2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列专题143 乘法公式【九大题型】（举一反三）（人教版）含解析

2023.2024学年八年级数学上册举一反三系列专题14.3乘法公式【九

大题型】

【人教版】

【题型।乘法公式的基本运算】..................................................................1

【题型2利用完全平方式确定系数】.............................................................2

【题型3乘法公式的运算】......................................................................2

【题型4利用乘法公式求值】....................................................................3

【题型5利用面积法验证乘法公式】.............................................................3

【题型6乘法公式的应用】......................................................................4

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】.................................................5

【题型8整式乘法中的新定义何题】.............................................................8

【题型9整式乘法中的规律探究】...............................................................9

。。片芦，?三

【知识点1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a・b)=a2・b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做

平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a・b)2=a2・2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上

(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1乘法公式的基本运算】

【例1】(2022春•青川县期末)下列各式中计算正确的是()

A.(A+2Z?)(a-2b)=cr-2b1

B.(-a+2b)-2b)=『-4〃

C.(-a-2b)(a-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b}(a+2b)=a2-4b2

【变式1-1](2022春•六盘水期中)下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(-x+2y)(x-2y)B.(3x-5y)(-3x-5y)

C.(1-5AM)(5m-1)D.(a+h)(/?+«)

【变式1-2］（2022春•巴中期末）下列运算正确的是（）

A.(x+y)(y-x)=JT-y2B.(-x+y)2=-jr+2xy>+y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(・y+x)=x2-y2

【变式1-3](2022秋•天心区校级期中)下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(a-b)(-b-a)B.(-/")(，川+〃2)

C.(-1p+Q)(<?+jp)D.(2A--3y)(2什3y)

【题型2利用完全平方式确定系数】

【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式f+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共

有（）

A.1个B.2个C.3个D.5个

【变式2-1］（2022•南通模拟）如果多项式f+2x+女是完全平方式，则常数k的值为（）

A.1B.-1C.4D.-4

【变式2-2］（2022秋•青县期末）若%2-（K-1）/1是关于"勺完全平方式，则常数K的值为（）

A.0B.-5或7C.7D.9

【变式2-3］（2022秋•崇川区校级月考）（x+a）（x+力）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式,

则小4c的关系可以写成（）

A.a<b<cB.（a-b）2+（Z>-c）2=0

C.c<a<bD.a=h=^c

【题型3乘法公式的运算】

【例3】（2022春•龙胜县期中）计算:（1一白）X（1一白）X（1-^）X…义（1一白）X（1一焉）的

OO/zxAVv

结果是（）

A.—B.—C.—D.—

200125100100

【变式3-1］（2022秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2r-y）（），+2x）-（2y+x）（2y-x）,其中x

=1,y=2.

【变式3-2］（2022春•乳山市期末）用乘法公式进行计算：

（1）20192-2018X2020：

（2）11?+］3X66+392.

【变式3・3］（2022春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（2.+1）

【题型4利用乘法公式求值】

【例4】（2022秋•九龙坡区校级期中）若/■从=]6,（"》）』8,则"的值为（）

A—B*C,-6D.6

【变式4-1]（2022春•姜堰区校级月考）已知4加+〃=90,2m-3n=10,求（〃?+2〃）2-（3川-〃）？的值.

【变式4-2]（2022春•双峰县期中）若工、＞满足占）2=京所一去求下列各式的值.

（1）（x+y）2

（2）x4+y4.

【变式4-3]（2022春•包河区期中）已知（2022-m）（2022-m）=2021,那么（2022-m）2+（2022-

小）2的值为（）

A.4046B.2023C.4042D.4043

【题型5利用面积法验证乘法公式】

【例5】（2022春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积

关系得到的数学公式是（）

A.（«-/?）（a+b）=a2-b2B.（«+/?）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-lab+b1D.（2a-b）2=4tz2-4ab+b2

【变式5-1]（2022春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可验证整式乘法公

式是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=a2+3ab^-2b2

C.(alb)1=crI2ab\tr

D.（a-b）2=a2-2ah+b2

【变式5・2】（2022春•锦州期末）如图1,在边长为。的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将

余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，

可验证的等式为（）

图2

B.(。+3)2=a2+6a+9

D.(〃+3)(a・3)=a2-9

【变式5-3］（2022•郸都区模拟）如图，在边长为G+”）的正方形中，剪去一个边长为。的小正方形，将

余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（）

A.(*+〃)2-a2=x(x+2a)B.x1+2ax=x(x+2a)

