中考数学重难点题型汇编：二次函数（含答案及解析）

二次函数重难点题型汇编

.考点归纳

【题型01:二次函数的概念】

【题型02:二次函数的条件】

【题型03：列处二次函数关系式】

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】

【题型06：二次函数沙=aa?+bc+c的图像和性质】

【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】

【题型08：根据二次函数y=遍+五+c的图像判断有关的信息】

【题型09：二次函数的平移变换】

【题型10：二次函数的交点个数问题】

隍1点精讲

D.y=ax2+bx+c

91

D.y=2冗之-------

x

1

D.g=2629----

x

.已知OF

3,BE=5.设正方形ABCD的边长为力，阴影部分的面积为v，则g与力满足的函数关系是（）

A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系

••

【题型02:二次函数的条件】

题目5抛物线g=a/+（Q—2）力一。―1经过原点，那么。的值等于（

A.0B.1C.-1D.35

题目6已知g=（m—1）—+1—26+5是二次函数，则in的值为（）

A.1或—1B.1C.—1D.0

题目7已知二次函数g=（馆—2）/•一之+36+1,则771=.

【题型03：列处二次函数关系式】

题目8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是。,

则该厂今年一季度新产品的研发资金夕（元）关于，的函数关系式为（）

A.g=9(l+c)2B.0=9+9//

C.g=9+9(l+c)+9(1+/yD.g=9(1+/工

题目E已知一正方体的棱长是3cm,设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycnz2,则y与2之间的函数

关系式是（）

A..y=6a?2—36zB.y=-6x2+3QxC.y=x2+36xD.y=6a;2+36a;

题目10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件,在一段时间里，单价是13.5元,销售量是500件,而单价

每降低1元就可多售出200件,当销售价为，元/件（7.5＜，＜13⑸时,获取利润U元,则沙与c的函数关

系为（）

A.y—(x—7.5)(500+x)B.y=(13.5-2:)(500+2002：)

C.y=(a;-7.5)(500+200a:)D.以上答案都不对

题目正方形边长3,若边长增加,，增加后正方形的面积为y,y与h的函数关系式为

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

题目已知函数y=—（x_2）2的图象上有力（—当明），凤3,纺）,。（4,%）三点，则明，统，为的大小关系是

A.yi<y2<y3B.y2<yi<y3C.yr<y3<y2D.y2<y3<yi

题目对于二次函数V=2（c—1＞+3,下列说法正确的是（

A.开口方向向下B.顶点坐标（1,—3）C.对称轴是"轴D.当c=l时，3有最小值

题目iT下列抛物线中，对称轴为直线①的是（）

A.y=（a;-y）2B.y=~^x2C.y=x2+^D.y=[x+^-3

题目1?在二次函数9=—（。-1）2+3的图象中，若沙随，的增大而减小，则c的取值范围是（）

A.x>—1B.a;<-1C.力>1D.力<1

题目16抛物线夕=—2（c+l）2+2的顶点的坐标是.

题目，点4―3,%）,B（2,纺）均在二次函数g=—/+2的图象上，则阴y2.（填。"或“V”）

【题型05:与特殊二次函数有关的几何知识】

题目如图，OO的半径为2,G是函数夕=]]的图象，&是函数的图象，则阴影部分的面积

C.TCD.无法确定

题目19如图，已知点…,42024在函数夕=2/位于第二象限的图像上，点昆,5,...,3（）24在函数U=

2/位于第一象限的图像上，点G,G,…,。2。24在y轴的正半轴上，若四边形OlAGm,GAGG,…,仁侬

在2024。202出2024都是正方形，则正方形Go23A2024c2024显024的边长为（）

c2023

A.1012B.1012V2J~1TD.警2

题目型如图,正方形。48。有三个顶点在抛物线?/=!22上，点。是原点，顶点8在9轴上•则顶点MA的坐

标是（)

A.(2,2)B.(V2,A/2)C.(4,4)D.(2V2.2V2)

题目如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点的坐标分别为（1,1）、（1,4）、（4,4）.若

抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是.

