC2-AD2=V132-52=12,

・•・AABC的面积=yAB*CD=1xllX12=66.

21.（8分）（2021春•巩义市期末）如图，学校操场边有一块四边形空地A8CD,其中AB_LAC,48=8加,

BC=l7m,CD=9m,AD=\2m.为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行

绿化整理.

（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；

（2）为方便师生出入，设计了过点八的小路AE,且于点E,试求小路人E的长.

【解题思路】（1）由勾股定理求出AC=15〃?，再由勾股定理的逆定理证出△ACO是直角三角形，ND

=90°,然后由三角形面积公式求解即可；

（2）由三角形的面积公式求解即可.

【解答过程】解:（1）VAB1AC,

・・・NBAC=90°,

：.AC=y/BC2-AB2=V172-82=15Cm）,

VCD=9/n,AO=l2/〃,

：.AD2+CD2=\21+92=225=AC2,

・•・△ACO是直角三角形，ND=90°,

・••需要绿化的空地ABCD的面积=S&ABC+S&ACD=AC+CD=ix8X154-1x12X9=114

乙乙乙乙

（m2）；

（2）VZBz4C=90°,AE1.BC,

11

:・SSBC=^BCXAE=

A17X4E=8X15,

解得：AE=（/〃），

120

即小路AE的长为---m.

17

22.（8分）（2020秋•项城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼

图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：

两个全等的直角三角板A8C和直角三角板QE凡顶点尸在BC边上，顶点C、。重合，连接AE、EB.设

AB、DE交于点、G.NACB=/DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b（a>b）,AB=DE=c.请你回

答以下问题：

（1）填空：z^AGE=909S四立/ADBE=_c2.

乙

（2）请用两种方法计算四边形ACHE的面积，并以此为基础证明勾股定理.

E

【解题思路】⑴根据全等三角形的性质得到NE。尸=/C48,求得NACE+NC48=90°,得到NAGC

=90°,根据垂直的定义得到根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形AC8石的面积，于是得到结论.

【解答过程】解：（1）:△ABC丝△£）£/,

：.ZEDF=ZCAB,

ZEDF+ZCAE=90°,

••・NACE+NC4B=90°,

AZAGC=90°,

・・・N4GE=1800-NAGC=9Q"；

：.DELAB,

S四边形AO8E=SA4CB+5ZS48E=DG+EG=4AB.(DG+EG)=^AB*DE=1c2,

1

故答案为:90,-：

(2)二•四边形ACBE的面积=S“C8+S/M8£=y8・QG+y8・EG=14小(DG+EG)=^AB*DE=1c2,

四边形ACBE的面积=5四边形ACFE+S公EFB=g义(AC+EF)・CF+/F・EF=G(b+a)/?+1(a-b)・a=

乙乙乙乙

手1广2+

.1)19.1,9

•宠=2矿+于，

即(r+b1=c2.

23.（8分）（2021春•安庆期末）如图是5X6的网格.

图⑴图（2）

（1）如图（1），A,B,C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断4c与BC的数量和位置

关系，直接写出结论，不需要说明理由；

（2）如图（2）,求N1+N2的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）.

【解题思路】（I）构造直角三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可得到AC与8C

的数晟和位置关系；

（2）构造全等三角形，将N2转化为NAC8,再根据勾股定理及其逆定理，即可得到N1+/2的度数.

【解答过程】解：（1）AC=2C且AC_LBC.理由：

如图（1）,，：CD=BE,NADC=/CEB=90",AD=CE,

:,△ACD/XCBE（SAS）,

:・AC=CB,4ACD=4CBE,

又・・・/(78£：+/3。£：=90°,

/.ZACD+ZBCE=90°,

AZACB=180°-90°=90°,

图⑴图⑵

(2)如图(2),作△AAC,ADEF,

•:BC=FE,NABC=NDFE,AB=DF,

:.△NOXDFE(SAS),

・•・ZACB=ZDEF=Z2.

由图，结合勾股定理，得

AC=V2?+l2=\/5,DC=x/47+27=2修，AO=5,

r.Ae+DC2=5+20=25=加，

・•・△ACO是直角三角形，且NACQ=90°.