C.Cx+a)2-)r=a(a+2r)D..r2-a2=(x+a)(x-«)

【题型6乘法公式的应用】

【例6】（2022春•榆次区期中）如图1,从边长为（。+5）cm的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm

的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长

方形的面积为（）

图3

C.(6a+9)cnrD.(6a+21)cm2

【变式6-1］（2022秋•西峰区期末）如图，正方形ABC。和正方形和重叠，其重叠部分是一个

长方形，分别延长人。、CD,交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NG。，和MEQQ都是正方形，

四边形PQDH是长方形.若正方形ABCD的边长为x,AE=10,CG=20,长方形EFGD的面积为200.求

正方形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）.

【变式6-2]（2022春•湖州期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正

方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16,则

标号为②的正方形的面积是（）

®FT-

________________①

②

①------------

③

A.16B.14C.12D.10

【变式6-3]（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为米的正方形空地是八年级I-4班的卫

生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情

况，其中1班的卫生区是一块边长为（x-2y）米的正方形，其中0V2），Vx.

（1）分别用x、的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积；

（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】

【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面根的等量关系可以得到某些数学公式，如图

一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（。-b）2=/.2ab+b2

（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（。+。）2=/+2,心+/落

（2）图三是边长为〃的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分拼成图四的形状，利用这两幅

图形中面积的等量关系，能验证公式:

（3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样的图形，并标上相

【变式7-1］（2022春•西城区校级期中）阅读学习:

数学中有很多恒等式可以用图形的面枳来得到.

如图1,可以求出阴影部分的面积是〃・〃；如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成•个矩形，它的

长是。+江宽是。・b,比较图1,图2阴影部分的面积，可以得到恒等式（a+b）（a-b）=a2-b2.

2

（1）观察图3,请你写出（a+b）2,（a-b）,"之间的一个恒等式.

（2）观察图4,请写出图4所表示的代数恒等式：.

（3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5所示，请你用拼图的方法推出一个恒等式（。+〃）2=

/+2必+〃，仿照图4画出你的拼图并标出相关数据.

【变式7-2］（2022春•武侯区校级期中）［知识生成］通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可

以得到一个恒等式.

例如：如图①是一个长为2a,宽为力的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②

的形状拼成一个正方形.请解答下列问题：

（1）观察图②，请你写出（a-b）2、（a-b）2、帅之间的等量关系是：

（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y=6,盯=去求G-y）?的值；［知识迁移］类似地,

用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式.

（3）根据图③，写出一个代数恒等式：；

（4）已知。+〃=3,ah=1,利用上面的规律求产的值.

【变式7-3］（2022春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①

和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样

的抽象代数运算也有直观的背景.这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而

形象化.

请你利用上述方法解决卜.列问题:

（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式

y

X

X

y

x

(1)⑵⑶

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）(x+3y)=x2+4xy+3yz

【拓展应用】

提出问题：47X43,56X54,79X71,……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相

乘的算式，是否可以找到一种速算方法?

几何建模:

用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47X43为例:

（1）画长为47,宽为43的矩形，如图③，将这个47X43的矩形从右边切下长40,宽3的一条，拼接

到原矩形的上面.

（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47X43的矩形面积或（40+7+3）X

40的矩形与右上角3X7的矩形面积之和，即47X43=(40+10)X40+3X7=5X4X100+3X7=2021,

用文字表述47X43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100,加上个位数字3与7的

积，构成运算结果.

请你参照上述几何建模步骤，计算57X53.要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）

归纳提炼:

两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（川文字表述）:

，证明上述速算方法的正确性.

【题型8整式乘法中的新定义问题】

【例8】（2022春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式4,B,C,若A+8+C可以写成（〃+6）

?的形式，则称这三项为“完全搭配项"，若单项式4和m是完全搭配项，则m可能是.(写

出所有情况）

【变式8/】（2022春•成华区月考）如果•个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数

为“神秘数”，如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20都是这种“神秘数”.

（I）28和2012这两个数是“神秘数”吗?试说明理由；

（2）试说明神秘数能被4整除；

（3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由.

【变式8-2］（2022春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这

个正整数为：“奇异数”.如8,16,24都是“奇异数”.

（1）写出两个奇异数（8,16,24除外）；

（2）试问偶数6050是不是奇异数？为什么？

【变式8-3］（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智

一数”，否则称这个正整数为“非智慧数”.例如:22-产=3；32-22=5；32-12=8；42-32=7；42

-22=12；42-12=15；等等.

