中考数学专项复习：最值模型之胡不归与阿氏圆模型（含答案及解析）

最值模型之胡不归与阿氏圆模型

模型一胡不归模型

知徐机理

【模型来源】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,

虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子

追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归?”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一

条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型建立】

如图1,一动点P在直线7WN外的运动速度为弘,在直线AW上运动的速度为％,且弘V%,A、B为定点，点C

在直线上,确定点。的位置使平+等的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

CHkAC

图2图3

记k=粤，即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如图2,构造射线AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

⑶如图3,过B点作BH_LAD交MN于点、。，交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例题解析

【题型1】胡不归模型•已有相关角直接作垂线

的］如图，在矩形ABCD中，对角线AC,交于点O,AB=03=3,点在线段上，且4M=2.点

P为线段05上的一个动点，则MP+yPB的最小值为.•M

AD

血］2如图,在矩形ABC。中，48=4,AD=8,点分别在边AD,BC上，且AE=3,沿直线EF翻折，点

A的对应点4恰好落在对角线AC上,点B的对应点为B',点/■为线段AA'上一动点,则EM+与NM

5

的最小值为.

【题型2】胡不归模型.构造相关角再作垂线

题1如图，在平面直角坐标系中，二次函数"=/2+3/-4的图象与立轴交于4、。两点，与夕轴交于点B,若

P是2轴上一动点,点Q(0,2)在沙轴上，连接PQ,则PQ+孚PC的最小值是.

题2如图，在长方形ABCD中，AB=2,AO=2通，点E在反7上，连接DE,在点E的运动过程中，BE+

V2DE的最小值为.

变式剂株

［题目①如图，在菱形ABCD中，/ABC=60°,AD=6,对角线AC、BD相交于点。，点E在线段AC上，且

AE=2,点F为线段BD上的一个动点，则EF+的最小值为.

•M

AD

题目。如图，。。是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作于点E,点P为线段BE

上一动点（点P不与B,E重合），则CP+-j-BP的最小值为.

癫目§如图，在出△ABC中，/ACB=90°,4LBC=30°,AC=4,按下列步骤作图:①在AC和AB上分别

截取AD.AE,使AD=AE.②分别以点D和点E为圆心，以大于^DE的长为半径作弧,两弧在ABAC

内交于点W③作射线W交BC于点F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CF,则CP+卷”的

最小值是.

题目可如图,在菱形ABCD中，乙4BC=60°,人。=6,对角线力。、相交于点。，点E在线段AC上，且

AE=2,点F为线段上的一个动点,则EF+^-BF的最小值为.

题目可如图，AACB=90°,=2,=4,点P为AB上一点,连接PC,则PC+^PB的最小值为

A

题目⑤如图，在bABC中，乙4=15°,AB=10,P为力。边上的一个动点（不与力、。重合）,连接BP,则

孚AP+PB的最小值是（）

A.5V2B.5V3C.D.8

O

题目可如图，在RtAABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,点。是斜边AB上的动点，则CD+与AD

的最小值为.

、题目刊如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=V^,点”是对角线47上的动点，连接ZW,则。河+右4”

模型二阿氏圆模型

和拥僦理

【模型来源】

所谓阿氏圆,就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆,这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简

称为阿氏圆.其本质就是通过构造母子相似,化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值,难点在于如

何构造母子相似.

p

【模型建立】

如图1所示，OO的半径为T,点A、B都在。。外，P为。。上一动点，已知r=A>OB,连接PA、PB,则当

“PA+MP3”的值最小时，P点、的位置如何确定？

【解题方法】

如图2,在线段OB上截取OC使OC=上度,则可说明4BPO与APCO相似,即k-PB=PC。

故本题求“P4+bPB”的最小值可以转化为“P4+PC”的最小值,

其中与A与。为定点，P为动点，故当A、P、。三点共线时,“PA+PC”值最小，如图3所示。

例题斛新

【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1）

网］1如图，在放A4B。中,乙4CB=90°,CB=4,CA=6,圆。的半径为2,点P为圆上一动点，连接AP,

BP.求①AP+三BP；②2Ap+BP；③^-AP+BP；®AP+3BP的最小值.

