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文档简介
二次函数重难点题型汇编
.考点归纳
【题型01:二次函数的概念】
【题型02:二次函数的条件】
【题型03:列处二次函数关系式】
【题型04:特殊二次函数的图像和性质】
【题型05:与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06:二次函数沙=aa?+bc+c的图像和性质】
【题型07:二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08:根据二次函数y=遍+五+c的图像判断有关的信息】
【题型09:二次函数的平移变换】
【题型10:二次函数的交点个数问题】
隍1点精讲
D.y=ax2+bx+c
91
D.y=2冗之-------
x
1
D.g=2629----
x
.已知OF
3,BE=5.设正方形ABCD的边长为力,阴影部分的面积为v,则g与力满足的函数关系是()
A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系
••
【题型02:二次函数的条件】
题目5抛物线g=a/+(Q—2)力一。―1经过原点,那么。的值等于(
A.0B.1C.-1D.35
题目6已知g=(m—1)—+1—26+5是二次函数,则in的值为()
A.1或—1B.1C.—1D.0
题目7已知二次函数g=(馆—2)/•一之+36+1,则771=.
【题型03:列处二次函数关系式】
题目8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是。,
则该厂今年一季度新产品的研发资金夕(元)关于,的函数关系式为()
A.g=9(l+c)2B.0=9+9//
C.g=9+9(l+c)+9(1+/yD.g=9(1+/工
题目E已知一正方体的棱长是3cm,设棱长增加xcm时,正方体的表面积增加ycnz2,则y与2之间的函数
关系式是()
A..y=6a?2—36zB.y=-6x2+3QxC.y=x2+36xD.y=6a;2+36a;
题目10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件,在一段时间里,单价是13.5元,销售量是500件,而单价
每降低1元就可多售出200件,当销售价为,元/件(7.5<,<13⑸时,获取利润U元,则沙与c的函数关
系为()
A.y—(x—7.5)(500+x)B.y=(13.5-2:)(500+2002:)
C.y=(a;-7.5)(500+200a:)D.以上答案都不对
题目正方形边长3,若边长增加,,增加后正方形的面积为y,y与h的函数关系式为
【题型04:特殊二次函数的图像和性质】
题目已知函数y=—(x_2)2的图象上有力(—当明),凤3,纺),。(4,%)三点,则明,统,为的大小关系是
A.yi<y2<y3B.y2<yi<y3C.yr<y3<y2D.y2<y3<yi
题目对于二次函数V=2(c—1>+3,下列说法正确的是(
A.开口方向向下B.顶点坐标(1,—3)C.对称轴是"轴D.当c=l时,3有最小值
题目iT下列抛物线中,对称轴为直线①的是()
A.y=(a;-y)2B.y=~^x2C.y=x2+^D.y=[x+^-3
题目1?在二次函数9=—(。-1)2+3的图象中,若沙随,的增大而减小,则c的取值范围是()
A.x>—1B.a;<-1C.力>1D.力<1
题目16抛物线夕=—2(c+l)2+2的顶点的坐标是.
题目,点4―3,%),B(2,纺)均在二次函数g=—/+2的图象上,则阴y2.(填。"或“V”)
【题型05:与特殊二次函数有关的几何知识】
题目如图,OO的半径为2,G是函数夕=]]的图象,&是函数的图象,则阴影部分的面积
C.TCD.无法确定
题目19如图,已知点…,42024在函数夕=2/位于第二象限的图像上,点昆,5,...,3()24在函数U=
2/位于第一象限的图像上,点G,G,…,。2。24在y轴的正半轴上,若四边形OlAGm,GAGG,…,仁侬
在2024。202出2024都是正方形,则正方形Go23A2024c2024显024的边长为()
c2023
A.1012B.1012V2J~1TD.警2
题目型如图,正方形。48。有三个顶点在抛物线?/=!22上,点。是原点,顶点8在9轴上•则顶点MA的坐
标是()
A.(2,2)B.(V2,A/2)C.(4,4)D.(2V2.2V2)
题目如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4).若
抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是.
【题型06:二次函数沙=aa?+ba;+c的图像和性质】
题目22将抛物线夕=,2—知+3绕原点。顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为(
A.y=於+4%—3B.y=-x2+4:x-\-3C.y=—a:2—4T—3D.g=—3?+4N—3
题目23直线"ax+b与抛物线o=a/+b/+b在同一坐标系里的大致图象正确的是
A.C.