因此3,5,8,都是“智慧数”；而1,2,4,都是“非智慧数”.

对于“智慧数”，有如下结论：

①设4为正整数（k22）,则人（h1）2=2k-1.，除1以外，所有的奇数都是“智慧数”；

②设女为正整数（A23）,则F-Ck-2）2=.・•,都是“智慧数”.

（1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于2（）的“非智慧数”；

（2）求出从1开始的正整数中从小到大排列的第103个“智慧数”.

【题型9整式乘法中的规律探究】

【例9】（2022春•江阴市期中）观察下列各式（x-1）（x+1）=r-1,（x-1）（,r+x+l）=?-1,（x

420,73

-1）（V+F+x+l）=.r-1……根据规律计算：（-2）2018+（.2）+（-2）20W+…+（-2）+（-2）

2+（-2）J+1的值为（）

【变式9-1］（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题.

（1）观察下列各式并填空：32-12=8X1；52-32=8X2；①72-52=8X；②92-2=8X4；③

-92=8X5；®132-2=8X6；…

（2）通过观察、归纳，请你用含字母〃（〃为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；

（3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？

【变式9-2］（2022秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+〃=也罗，关于这个公式的推导方法，有很多，

比如说小高斯的故事.下面我们利用以前学过的公式，给山另外一种推导方法:

首先,我们知道：(〃+1)2=户+2〃+1,

变形一下，就是(〃+1)2-7i2=2n+l>

依次给〃一些特殊的值：1,2,3,…，我们就能得到下面一列式子：

22-12=2X1+1；

32-22=2X2+1；

42-32=2x3+1；

•••

(〃+1)2-，p=2X〃+l；

观察这列式子，如果把它们所芍的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到(/1)2-»=2

X(1+2+3+…+〃)+〃，

观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S就是：(/?+1)2-12=2X

S十〃,

把S表示出来，得到：S=1+2+3+…+〃=华2

用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下5=F+22+32+…+/的值.

【变式9-3](2022春•漳浦县期中)你能化简(a-I)(«99+<?8+a97+-+</2+a+l)吗？

我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论.

(1)先填空：(a-1)(a+1)=；(a-1)(/+〃+])=；(a-1)(/+/+〃+])=；•••

由此猜想：(a-1)(£799+t/98+tz97+•--+a2+a+1)=

(2)利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？

①求2吃+2198+2⑼+…+2?+2+1的值：

②若〃+/+冉合+。+1=0,则心等于多少？

专题14.3乘法公式【九大题型】

【人教版】

”松妈宫巾

【邈型।乘法公式的基本运算】................................................................11

【题型2利用完全平方式确定系数】.............................................................13

【题型3乘法公式的运算】.....................................................................14

【题型4利用乘法公式求值】...................................................................16

【题型5利用面积法验证乘法公式】............................................................17

【题型6乘法公式的应用】.....................................................................19

【题型7平方■差公式、完全平方公式的几何背景】................................................22

【题型8整式乘法中的新定义何题】............................................................27

【题型9整式乘法中的规律探究】..............................................................30

【知识点1乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a・b)=a，b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做

平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a・b)2=a2・2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上

(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

【题型1乘法公式的基本运算】

【例1】(2022春•青川县期末)下列各式中计算正确的是()

A.(a+2b)(a-2b)=a2-lb2

B.(-a+2b)(a-2by=cr-4b2

C.(-a-2b)(«-2b)=-a2+4b2

D.(-a-2b)(a+2b)=cr-4从

【分析】根据平方差公式对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、应为(”+2〃)(a-2b)=a2-(2b)2,故本选项错误；

B、应为(-a+2b)(a-2b)=-a2+4ab-4b2,故本选项错误；

C、(-a-2b)(〃-2b)--a2+4h2,正确；

£＞、应为(-4-26)(a+26)=-a2-4ab-4b2,故木选项错误.

故选：c.

【变式1・1】(2022春•六盘水期中)下列各式中能用平方差公式计算的是()

A.(-x+2y)(x-2y)B.(3x-5y)(-3x-5y)

C.(1-5m)(5m-1)D.(a+b)(b+a)

【分析】根据平方差公式的特征：(1)两个两项式相乘，(2)有一项相同，另一项互为相反数，对各

选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：4、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

B、-5)，是相同的项，互为相反项是3x与-3%符合平方差公式的要求；

C、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算；

D、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算；

故选:B.