•••

【题型2】两定点在圆内：向外取点（系数大于1）

画］如图，在。。中，点4、点8在G）。上，ZAOB=90°,OA=6,点。在。4上，且OC=2AC,点。是OB

的中点，点河是劣弧48上的动点，则CM+2ZW的最小值为.

【题型3】两定点一个在圆内，一个在圆外（提系数）

血］1如图，在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+

6PD的最小值为.

【题型4】隐圆型阿氏圆

的1如图，在菱形ABCD中，对角线AC、相交于点。，点E、F分别是QD、。。上的两个动点，且EF=

4,P是HF的中点,连接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16，则PC+:PD的最小值为.

•M

D

变式利拣

题目UJ如图，在中，/ACB=90°,。8=7,力。=9,以。为圆心、3为半径作0。，9为0。上一

动点，连接4P、BP,则与4P+BP的最小值为（）

O

B.5V2c.4+VioD.2V13

题目也如图,正方形的边长AB=8,E为平面内一动点，且AE=4,F为CD上一点，CF=2,连接

则EF+g即的最小值为（）

A.6V2B.4D.6

题目叵如图，已知正方形4BCD的边长为4,的半径为2,点P是。B上的一个动点，则PD—如。的

最大值为

7

D

［题目目如图，菱形ABCD的边长为2,锐角大小为60°,。A与5。相切于点E,在。A上任取一点P,则

题目回如图，正方形ABCD的边长为4,点E为边AO上一个动点，点F在边CD上,且线段EF=4,点G

为线段EF的中点，连接BG、CG,则BG+gcG的最小值为.

、题目0如图，在电AABC中，乙4cB=90°,47=6,BC=8,。、E分别是边BC、AC上的两个动点，且

。£=4,。是。石的中点,连接PA,PB,则P4+j-PB的最小值为.

B

题目⑶如图，在边长为6的正方形ABCD中，加■为AB上一点，且BM=2,N为边BC上一动点.连接

MN,将4BMN沿翻折得到"MN，点P与点B对应,连接PA,PC,贝|PA+2PC的最小值为

•••

•••

最值模型之胡不归与阿氏圆模型

模型一胡不归模型

知徐机理

【模型来源】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,

虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子

追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归?”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一

条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

【模型建立】

如图1,一动点P在直线7WN外的运动速度为弘,在直线AW上运动的速度为％,且弘V%,A、B为定点，点C

在直线上,确定点。的位置使平+等的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）

CHkAC

图2图3

记k=粤，即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如图2,构造射线AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.

⑶如图3,过B点作BH_LAD交MN于点、。，交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例题解析

【题型1】胡不归模型•已有相关角直接作垂线

的］如图，在矩形ABCD中，对角线AC,交于点O,AB=03=3,点在线段上，且4M=2.点

P为线段05上的一个动点，则MP+yPB的最小值为.•M

AD

【分析】过点P作PE_L8。于点E,过点“作诙_L3。于点F,证明TWP++PE>MF,进

一求解MR即可得到答案.

【详解】解：；四边形ABCD是矩形，,OA=OB^OC^OD,NABC=90°,

•.•AB^OB,：.AB^OB^OA,：./\OAB是等边三角形，,AABO=60°,

4OBC=AABC-AABO=90°-60°=30°□

过点P作PE_LBC于点、E,过点“作BC于点F,

在用ABFE中，由⑴知：4PBE=30。，；.PE=±PB,；.MP+^PB=MP+PE>MF,

在矩形ABCD中，4。=2OA=2OB=6,VAM=2,CM=AC-AM=6-2=4,

在①△CMF中，/MCF=/OBC=30°,.•.MF=^CM=2,+的最小值为2,故答案为：2.