【题型06：二次函数沙=aa?+ba;+c的图像和性质】

题目22将抛物线夕=,2—知+3绕原点。顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为（

A.y=於+4%—3B.y=-x2+4：x-\-3C.y=—a:2—4T—3D.g=—3?+4N—3

题目23直线"ax+b与抛物线o=a/+b/+b在同一坐标系里的大致图象正确的是

A.C.

题目已知一个二次函数9=aa?+6a;+c的自变量/与函数v的几组对应值如下表,

X-4-2035

y-24—80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上B.当rc>0时，夕的值随名的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线，=1

题目如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P,Q都在立轴上，平行于r轴的•直线M与两条

抛物线相交于A,B,C,。四点，若AB=10,BC=5,8=6,则PQ的长度为()

C.9D.10

题目26|二次函数夕=aa?+bo;+c的图象如图所示,则关于x的一元二次方程/―比+a=0的根的情况是

A.只有一个实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

题目27抛物线？/=1+14C+54的顶点坐标是()

A.(7,5)B.(7,-5)C.(-7,5)D.(-7,-5)

题目28用配方法将二次函数沙=一/一2/一3化为夕=a(;r-/i)2+A;的形式为()

A.y——{x—1)2+3B.y—(X+I)2—4C.y——(x+I)2—2D.y=(a;—l)2+2

题目画如图，抛物线y=a^+bx+c的对称轴为2=1,点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的

坐标为(—1,0),则点Q的坐标为()

A.(0,-1)B.(2,0)C.(4,0)D.(3,0)

【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】

题目30已知抛物线y=-a^+2x+1在自变量2的值满足tW/Wt+2时,与其对应的函数值y的最小值

为—7,求此时t的值为（）

A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2

题目已知二次函数g=X2—2X（-1《力4力-1）,当力=一1时，函数取得最大值；当力=1时，函数取得最

小值，则力的取值范围是（）

A.0〈力42B.0V/;&4C.2&力&4D.Q2

题目已知抛物线V="+（2a—1），一3,当—1WCW3时,函数最大值为1,则a值为（

D.-1或V

A.1B

2-4O

题目33已知二次函数9=（2—m）2-l（m为常数），当自变量c的值满足2Wc<5时，与其对应的函数值y

的最小值为3,则小的值为（）

A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7

题目已知二次函数沙=mx2—limx+2(mW0)在一2W①W2时有最小值—2,则？n=

A.-4或一；B.4或一yC.—4或/D.4或十

题目35已知二次函数g=—26+2,当馆2时，函数g的最大值是3,则m的取值范围是

()

A.7n>—1B.2C.1D.04m&2

【题型08：根据二次函数y=ax\bx+c的图像判断有关的信息】

题目已知二次函数沙=a^+bx+c（aW0）的图象如图所示，对称轴为2=等,且经过点（-1,0），下列结

c,则0<c<3.其中正确的有（）

C.2个D.3个

题目型」二次函数夕=浸+近+。的图像如图所示，下列结论错误的是（）•M

u/

A.v有最小值B.当一1<,<2时，y<0

C.a+b+c>0D.当立<-1时，V随2的增大而减小

可38二次函数?/=aa?+®+c的图象如图所示，与/轴左侧交点为（—1,0）,对称轴是直线2=1.下列

结论：

①abc>0；

②3a+c>0；

③（a+c）2-52<0；

④a+bWm（am+6）（m为实数）.

其中结论正确的为（）

A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④

H39已知二次函数y二=a/+bc+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

7

A.Labc>0B.关于力的一元二次方程a/+b/+。=0的根是,=-2,x=3

2

C.a+b—c—bD.Q+4b=3c

题目如图，二次函数0=Q"+近+C（QWO）的图象与力轴交于点4（3,0）,与g轴交于点对称轴为直

线力=1,下列四个结论:①beV0；②3Q+2cV0；③ax2-\-bx>Q+b；④若一2VcV—1,则一<a+b+

o

c<—^，其中正确结论的个数为（）

O

A.1个B.2个C.3个D.4

【题型09：二次函数的平移变换】

题目<将抛物线夕=2（，+1）2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为（）

A.y—2（2:+3）2—4B.y—2（x+3）2—2C.y—2（x—I）2—2D.y—2（a?-1）

题目42将抛物线沙=-3/+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（）

A.y=一3（e—1）~-3B.y——3（2—1）~一1C.y=-3（z+1）"-3D.y——3（c+1）2-1

【题型10：二次函数交点的个数问题】

（x2（劣42）

题目如图所示，已知函数%=L（。>2）的图象与一次函数统=x+b的图象有三个交点，则b的取值

范围是（）

C.—gWb<2D.—<b<2

44

题目空如图，二次函数y=-a?2+a;+2及一次函数y=x+如将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折