题目已知一个二次函数9=aa?+6a;+c的自变量/与函数v的几组对应值如下表,
X-4-2035
y-24—80-3-15
则下列关于这个二次函数的结论正确的是()
A.图象的开口向上B.当rc>0时,夕的值随名的值增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线,=1
题目如图,平面直角坐标系中有两条抛物线,它们的顶点P,Q都在立轴上,平行于r轴的•直线M与两条
抛物线相交于A,B,C,。四点,若AB=10,BC=5,8=6,则PQ的长度为()
C.9D.10
题目26|二次函数夕=aa?+bo;+c的图象如图所示,则关于x的一元二次方程/―比+a=0的根的情况是
A.只有一个实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根
题目27抛物线?/=1+14C+54的顶点坐标是()
A.(7,5)B.(7,-5)C.(-7,5)D.(-7,-5)
题目28用配方法将二次函数沙=一/一2/一3化为夕=a(;r-/i)2+A;的形式为()
A.y——{x—1)2+3B.y—(X+I)2—4C.y——(x+I)2—2D.y=(a;—l)2+2
题目画如图,抛物线y=a^+bx+c的对称轴为2=1,点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点,若点P的
坐标为(—1,0),则点Q的坐标为()
A.(0,-1)B.(2,0)C.(4,0)D.(3,0)
【题型07:二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】
题目30已知抛物线y=-a^+2x+1在自变量2的值满足tW/Wt+2时,与其对应的函数值y的最小值
为—7,求此时t的值为()
A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2
题目已知二次函数g=X2—2X(-1《力4力-1),当力=一1时,函数取得最大值;当力=1时,函数取得最
小值,则力的取值范围是()
A.0〈力42B.0V/;&4C.2&力&4D.Q2
题目已知抛物线V="+(2a—1),一3,当—1WCW3时,函数最大值为1,则a值为(
D.-1或V
A.1B
2-4O
题目33已知二次函数9=(2—m)2-l(m为常数),当自变量c的值满足2Wc<5时,与其对应的函数值y
的最小值为3,则小的值为()
A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7
题目已知二次函数沙=mx2—limx+2(mW0)在一2W①W2时有最小值—2,则?n=
A.-4或一;B.4或一yC.—4或/D.4或十
题目35已知二次函数g=—26+2,当馆2时,函数g的最大值是3,则m的取值范围是
()
A.7n>—1B.2C.1D.04m&2
【题型08:根据二次函数y=ax\bx+c的图像判断有关的信息】
题目已知二次函数沙=a^+bx+c(aW0)的图象如图所示,对称轴为2=等,且经过点(-1,0),下列结
c,则0<c<3.其中正确的有()
C.2个D.3个
题目型」二次函数夕=浸+近+。的图像如图所示,下列结论错误的是()•M
u/
A.v有最小值B.当一1<,<2时,y<0
C.a+b+c>0D.当立<-1时,V随2的增大而减小
可38二次函数?/=aa?+®+c的图象如图所示,与/轴左侧交点为(—1,0),对称轴是直线2=1.下列
结论:
①abc>0;
②3a+c>0;
③(a+c)2-52<0;
④a+bWm(am+6)(m为实数).
其中结论正确的为()
A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④
H39已知二次函数y二=a/+bc+c的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()
7
A.Labc>0B.关于力的一元二次方程a/+b/+。=0的根是,=-2,x=3
2
C.a+b—c—bD.Q+4b=3c
题目如图,二次函数0=Q"+近+C(QWO)的图象与力轴交于点4(3,0),与g轴交于点对称轴为直
线力=1,下列四个结论:①beV0;②3Q+2cV0;③ax2-\-bx>Q+b;④若一2VcV—1,则一<a+b+
o
c<—^,其中正确结论的个数为()
O
A.1个B.2个C.3个D.4
【题型09:二次函数的平移变换】
题目<将抛物线夕=2(,+1)2-3向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为()
A.y—2(2:+3)2—4B.y—2(x+3)2—2C.y—2(x—I)2—2D.y—2(a?-1)
题目42将抛物线沙=-3/+2向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()
A.y=一3(e—1)~-3B.y——3(2—1)~一1C.y=-3(z+1)"-3D.y——3(c+1)2-1
【题型10:二次函数交点的个数问题】
(x2(劣42)
题目如图所示,已知函数%=L(。>2)的图象与一次函数统=x+b的图象有三个交点,则b的取值
范围是()
C.—gWb<2D.—<b<2
44
题目空如图,二次函数y=-a?2+a;+2及一次函数y=x+如将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折
到力轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数,当直线。=力+小与新图象有4个交点时•,小的•取值•
范围是(
C.—2<m<1D.—3V?72V—2
4
题目4?抛物线y=—/+版+%一与与2轴的一个交点为A(m,0),若—24m41,则实数%的取值范围是
4
)
91〜Q
A.一?8.看《一外或用>1C.—5WA;W2D.k4-5或?
448o
题目将抛物线y=(x+1)2的图象位于直线y4以上的部分向下翻折,得到如图图象,若直线g=c+
小与此图象只有四个交点,则机的取值范围是()
K5
C.1<m<—D.—<m<4
44
•••
二次函数重难点题型汇编
.考点归纳
【题型01:二次函数的概念】
【题型02:二次函数的条件】
【题型03:列处二次函数关系式】
【题型04:特殊二次函数的图像和性质】
【题型05:与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06:二次函数沙=aa?+bc+c的图像和性质】
【题型07:二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08:根据二次函数y=遍+五+c的图像判断有关的信息】
【题型09:二次函数的平移变换】
【题型10:二次函数的交点个数问题】
隍3点精讲
【题型01:二次函数的概念】
1下列函数是关于力的二次函数的是()
A.0=x2-]--B.y=x(l—x)C.g=(力+1)2—/D.y=ax2-hbx+c
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义,根据形如g=a/+b/+。(Q,6,。为常数,aW0)的函数是二次函数,判
断即可,熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键.