吼2如图,在矩形ABCD中，4B=4,AD=8,点分别在边4D,BC上，且AE=3,沿直线EF翻折，点

A的对应点4恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B',点M为线段AA上一动点，则EM+李

5

的最小值为.

【分析】过点刊作MN，HE于点N,作点E关于的对称点G,连接7WG.由勾股定理求出4D的长,

根据锐角三角函数的知识可得MN=项A'E,从而可得当G,河，N三点共线时GM+九W取得最小值,

即硒■+项4M■取得最小值，然后利用锐角三角函数和勾股定理可求出GN的长.

5

【详解】解:如图，过点河作于点N,作点E关于的对称点G,连接MG,则EM•=MG•.•

由折叠的性质可知，EF_LAC,AE=AE,/AEF=AAEF,

ZDAC=AAAE.•.•四边形ABCD是矩形，：.CD=AB=^,ZZ?=90°.

AD=y/AD2+CD2=4V5.

•/sinZDAC=卷=艰，，sin/A4'E=迹=MLAMN=迪从初，

AC55AM5

EM+挛AM=GM+MN,

5

当G,M,N三点共线时GM+MN取得最小值，即EM+项4M■取得最小值，

5

・・•ZDAC+/AEF=90°,AEGN+AAEF=90°,/EGN=ADAC,

si.nZ.EGN=sinZDAC=.

5GE

・・・sin/ZMC=^=•，AE=3,・・.OE=^^,・・.GE=^^,・=・・.EN=M

XIPJ3ODObV3O

5

・•・GN=J（陪）y第=3

即EM+艰WM■取得最小值是孕.

55

【题型2】胡不归模型.构造相关角再作垂线

刖］如图,在平面直角坐标系中，二次函数g=/+3力一4的图象与力轴交于4、。两点，与g轴交于点8,若

P是立轴上一动点，点Q(0,2)在沙轴上，连接PQ,则PQ+与PC的最小值是.

【答案】32

【分析】过P作PH工8。,过Q作QH'，8。.再由PH=警PC得PQ+浮PC=PQ+PH,根据垂线

段最短可知，PQ+PH的最小值为Q/T,求出QH'即可.

【详解】解:连接BC,过P作PH,BC,过Q作QH'±BC,

令g=0,即力旺3/-4=0,解得x=—4或1,，4（1,0）,。（一4,0）,•••

；OB=OC=4,/BOC=90°,

ZPCH=45°,/.PH=PCsin45。=孚PC.

APQ+亨PC=PQ+PH,根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为

QH',

BQ=OB+OQ=4+2=6,/QBH'=45°,QHf=sin45°•BQ=3V2,

.♦.PQ+卑PC的最小值为32.故答案为：32.

血］2如图，在长方形中，48=2,40=2四,点后在反7上，连接。£；,在点£；的运动过程中，跳；+

V2DE的最小值为.

【答案】2+2，^/2代+2

【分析】在线段BC下方作/CBM=45°,过点E作石F，于点F,连接。F,求出此时的。F的长度便

可.

【详解】解：：四边形48。。是矩形，人8=2,4。=2遍，

ADCE=9Q°,CD=AB=2,BC=AD=2V3,

BE—2A/3—CE,

在线段BC下方作/困以=45°,过点后作石尸_16河于点尸,连接。下，

:.EF=^BE,

与BE+DE=EF+DE>DF,

当D、E、F三点共线时，乌BE+DE=EF+DE=DF的4直最小,

此时ZDEC=ZBEF=45°,

:.CE=CD=2,

BE=2A/3-2,DE^V22+22=272,

EF=华BE=V6-V2,

当BE+DE的最小值为:EF+DE=&+V^,

：.BE+V2DE的最小值为BE+V2DE=V2(^^BE+DE)=2+2V3

变式制拣

［题目曰如图，在菱形ABCD中，乙45。=60°,40=6,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段AC上，且

AE=2,点F为线段B。上的一个动点，则EF+^BF的最小值为.•M

AD

BC

【答案】2/

【分析】过F作可_LBC,由菱形ABOD,乙48。=60°,得到BD为/ABC平分线，求出/FW=30°,在

Rt/\FBM中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得至IFM=-j-F，故EF+^BF=EF+FM,求出

EF+EM'的最小值即为所求最小值，当E、F、”三点共线时最小，求出即可.