到力轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线。=力+小与新图象有4个交点时•，小的•取值•

范围是(

C.—2<m<1D.—3V?72V—2

4

题目4?抛物线y=—/+版+%一与与2轴的一个交点为A(m,0),若—24m41,则实数％的取值范围是

4

)

91〜Q

A.一?8.看《一外或用>1C.—5WA;W2D.k4-5或?

448o

题目将抛物线y=(x+1)2的图象位于直线y4以上的部分向下翻折，得到如图图象,若直线g=c+

小与此图象只有四个交点，则机的取值范围是()

K5

C.1<m<—D.—<m<4

44

•••

二次函数重难点题型汇编

.考点归纳

【题型01:二次函数的概念】

【题型02:二次函数的条件】

【题型03：列处二次函数关系式】

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】

【题型06：二次函数沙=aa?+bc+c的图像和性质】

【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】

【题型08：根据二次函数y=遍+五+c的图像判断有关的信息】

【题型09：二次函数的平移变换】

【题型10：二次函数的交点个数问题】

隍3点精讲

【题型01：二次函数的概念】

1下列函数是关于力的二次函数的是（）

A.0=x2-]--B.y=x（l—x）C.g=（力+1）2—/D.y=ax2-hbx+c

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如g=a/+b/+。（Q,6,。为常数，aW0）的函数是二次函数，判

断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键.

【详解】解：49=步+±的分母含有自变量，不是沙关于，的二次函数，故人不符合题意；

X

B、y=力（1—x）=――+力，是y关于x的二次函数,故B符合题意；

。、g=（力+1）2—/=2T+1,不是g关于x的二次函数，故。不符合题意；

D、y—aa?-\-bx+c,当a=0时不是二次函数，故_D不符合题意；

故选：A

题目2下列各式中，是二次函数的是（）

A.g=2/+lB.y=—2x+1C.y=T2+2D.g=2力之—―

x

【答案】。

【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如0=。/2+函+。（Q、b、C是常数，

aWO）的函数，叫做二次函数.

【详解】解：4g=2/+l,是一次函数，故本选项不合题意；

B、g=-2力+1,是一次函数，故本选项不合题意；

C、y=X2+2,是二次函数,故本选项符合题意；

。、夕=2/—里，右边中一支不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意.

XX

故选：C.

题目F下列函数解析式中，夕是X的二次函数的是（)

A.y—ax2+bx+cB.y——5x+1C.y——--x2+x—7-D.y—2x2---

34x

【答案】。

【分析】根据：形如y—ax2+bx+c（（z#0）,这样的函数叫做二次函数，进行判断即可.

【详解】解：4当a=0时，y—ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；

B、y——5x+1,是一次函数，不是二次函数，不符合题意；

C、y=—^-x2+x—是二次函数，符合题意；

。、夕=2/_工，不是二次函数，不符合题意；

x

故选C.

题目4如图,分别在正方形ABCD边AB、人。上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形.已知DF=

3,BE=5.设正方形ABCD的边长为，，阴影部分的面积为勿则v与，满足的函数关系是（）

A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系

【答案】A

【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出4E、AF的长度，再结合

阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4,—16,理解题意，列出函数关系式是

解决问题的关键.

【详解】解：由题意可得：AE=AB—BE=H—5,AF^AD-DF^X-3,

则阴影部分的面积为y=（a?—3）2—（a:—5）2=x2—6x+9—i+lOc-25=4a?—16,

即：g=4rr—16,为一次函数,

故选：A.

【题型02:二次函数的条件】•M

题目5抛物线v=a/+(a—2)2—a—1经过原点，那么a的值等于()

A.0B.1C.-1D.35

【答案】。

【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解

题的关键.