【变式1・2】(2022春•巴中期末)下列运算正确的是()

A.(x+y)Cy-x)=jr-y2B.(-x+y)2=-r+lxy+y1

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y1D.(x+y)(-y+x)=,r-y1

【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可.

【解答】解:人、结果是V故本选项不符合题意；

B、结果是f-Zry+y2,故本选项不符合题意；

C、结果是f+2p+)E,故本选项不符合题意；

D、结果是)2,故本选项符合题意.

【变式1-3](2022秋•天心区校级期中)下列各式中，能用完全平方公式计算的是()

A.(«-b)(-b-a)B.(-n2-nr)(nr+rr)

C(一1+q)(q+1)D.⑵・3y)⑵+3y)

【分析】小原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

B、原式第一个因式提取-I变形后利用完全平方公式计算得到结果，符合题意；

C、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意；

D、原式利用平方差公式化简得到结果，不合题意.

【解答】解：A、原式=庐・/,本选项不合题意；

B、原式=-(m2+n2)2,本选项符合题意；

C、原式本选项不合题意；

D、原式=4『・9）?,本选项不合题意，

故选：B.

【题型2利用完全平方式确定系数】

【例2】（2022秋•望城区期末）若二项式f+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共

有（）

A.1个B.2个C.3个D.5个

【分析】本题考杳运用完全平方式进行因式分解的能力，式子x2和4分别是x和2的平方，可当作首尾

两项，根据完全平方公式可得中间一项为加上或减去x和2的乘积的2倍，即±4%同时还应看到』+4

加上-4或-f或？后也可分别构成完全平方式，所以可加的单项式共有5个.

16

【解答】解：可添加士4h-4,-r2或W等5个.

16

故选：D.

【变式2-1］（2022•南通模拟）如果多项式是完全平方式，则常数k的值为（）

A.iB.-1C.4D.-4

【分析】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是1,平方即可.

【解答】解：•.2=2Xl・x,

k—12=1»

故选A.

【变式2-2］（2022秋•青县期末）若9f・（K-l）x+l是关于x的完全平方式，则常数K的值为（）

A.0B.-5或7C.7D.9

【分析】根据完全平方式的定义解决此题.

【解答】解：9f-（K-1）x+l=（3x）2-（K-1）x+12.

•・・9f-（K-I）x+l是关于x的完全平方式，

・・・9--（K-I）x+l=（3x）2±2・3尸l+|2=（3.r）2±6LV+12.

■（K-1）=±6.

当-（K-1）=6时，K=-5.

当・（K-1）=・6时，K=7.

综上：K=-5或7.

故选:B.

【变式2-3](2022秋•崇川区校级月考)(x+〃)(x+h)+(x+h)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，

则mb,。的关系可以写成()

A.a<b<cB.(a-b)2+(b-c)2=0

C.c<a<bD.a=bWc

【分析】先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3『+2(.a+b+c)A+(ab+bc+ac)=[、&+苧

222222

(a+b+c)F，ab+bc+ac=a+b+cf那么就有(a-b)+(b-c)+(c-a)=0>三个非负数的

和等于0,则每一个非负数等于0,故可求r=b=c.故选答案艮

【解答】解：原式=3.P+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),

■:Cx+a)(x+力)+(x+Z?)(工+c)+(x+c)(x+〃)是完全平方式，

；・3『+2(a+b+c)x+Cab+bc+ac')=[V5x+\Ca+b+c)]2,

/.ab+bc+ac=Ca+b+c)2=7(a2+b2+(r+2ab+2ac+2bc),

33

:.ab+bc+ac=(r+b1+c1,

：.2Cab+bc+ac)=2,

即Qa-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

Aa-/>=(),方-c=0,c-〃=0,

••ci—b=c9

故选：B.

【题型3乘法公式的运算】

[ft31(2022春•龙胜县期中)计算：(1-^)X(1一2)X(1-^)X-X(1一白)X(1一焉)的

结果是()

.101「101

AC.—D.—

-荻B.五100100

[分析]根据a1-b2=(.a-h)(a+b)展开，中间的数全部约分，只剩下第一个数和最后一个数相乘，

从而得出答案.

【解答】解：原式=(1一；)X(1+i)X(1--)X(1+3X(1--)X(1+-)X-X(1-—)X

667799

(14--)X(1---)X(1+-^―)

99100100

4657689810099101

=-x-x-x-x-x-x•••X—X——X——X——

5566779999100100

4101

=-X-----

5100

101

=-----.