【详解】解:过F作

菱形ABCD,60°,

ZFBM=^AABC=30°,=B。，即△ABC为等边三角形，AACM=60°,

在Rt/XFBM中，FAC^-BF,AD

：.EF+^-BF=EF+FM,/

.♦.当E、F、M三点共线时，取得最小值，/

AE=2,AC=AB=BC=6,上——R

匕bMC

：.EC=AC-AE=6-2=4：f

在Rt^ECM中，EM=EC-sin60°=4x2=2四，

则EF+5BF的最小值为2心

故答案为：2V3.

题目。如图，0O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE，AC于点E,点P为线段BE

上一动点（点P不与B,E重合），则CP+-j-BP的最小值为.

【答案】6

【分析】过点P作PD，AB,连接CO并延长交于点F,连接AO,根据等边三角形的性质和圆内接三角

形的性质得到OA=OB=4,CF_LAB,然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=]<X4=2,进而

求出BE=BO+EO=6,然后利用CP+]BP=CP+PD<Cr代入求解即可.

【详解】如图所示，过点P作PD_LAB,连接CO并延长交于点F,连接AO

AAB。是等边三角形，BE_LAC

ANABE=ACBE=-j-ZABC=30°

VOO是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4

.•.OA=OB=4,CF±AB,

：.ZOBA=ZOAB=30°

AOAE=AOAB=30°

•：BE±AC

：.OE=^-OA=2

:.BE=BO+EO=6

•：PD±AB,/ABE=30°

PD=±PB

:.CP+卷BP=CP+PDWCF

.•.CP+qBP的最小值为CF的长度

•.•△ABC是等边三角形，BE_LAC,CF±AB

:.CF=BE=6

.,.CP+]BP的最小值为6

题目回如图，在RtAABC中，/ACS=90°,/ABC=30°,AC=4,按下列步骤作图:①在AC和4B上分别

截取AD.AE,使AD=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于^DE的长为半径作弧,两弧在ABAC

内交于点③作射线⑷W■交于点F.若点P是线段AF上的一个动点，连接CP,则CP+/AP的

最小值是.

【分析】过点P作PQ，AB于点Q,过点。作CH±48于点先利用角平分线和三角形的内角和定理

求出/BAF=30°,然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ=〈4P,则CP+^-APCP+PQ>CH,

当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+4AP最小，CP+/AP最小值为CH,利用含30°的直角三

角的性质和勾股定理求出48,BC,最后利用等面积法求解即可.

【详解】解:过点P作PQ±于点Q,过点。作8,48于点H,

由题意知：AF平分乙民4。，

•/乙4cB=90°,/LABC=30°,

AZBAC=60°,

ZBAF=-j-ZBAC=30°,/.PQ=yAP,

：.CP+^-AP^CP+PQ>CH,

当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+，4P最小，CF+44P最小值为CH,

•：ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,：.AB=2AC=8,：.BC=-JA&-AC2=4V3,

VSMBC=^AC-BC^^-AB・CH,：.CH=AC^C=4=273,

即。最小值为2/.故答案为：2遍.

题目⑷如图,在菱形ABCD中,NABC=60°,人。=6,对角线AC、BD相交于点。，点E在线段AC上，且

AE=2,点、F为线段BD上的一个动点,则EF+^BF的最小值为.