【详解】解：；抛物线y=az2+(a—2)x—a—1经过原点，

…解得：a=T,

故选C.

题目6已知g=(m—l)劣症+-2力+5是二次函数，则?7i的值为()

A.1或一1B.1C.-1D.0

【答案】。

【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，QWO,

自变量最高次数为2即可求解.

【详解】解:根据二次函数的定义：力2+1=2,且rn—lWO,

解得：772=1或771=—1,

又丁M#1,

m=­1,

故选：C,

题目7已知二次函数g=(771—2)力.―2+3/+1,则771=.

【答案】-2

【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如y=ax2-\-bx+c(ar0),这样的函数叫做二

次函数，得到m—2W0,馆2_2=2,进行求解即可.解题的关键是熟练掌握二次函数的定义.

【详解】解：:函数y=(m—2)/"+3/+1是二次函数,

m—27^0,m2—2=2,

m=—2.

故答案为：一2.

【题型03：列处二次函数关系式】

题目8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是力,

则该厂今年一季度新产品的研发资金公元)关于力的函数关系式为()

A.?/=9(H-T)2B.g=9+9/+力之

C.g=9+9(l+/)+9(1+力＞D.g=9(1+力/•••

【答案】。

【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式.根据题意得到二月的研发资金为：

9(1+为，三月份新产品的研发资金为：9(1+02,再求和即可，正确表示出三月份的研发资金.

【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：9(1+⑼，三月份新产品的研发资金为：9(1+9y,

今年一季度新产品的研发资金？/=9+9(l+c)+9(1+,)2,

故选：C.

题目9已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加:rczn时,正方体的表面积增加ycm,KO沙与2之间的函数

关系式是()

A.y—6X2—36XB.y——dx1+3QxC.y—D.g=6a?+36a:

【答案】。

【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答.

【详解】根据题意有：y—6(x+3)2—6x3?=6x2+36x,

故选：D.

题目10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里,单价是13.5元，销售量是500件,而单价

每降低1元就可多售出200件,当销售价为，元/件(7.5V2<13⑸时,获取利润g元，则沙与田的函数关

系为()

A.沙=(2-7.5)(500+/)B.y=(13.5-rc)(500+200z)

C.y=(re-7.5)(500+200a;}D.以上答案都不对

【答案】。

【分析】当销售价为上元/件时，每件利润为3-7.5)元，销售量为[500+200X(13.5—切，根据利润=每

件利润x销售量列出函数关系式即可.

【详解】解：由题意得io=(c—7⑸X[500+200x(13.5-切,

故选：D.

【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含力的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的

关键.

题目11正方形边长3,若边长增加以增加后正方形的面积为与，的函数关系式为.

【答案】y—(x+3)2/y=(3+x)2

【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解.

【详解】解:依题意，y=3+3)2,

故答案为：9=(劣+3)2.

【题型04：特殊二次函数的图像和性质】

题目12|已知函数，8(3,纺)，。(4,%)三点，则?/1，统，仍•的大小•关系是•

A.阴Vy2<y3B-y2<%Vy3C.y《y3<y2D,y2<y3<%

【答案】。

【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称

轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.先找到对称轴和开口方向，根据点

到对称轴的距离比较函数值的大小即可.

【详解】解：；函数y=—（x—2）2,

图象开口向下，对称轴为直线;r=2,

图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，

|2-（-y）|=y,|3-2|=1,|4-2|-2,

7

二阴<为<沙2,

故选：C.

题目对于二次函数V=2Q—1尸+3,下列说法正确的是（

A.开口方向向下B.顶点坐标（1,—3）C.对称轴是?/轴D.当劣=1时，沙有最小值

【答案】。

【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a=2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点

坐标为（1,3）,对称轴为直线2=1,当，=1时，y有最小值3,再进行判断即可.

【详解】解：二次函数y=2（c—1）2+3的图象开口向上，顶点坐标为（1,3）,对称轴为直线7=1,当a=1时，

夕有最小值3.

故选项D正确，

故选：D

=/的是

题目下列抛物线中，对称轴为直线x

A.y=(①一B.y=^x2C.y=x2+^-D.(a;+y)2-3

【答案】A

【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：/=—2.