VZ2+ZACD+Z1=180°,

.•.Zl+Z2=180°-ZACD=180°-90°=90°.专题4.1平方根

■重难点题型

【苏科版】

”与0否勿

。亦千一更三

【知识点1平方根的概念及表示】

①定义：如果好=。（。20）,那么工叫做a的,也称为.

②表示方法：正数。的正的平方根记作标，负的平方根记作-8，正数a的两个平方根记作士而，读作正、

负根号a，其中a叫做.

【题型1平方根的概念及表示】

【例1】（2021春•景县月考）的平方根是±|"用数学式子可表示为（

42

A-/二±|B.4=|C.±/=±|D.---

93

【变式1-1]（2020秋•惠山区校级月考）下列语句正确的是（）

A.10的平方根是100B.100的平方根是10

C.-2是-4的平方根D.：的平方根是土;

93

【变式1-2]（2020春•潮南区期末）实数1-3a有平方根，则”可以取的值为（)

A.0B.1C.2D.3

【变式1-3］（2021•九龙坡区期口）若-2冯，与5凸，的和是单项式，则（a+b）2的平方根是（）

A.2B.±2C.4D.±4

【总结】

【知识点2平方根的性质】

一个正数有两个平方根，这两个平方根___________,零的平方根是______,___________没有平方根.

【题型2平方根的性质】

【例2】（2021春•阳谷县月考）已知3〃L1和・2〃?-2是某正数。的平方根，则。的值是（）

164

A.3B.64C.3或一！D.64或一

525

【变式2-1］（2020春•孟村县期中）已知正实数X的两个平方根是m和〃?+b.

（I）当b=8时，〃?的值是；

（2）若〃尸（〃?+"）24=4,则x=.

【变式2-2］（2020春•高新区校级期中）已知2x-y的平方根为±3,-4是3x+y的一个平方根，求x-），

的平方根.

【变式2-3］（2021春•东城区校级期中）已知正实数x的平方根是〃和〃+。（心＞0）.

（I）当a=6时，求〃的值：

（2）若〃?+（n+a）2=8,求a-〃的平方根.

【总结】

【知识点3开平方】

求一个数的__________的运算叫做开平方.

【题型3利用开平方解方程】

【例3】（2021春•巴楚县月考）求下列各式中工的值:

4

5-

9

(3)2(x+1)2=128.

【变式3-1](2021春•岷县月考)求下列各式中x的值.

(1)(2"1)2=25.

(2)X2—=0.

【变式3-2](2020秋♦甘州区校级期中)求满足下列各式的未知数工

(1)(x-1)2-49=0；

1

(2)-(x-2?)2-8=0.

【变式3-3](2020春•中山区期末)定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数

是2的方程，叫做一元二次方程.

如了=9,(x-2)2=4,3/+〃-1=()…都是一元二次方程.根据平方根的特征，可以将形如(a

20)的一元二次方程转化为一元一次方程求解.

如：解方程，=9的思路是：由X=土眄，可得用=3,X2=-3.

解决问题：

(1)解方程(x-2)2=4.

解：Vx-2=±V4,

Ax-2=2,或x・2=.

/•XI=4>X2=.

(2)解方程:(3A:-1)2-25=0.

【总结】

【知识点4算术平方根的概念】

正数。有两个平方根±倔，我们把正数a的____平方根低，叫做。的算术平方根.

【题型4算术平方根的概念】

【例4】(2021春•红桥区期中)J黑的算术平方根是.

【变式4-1]（2021春•那西县月考）下列说法正确的是（）

A.-4是（-4）2的算术平方根

B.±4是（-4）2的算术平方根

C.代的平方根是-2

D.-2是代的一个平方根

【变式4-2]（2021春•巴南区期中）已知75克芯=315,4=3.15,则x=（）

A.9.9225B.0.99225C.0.099225D.0.0099225

【变式4-3]（2020秋•玄武区期末）若方程（x・1户=5的解分别为且。》从下列说法正确的是（）

A.。是5的平方根B.6是5的平方根

C.a-1是5的算术平方根D.力・1是5的算术平方根

【总结】

【知识点5算术平方根的性质】

①正数的算术平方根是一个正数；。的算术平方根是0;

②负数没有算术平方根.当。工0时，必=a；

③算术平方根具有双重非负性：a>0；Va>0.

【题型5算术平方根的非负性】

【例5】（2021春•安宁市校级期