125

故选：B.

【变式3-1](2022秋•碾子山区期末)先化简，再求值：(2x-y)Cy+2x)-(2y+x)(2y-.r),其中x

=1,y=2.

【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把小丁的值代入进行计算即可得解.

【解答】解：(2x-y)(>-+2r)-(2y+x)(2y-x),

=4.?-/-(4/-/)，

=4.r2-y1-4V+X2,

=5A2-5y2,

当x=l,y=2时，原式=5X>-5X22=5・20=-15.

【变式3-2](2022春•乳山市期末)用乘法公式进行计算：

(1)20192-2018X2020；

(2)112+]3X66+392.

【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；完全平方公式：(。+〃)

2=cr+2ab+lr.

【解答】解：(1)20192-2018X2020

=20192-(2022-1)X(2022+1)

=20192-(20222-1)

=1:

(2)ll2+13X66+392

=ll2+13X2X3Xll+392

=ll2+2X||X39+392

=(11+39)2

=5O2

=2500.

【变式3-3](2022春•顺德区校级月考)计算：(2+1)(22+1)(24+1)-(2W+1)

【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果.

【解答】解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)-(264+1)

=(22-I)(22+1)(24+1)-(264+1)

=(2‘-1)(24+1)•••(264+1)

=•••

=C264-1)(2M+1)

=2,28-1.

【题型4利用乘法公式求值】

(ft4](2022秋•九龙坡区校级期中)若〃2一/=16,(〃+8)2=8,则"的值为()

A.--B.-C.-6D.6

22

【分析】根据『-从=16得到(。+“)2(«-Z?)2=256,再由(。+力)2=8,求出(a-/?)?=32,

最后根据ab=空号也求出答案.

【解答】解：•・•『・护=16,

:.(a+b)(a-b)=16,

・•・(a+b)2(a-b)2=256,

*/(a+b)2=8,

(.a-h}2=32,

・,(a+b)2-(a-b)28-32j

・・ab=-----------------=------=-6,

44

故选：c.

【变式4-1](2022春•姜堰区校级月考)已知4加+〃=90,2m-3w=10,求(机+2〃)？-的值.

【分析】原式利用平方差公式分解，变形后将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：V4m+n=90,2m-3〃=10,

:.(m+2n)2-(3m-n)2

=[(m+2n)+(3m-n)][(m+2n)-(3zz?-n)J

=(4in+n)(3/?-2in)

=-900.

【变式4-2](2022春•双峰县期中)若x、y满足f+产京xy=求下列各式的值.

(1)(xiy)2

(2)/+/.

【分析】(1)原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值：

(2)原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值.

【解答】解：(1)・・・f+)，2=*町=一£

原式=f+y2+2\y=；一]=:：

(2)VA2+/=x)=-p

・・・原式=(f+)2)2_W=^_1=1Z.

【变式4-3](2022春•包河区期中)己知(2022-m)(2022-m)=2021,那么(2022-m•2+(2022-

m)2的值为()

A.4046B.2023C.4042D.4043

【分析】利用完全平方公式变形即可.

【解答】解：*.*(。-力)2=a2-2ab+b2,

(r+b2=(a-b)2+2ab.

:.(2022-m)2+(2022-m)2

=[(2022-w)-(2022-w)]2+2X(2022-m)(2022-m)

=4+2X2021

=4046.

故选：A.

【题型5利用面积法验证乘法公式】

【例5】(2022春•新泰市期末)将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积

关系得到的数学公式是()

A.(«-Z?)(〃+/?)=cr-b2B.Ca+b)2=a2+2ab+b2

C.(a-b)2=a2-2ab+h2D.(2a-b)2=4a2-4ah+b2

【分析】利用两个图形面积之间的关系进行解答即可.

【解答】解：如图，图甲中①、②的总面积为（。+5）（。・2，），

图乙中①、②的总面积可以看作两个正方形的面积差，即

因此有（«+/?）（a-b）=a2-b2,

式是（）

A.(a+b)(a-b)=a2-b2

B.(a+b)(a+2b)=(r+3ab^2b2

C.(a+b)2=a2+2ah+b2

D.(a-b)2=a2-2ab+b2

【分析】用代数式表示各个部分以及总面积即可得出答案.

【解答】解：大正方形的边长为什儿因此面积为（。+。）2,四个部分的面积分别为，、心、ab、廿,

由面积之间的关系得，（a+b）2=a2+2ab+b2,

故选：C.