2a

利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项.

【详解】解：A^y—[x—发）2的对称轴为直线x=■，故选项符合题意.

B、y=-^-x2的对称轴为直线力=0,故选项不符合题意.

。、^=/+]的对称轴为直线/=0,故选项不符合题意.•••

。、夕=（劣+"|~）—3的对称轴为直线x——"，，故选项不符合题意.

故选：A.

题目15在二次函数沙=—（,—1）2+3的图象中，若v随c的增大而减小，则立的取值范围是（）

A.x>—lB.x<—1C.a;>1D.a;<1

【答案】。

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；

由题可知，函数图象开口向下，对称轴为a;=l,在对称轴右侧，沙随土的增大而减小；在对称轴左侧，g随a;

的增大而增大，据此即可得到答案.

【详解】解:由二次函数的解析式得,抛物线开口向下，对称轴为c=1,

当力>1时，夕随0的增大而减小.

故选：C.

题目16抛物线夕=一2（>+1）2+2的顶点的坐标是.

【答案】（一1,2）

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式沙=a（x—h^2+k的顶点坐标为（儿k）,即可求解.

【详解】解:抛物线沙=—2（,+1）2+2的顶点坐标是（—1,2）,

故答案为：（—1,2）.

题目17点4一3,%）,B（2,纺）均在二次函数沙=—"+2的图象上，则％纺.（填“>”或“<”）

【答案】<

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质.根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进

行求解即可.

【详解】解：；二次函数解析式为沙=一/+2,

二次函数开口向下，对称轴为夕轴，

离对称轴越远函数值越小，

•••0—（-3）=3>2—0=2,

：.yi<y2,

故答案为：V.

【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】

题目应：如图，OO的半径为2,G是函数,的图象，02是函数呼的图象，则阴影部分的面积

是（

•M

A.4兀B.2兀C.7iD.无法确定

【答案】8

【分析】据函数y=1■/与函数y=一1］的图象关于c轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可.

【详解】解：•••Ci是函数/的图象，0?是函数?/=—//的图象，且当立相等时，两个函数的函数值互

为相反数，

函数y=-1-2；2的图象与函数y——■的图象关于尤轴对称，

阴影部分面积即是半圆面积，

面积为：微■兀x2?=2兀.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键.

题目19如图，已知点44…,4024在函数9=2/位于第二象限的图像上，点为玛,…,32024在函数U=

2/位于第一象限的图像上，点G，G,…,C2024在g轴的正半轴上，若四边形QAQBCAaB.…,。2023

A2024c202田2024都是正方形，则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为（）

A.1012B.1012V2C.弩&D,卷工

【答案】B

【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得05与?/轴的夹角为45°,然后表示出05的解析式，再与抛

物线解析式联立求出点Bi的坐标，然后求出O旦的长，再根据正方形的性质求出OG,表示出。1瓦的解析

式，与抛物线联立求出马的坐标，然后求出。田2的长，再求出GG的长，然后表示出。2八的解析式，与抛

•••

物线联立求出瓦的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可.

【详解】解：O4GB1是正方形，

.•.OB与沙轴的夹角为45°,

.♦.OB的解析式为夕=工，

联立方程组得：("二:2，

B点的坐标是:(',与),

同理可得：正方形G4GB2的边长G3=2x#；

依此类推，正方形G023A202Q2024B2024的边长是为2024X夸=10122.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线

解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键.

题目龙如图,正方形O4BC有三个顶点在抛物线v=［疗上，点。是原点，顶点口在夕轴上则顶点A的坐

标是()

A.(2,2)B.(V2.V2)C.(4,4)D.(272,272)

【答案】。

【分析】连接AC^y轴于点。，设点B坐标为(0,m)，根据正方形的性质可得OD=^m,AD=fn,从而

得到,再代入u=即可求解.

【详解】解:如图，连接AC交夕轴于点。，

•M

y

D

ox

设点_B坐标为(0,m),

•/四边形OABC是正方形，

OD=^OB,CD=AD,AC_L夕轴,

:.OD=-^-m,AD=—m,

,A在抛物线g=~^-x2上,

1_12

,ym-T

解得m=0（舍去）或8,

・•・点力的坐标为（4,4）.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键.