AD

BC

【答案】2小

【分析】过干作N_LBC,由菱形ABCD,乙4BC=60°,得到为乙4BC平分线，求出/FBA1=3O°,在

RtAFBM中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到FM=，故EF+^-BF=EF+EM,求出

EF+FM的最小值即为所求最小值，当E、F、河三点共线时最小，求出即可.

【详解】解:过F作FN_LBC,菱形ABCD,AABC=6Q°,

：.NFBM=^-AABC=30°,AB=B。，即△ABC为等边三角形，4ACM=60°,

在RtAFBM中，^BF,AD

：.EF+gBF=EF+FM,//

.•.当E、F、M三点共线时，取得最小值，/^\\/

•：AE=2,AC=AB=BC=6,由----黑

匕bMC

・•.EC=AC-4石=6—2=4,

在RtZXECAf中，助1=夙7,1160°=4*乎=2-,则EF+—BF的最小值为2/.故答案为：2』.

「题目可如图，AACB=90°,AC=2,AB=4,点P为AB上一点,连接PC,则PC+gpB的最小值为

【答案】3

【解答】解:作NABE=30°,过点。作CD_LBE于点D,

则此时PC+手犯最小，

/ACB=90°,AC=2,AB=4,

7

sin/CBA—dg-,BC=V42-22=2A/3,

A.B42

・•.ZGBA=30°,

•・.DP=[pB,

・・.ZCBE=60°,

—60。=卷CD_V3

2V32

解得：DC=3,

：.PC+^-PB^DC^3.

故答案为：3.

题目回如图，在AABC中，乙4=15°,AB=10,P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP,则

空AP+PB的最小值是（）

B

A.5V2B.5V3C.D.8

O

【答案】B

【解答】解:如图，以AP为斜边在AC下方作等腰R1AADP，过8作BE_LAD于E,

•//PAD=45°,

.••sin/P4D=%=亭

:.DP=与AP,

号AP+PB=DP+PB>BE,

•：ABAC=15°,

：./BAD=60°,

BE=ABsin60°=5A/3,

.•.WAP+PB的最小值为5g.故选：A

题目］可如图，在Rt/XABC中，AACB=90°,AC=4,BC=3,点。是斜边AB上的动点，则CD+率AD

【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知△BCE〜△BAG,最

后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答.

【详解】解：过点人做ABAM=45°,过点。作。H_L入河于H,过点。作CE_L4B于点E,

DH=AD-sin^DAH=AD-sin45°=殍皿

.-.CD+^AD^CD+DH,

•.•两点之间线段最短，

当C、D、H共线时，CD+DH的值最小，

即CD+DH的最小值为CH,

【法一：正切和角公式】详情见本专辑1—3“12345模型”

tan/G4H=——%=7,故的三边之比为1:7:52,则答案为卫卫

I-A5

14

【法二：常规法】

・・・ZACB=90°,AC=4,BC=3,

・・.AB=A/AC2+BC2=5,

•：CE±AB9

：.26£石=乙4cB=90°,

・・・ZB=ZB,

：./\BCE-/\BAC,

.CE=BE=BC=3

**AC-BC-AB--5-,

.•.CE=1_X4=.,BE=1~X3=£,

5555

ZCDE=4ADH=45°,DE=CE="，

5

：.CD=6CE=^f^,AD=AB-OE-BE=5-孕一？=二，

5555

DH=^-AD=x4=,ACH=CD+DH=卫返+22二四2,故答案为辿2

22555555

题目回如图，在矩形ABCD中，AB=1,BC=V^,点凶是对角线AC上的动点，连接。河,则。河+；4河

的最小值为.

【答案】等

［分析】直接利用已知得出2CAB=60°,再将原式变形，进而得出ZW+^-AM最小值，进而得出答案.