【变式5-2］（2022春♦锦州期末）如图I,在边长为。的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将

余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形，根据两个图形阴影部分面积相等的关系，

可验证的等式为（）

图1图2

A.(a-3)2=a2-6a+9B.(a+3)2=a2+6a+9

C.a(〃+3)=/+3〃D.(a+3)(a-3)=a2-9

【分析】用代数式分别表示图I、图2中阴影部分的面积即可.

【解答】解：图1中，阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即/-32=4-9,

图2是长为"3,宽为。-3的长方形，因此面枳为（a+3）（a-3）,

所以有（。+3）（。・3）=序・9,

故选：

【变式5-3]（2022•郸都区模拟）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为〃的小正方形,将

拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可以得到一个恒等式是（)

Cx+2a)B.jr+2ax=xCx+2a)

C.(x+a)2-r=a(a+2r)D..r-cr=(犬+a)(x-«)

【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可.

【解答】解：第一幅图阴影部分面积=（x+a）2-层，

第二幅图阴影部分面积=（x+a+a）x=x（x+2a）,

/.（x+a）2-a2=x（x+2a）,

故选：4.

【题型6乘法公式的应用】

（ft6]（2022春•榆次区期中）如图1,从边长为（a+5）。加的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+2）cm

的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长

方形的面积为（）

图1图2图3

B.(6a-9)cnrC.(64+9)cnrD.(6a+21)cirr

【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案.

【解答】解：根据题意，长方形的面积为[(〃+5)+(〃+2)JL(〃+5)-(。+2)]=3(2〃+7；=(6«+21)

cm.

故选：

【变式6-1](2022秋•西峰区期末)如图，正方形48CO和正方形和MFNP重叠，其重叠部分是一个

长方形，分别延长40、CD,交NP和MP于H、Q两点,构成的四边形NGQH和MEQQ都是正方形，

四边形PQDH是长方形.若正方形ABCD的边长为x,AE=10,CG=20,长方形EFGD的面积为200.求

正方形MFNP的面积(结果必须是一个具体数值).

【分析】设。E=〃，DG=b,则〃=x・10,b=x-20,a-b=\0,又由H=200,所以正方形MFNP的

面积为(a+b)2=(a-b)2+4a/?=900.

【解答】解：)设DG=b,!/W«=v-10,b=x-20ta~b=\0,

乂由"=200,

22

・•・正方形MFNP的面积为：(a+〃)2=(a-b)+4ab=10+4X200=900.

【变式6-2](2022春•湖州期末)如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正

方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16,则

标号为②的正方形的面积是()

_____________①

②

①------------

③

A.16B.14C.12D.10

【分析】设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为y,根据图形及已知条件可将③长

方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100,得出Y与尸的数

最关系，然后解得产即可.

【解答】解：设标号为①的正方形的边长为x,标号为②的正方形的边长为y,则标号为③的长方形长为

（x+y）,宽为（x-y）,

•・•每个小长方形③的面积均为16,

/.（x+y）（x-y）=16,

-y2=16»

・'・F=16+r

•・•大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长

方形的宽与标号为①的正方形的边长的和，

，大长方形的长为：[（x+y）+x]=2x+.y,宽为：[（x-丁）+x]=2x-y,

•・•大长方形的面枳为100,

・•・（2r+y）（2A--y）=100,

A4.？-/=100,

:.4（16+/）-r=ioo,

/•r=12,

却标号为②的正方形的面积为r=12.

故选：c.

【变式6-3]（2022秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x米的正方形空地是八年级1-4班的卫

生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下图是四个班级所抽到的卫生区情

况，其中1班的卫生区是一块边长为（x-2y）米的正方形，其中0V2），Vx.

（1）分别用x、y的式子表示八年3班和八年4班的卫生区的面积：

（2）求2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多多少平方米？

【分析】（1）结合图形、根据平方差公式计算即可；

（2）根据图形分别表示出2班的卫生区的面积和1班的卫生区，根据平方差公式和完全平方公式化简、

求差即可.

【解答】解：（1）八年3班的卫生区的面积=（x-2y）\2x~（x-2），）]=『-49；

八年4班的卫生区的面积=（J-2y）[2x-（1-2y）]=f-4）2；

（2）[2A-（x-2y）]2-（x-2>02=Sxy.

答：2班的卫生区的面积比1班的卫生区的面积多8冷，平方米.

【题型7平方差公式、完全平方公式的几何背景】

【例7】（2008秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，如图

（1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完