题目21如图，在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1,1）、（1,4）、（4,4）.若

抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是

【答案】士WaW4

16

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两

个特殊点时的a的值即可解决问题.

【详解】解：•.•正方形ABCD的顶点A、B、。的坐标分别为（1,1）、（1,4）、（4,4）.

1）,

当抛物线经过点B（l,4）时，则a=4,•M

当抛物线经过。(4,1)时，a=占，

16

观察图象可知，抛物线夕=a/的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是二&a<4,

16

故答案为：占

10

【题型06：二次函数y=aa：2+bc+c的图像和性质】

题目22将抛物线夕=1—4必+3绕原点。顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为()

A.y—X2+4X—3B.y——x^+^x+3C.y——x2—4x—3D.y——x2+4：x—3

【答案】。

【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键.

设P(c,g)为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点。顺时针旋转180°点户(―2,—g)，则P是在旋转后

的抛物线上，然后代入化简即可解答.

【详解】解:设P(,,g)为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点。顺时针旋转180°点尸(一⑨一切，

由题意可知：P(―①,一沙)是在抛物线y=re2—4z+3上，即：—y=x2+4x+3,化简得：夕=—x2—4x—3.

故选C.

题目23直线夕=aa:+b与抛物线y=ad+bc+&在同一坐标系里的大致图象正确的是()

【答案】。

【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函

数中a和6的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

【详解】解：4、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,6<0,故选项不符

合题意；

B、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,6V0,故选项不符合题意；

。、由一次函数的图象可知a>0,6>0,由二次函数的性质可知图象a>0,b>0,ab>0,而抛物线对称轴

位于y轴右侧，则ab<0,故选项不符合题意；

。、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,b>0,对称轴位于沙轴左侧，则

ab>0,故选项符合题意；

故选：D.

题目24已知一个二次函数夕nd+W+c的自变量0与函数"的几组对应值如下表,

X-4-2035•M

y-24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上B.当2>0时，夕的值随力的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线，=1

【答案】。

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质.先利用待定系数法求得二次函数解

析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可.

（4a—2b+c——8（a——1

【详解】解：由题意得｛c=0，解得｛c=0,

[9a+3b+c=-31b=2

二次函数的解析式为y——x1+2x——（x—1）2+1,

KO,

.•.图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线，=1,故选项。符合题意；

当0<z<1时，夕的值随力的值增大而增大，当，>1时，y的值随①的值增大而减小，故选项B不符合题

意；

•.•顶点坐标为（1,1）且经过原点，图象的开口向下，

图象经过第一、三、四象限，故选项。不符合题意；

故选：D.

题目25如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P,Q都在，轴上，平行于加轴的直线与两条

抛物线相交于四点，若AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长度为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN,交AD于点、M,N,得四边形PMNQ是矩形,利用抛物线

的对称性计算即可.

本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

【详解】分别作出两条抛物线的对称轴刊\么QN,交AD于点河，N,

四边形PMNQ是矩形，

：.MN=PQ,

AB=10,BC=5,CD=6,

AM=MC=4C=-y(AB+BC)=学,BN=ND=^BD=*CD+BC)=%

：.MN=AD-AM-ND=(AB+BC+CD)—A/Vf—7VD,=21-宁—昔=8,

PQ=8,

故选3.

题目26二次函数夕=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于2的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是

()

A.只有一个实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根

【答案】。

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，

首先根据二次函数的图象得到aV0,b>0,然后判断一元二次方程的判别式求解即可.

【详解】•.•二次函数图象开口向下，对称轴大于零，

aV0,—~~>0

2a

：.b>Q

方程/J匕力+a=0的判别式A=b2—4ac=(―b)2—4x1义a=fe2—4a>0

・,・关于力的一元二次方程/2—b/+Q=0的根的情况是有两个不相等的实数根.

故选：C.

题目抛物线y=/+14c+54的顶点坐标是()

A.(7,5)B.(7,-5)C.(-7,5)D.(-7,-5)

【答案】。

【分析】依据题意，由抛物线为y—a?+14a;+54=(rr+7),+5,从而可以判断得解.