【详解】过点A作NCAN=30°,过点。作DH_LAN于点H,交AC于点M',

在矩形ABCD中，AB=1,BC=四，.•.tan/CAB=四，：./-CAB=60°,则ADAC=30°,

•：5Ao+M'D=HM'+M'D=DH=AD-sin60°=V3x^=-1,

此时zw+fw最小，.•.zw+/w的最小值是故答案为：告.

模型二阿氏圆模型

和鹤楹理

【模型来源】

所谓阿氏圆,就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆,这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简

称为阿氏圆.其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数,转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如

何构造母子相似.

【模型建立】

如图1所示，。。的半径为了,点4B都在0。外，P为。。上一动点，已知丁=上。口，连接则当

“PA+的值最小时，P点的位置如何确定？

图1图2

【解题方法】

如图2,在线段OB上截取。。使OC=k-r,则可说明/\BPO与/\PCO相似,即k-PB=PC.

故本题求“PA+的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，

其中与力与。为定点，P为动点，故当A、P、。三点共线时,“P4+PC”值最小，如图3所示。

例题斛新

【题型1】两定点在圆外:向内取点（系数小于1）

血_如图，在用△ABC中，ZACB=90°,CB=4,=6,圆。的半径为2,点P为圆上一动点，连接4P,

BP.求①AP+三BP；②2Ap+BP；③^-AP+BP；®AP+3BP的最小值.

【解答】解:①取CE的中点。，连结PD,AD,4

,:CD=\,CB=4,CP=2,\\

.CD=CP=XV

"CPBC2）\

APCD=ZBCP,^PCD〜^BCP,

PDCDI/，

.PB=CP=2_'/\/i

：.PD=^-PB,1D

AP+4PB=AP+PD,当P在AD上时，AP+PD最小，---/

最小值为AF的长，AF=^AC2+CF2=V37,AP+^BP的最小值为V37,

②^.^2AP+BP=2（4P+。BP）,.^.2AP+BP的最小值为2扃，

③在DC取一点G,使CG=^-DC=-f

oo•••

2

CG=3=1CP=2=1

CG=CP

PC~ACf

・・・AACP=APCG,・・・ACGF〜bCPA,

•gp—CG—x・QP——AP

"AP~PC~39*3，

・・・三AP+BP=GP+BP>BG,当P在BG上B,GP+BP=BG,

o

BG=-JBC\CG2=“|&二等工，.・."AP+RP的最小值为2®

④•/AP+3BP=3（yAF+BP）,・・.AP+3BF的最小值为2抵.

【题型2】两定点在圆内：向外取点（系数大于1）

血］1如图，在。。中，点4、点3在OO上,ZAOB=90°,。4=6,点。在。4上，且OC=2AC,点。是OB

的中点，点乂是劣弧AB上的动点，则CM+2ZW的最小值为.

【答案】461

【分析】延长OB到T,使得BT=OB,连接MT,CT,利用相似三角形的性质证明AfT=2DM，求CM+

2ZW的最小值问题转化为求C7W+MT的最小值.求出CT即可判断.

【详解】解:延长OB到T,使得BT=OB,连接MT,CT.

■：OM=6,OD=DB=3,OT=12,

：.OM2=OD-OT,

.OM_OT

"OD~OM'

■：AMOD=ATOM,

.-.△won-ATOM,

.DM_OM1

"MT~OT~~2）

：.MT=2DM,

•：CM+2DM=CM+MT>CT,

又•.•在A/OCT中，/COT=90°,OC=4,OT=12,

CT=VOC2+OT2=A/42+122=4V10,

：.CM+2DM>^VW,

：.CM+2DM■的最小值为4V10

【题型3】两定点一个在圆内，一个在圆外（提系数）

而J1如图，在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+

6P。的最小值为3抵

•・•AB=2BC=6,

.BP=BE=1

"BP-T,

・・・/PBE=/ABP,

・・・XPBE〜XABP,

.PE=BP=1

**FA-AB-T，

：.PE=^-PA,

在BO延长线上取BF=9,

BD=1,

则理=理=3

PBBD'

又APBD=AFBP,

：.XPBDfFBP,

•PF_PB__

"PD~BD-3o，

:.PF=3PD,

：.PA+6PD=2(-PA+3PD)=2(PE+PF),

当P为EF和圆的交点时PE+PF最小，即P4+6P。最小，且值为2EF,

•：EF=^/BE2+BF2=J传）:92=,

PA+6PD的最小值为2E尸=3〃方，

故答案为：3府.

【题型4】隐圆型阿氏圆

@]j_如图,在菱形4BCD中，对角线A。、BD相交于点。，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=

4,P是EF的中点,连接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16,则PC+^PD的最小值为.

D

【答案】上野

【分析】在OD上取一点G,使得OG=J,连接PG、CG.根据菱形的性质可知00=6,00=8,则黑

=OD=[，结合2GOP=APOD,可得4POG〜△OOP,利用相似三角形的性质证得PG+^-PD.根

据PC+POCG可知CG的长即为PC+--PD的最小值，利用勾股定理求出CG便可解决问题.

【详解】解:如图，在OD上取一点G,使得OG=],连接PG、CG.

•：四边形ABCD为菱形，AC=12,BZ）=16,

OC=^-AC=Q,OD=^-BD=8,AC±BD,

•.•^^^《，?是后尸的中点，

OP=^-EF=2,

1

.OG=J=1OP=2=1

"OF-T-T,on--8-T*

又・・・/GOP=/PO。，

・・・AFOG〜ADOP,

罂J,即GP=%D,

■：PC+PG>CG,

：.当点G、P、C在同一直线上时，PC+：PD取得最小值，

此时PC+~PD=PC+PG=CG=JS+OG?=

42

变式制拣

题目上如图，在中，乙4cB=90°,CB=7,AC=9,以。为圆心、3为半径作。C,P为。。上一

动点，连接AP、BP,则:AP+BP的最小值为（）

O

A

B.5V2c.4+VioD.2V13

【答案】B

【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证

明MP=^-PA,可得^-AP+BP=PM+PB>利用勾股定理求出BM即可解决问题.

OO

答案详解:如图，在CA上截取C7W;使得671^=1,连接PA/,PC,A

vFC=3,CM=\,CA=9,N

vZPCM=Z.ACP,NPCM-/\ACP,/

.••^-=^-=4,：.PM=^-PA,：.j-AP+BP=PM+PB,（少午A

JrJT.AC/O00\U/

•:PM+PB>BM,在RtABCM中,

•：ZBCM=9Q°,CM=1,BC=7,

：.BM=A/12+72=5V2,^-AP+BP>5V2,

o

.•.《AP+BP的最小值为52.故选：B.

题目⑨如图，正方形ABC。的边长AB=8,H为平面内一动点，且AE=4,F为CD上一点，CF=2,连接

则的最小值为（）

AD

B

A.6V2C.4V2

【答案】A

【分析】如图（见解析），在AD边上取点H,使得4H=2,连接EH、FH,先根据正方形的性质得出AD=

CD=AB=8,/ADC=90°,再根据相似三角形的判定与性质得出黑=萼，从而可得然

EDAD2

后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得EF+片ED取得最小值时，点E的位置，最后利用

勾股定理求解即可得.

【详解】如图，在AD边上取点玄,使得AH=2,连接EH、FH

•.•四边形48co是正方形:.AD=CD=AB=8,AADC=90°

・・AE=4・人石=2=2=3=2即=""=2

•**AH2JAE4f?AHAE

又♦.•NEAH=/DAE：.AAEH-/\ADE：.--=嘴=小，即m=&ED

h/L)AD82

:.EF+三ED=EF+EH由三角形的三边关系定理得：EF+EH>FH

由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上

由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆？1的交点E'时，EF+EH取得最小值，最小值为FH