【详解】解:49=步+±的分母含有自变量,不是沙关于,的二次函数,故人不符合题意;
X
B、y=力(1—x)=――+力,是y关于x的二次函数,故B符合题意;
。、g=(力+1)2—/=2T+1,不是g关于x的二次函数,故。不符合题意;
D、y—aa?-\-bx+c,当a=0时不是二次函数,故_D不符合题意;
故选:A
题目2下列各式中,是二次函数的是()
A.g=2/+lB.y=—2x+1C.y=T2+2D.g=2力之—―
x
【答案】。
【分析】本题主要考查了二次函数的定义,解题的关键是掌握一般地,形如0=。/2+函+。(Q、b、C是常数,
aWO)的函数,叫做二次函数.
【详解】解:4g=2/+l,是一次函数,故本选项不合题意;
B、g=-2力+1,是一次函数,故本选项不合题意;
C、y=X2+2,是二次函数,故本选项符合题意;
。、夕=2/—里,右边中一支不是整式,不是二次函数,故本选项不合题意.
XX
故选:C.
题目F下列函数解析式中,夕是X的二次函数的是()
A.y—ax2+bx+cB.y——5x+1C.y——--x2+x—7-D.y—2x2---
34x
【答案】。
【分析】根据:形如y—ax2+bx+c((z#0),这样的函数叫做二次函数,进行判断即可.
【详解】解:4当a=0时,y—ax2+bx+c不是二次函数,不符合题意;
B、y——5x+1,是一次函数,不是二次函数,不符合题意;
C、y=—^-x2+x—是二次函数,符合题意;
。、夕=2/_工,不是二次函数,不符合题意;
x
故选C.
题目4如图,分别在正方形ABCD边AB、人。上取E、F点,并以AE、AF的长分别作正方形.已知DF=
3,BE=5.设正方形ABCD的边长为,,阴影部分的面积为勿则v与,满足的函数关系是()
A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系
【答案】A
【分析】本题考查函数关系的识别,完全平方公式,列函数关系式,根据题意表示出4E、AF的长度,再结合
阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4,—16,理解题意,列出函数关系式是
解决问题的关键.
【详解】解:由题意可得:AE=AB—BE=H—5,AF^AD-DF^X-3,
则阴影部分的面积为y=(a?—3)2—(a:—5)2=x2—6x+9—i+lOc-25=4a?—16,
即:g=4rr—16,为一次函数,
故选:A.
【题型02:二次函数的条件】•M
题目5抛物线v=a/+(a—2)2—a—1经过原点,那么a的值等于()
A.0B.1C.-1D.35
【答案】。
【分析】本题考查了抛物线与点的关系,熟练掌握把(0,0)代入函数解析式,求解关于a的一元一次方程是解
题的关键.
【详解】解:;抛物线y=az2+(a—2)x—a—1经过原点,
…解得:a=T,
故选C.
题目6已知g=(m—l)劣症+-2力+5是二次函数,则?7i的值为()
A.1或一1B.1C.-1D.0
【答案】。
【分析】本题考查了二次函数的定义,根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是:a、b、c为常数,QWO,
自变量最高次数为2即可求解.
【详解】解:根据二次函数的定义:力2+1=2,且rn—lWO,
解得:772=1或771=—1,
又丁M#1,
m=1,
故选:C,
题目7已知二次函数g=(771—2)力.―2+3/+1,则771=.
【答案】-2
【分析】此题考查了二次函数的定义,根据二次函数的定义:形如y=ax2-\-bx+c(ar0),这样的函数叫做二
次函数,得到m—2W0,馆2_2=2,进行求解即可.解题的关键是熟练掌握二次函数的定义.
【详解】解::函数y=(m—2)/"+3/+1是二次函数,
m—27^0,m2—2=2,
m=—2.
故答案为:一2.
【题型03:列处二次函数关系式】
题目8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是力,
则该厂今年一季度新产品的研发资金公元)关于力的函数关系式为()
A.?/=9(H-T)2B.g=9+9/+力之
C.g=9+9(l+/)+9(1+力>D.g=9(1+力/•••
【答案】。
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式.根据题意得到二月的研发资金为:
9(1+为,三月份新产品的研发资金为:9(1+02,再求和即可,正确表示出三月份的研发资金.
【详解】解:根据题意可得二月的研发资金为:9(1+⑼,三月份新产品的研发资金为:9(1+9y,
今年一季度新产品的研发资金?/=9+9(l+c)+9(1+,)2,
故选:C.
题目9已知一正方体的棱长是3cm,设棱长增加:rczn时,正方体的表面积增加ycm,KO沙与2之间的函数
关系式是()
A.y—6X2—36XB.y——dx1+3QxC.y—D.g=6a?+36a:
【答案】。
【分析】本题考查了二次函数的应用,根据题意直接列式即可作答.
【详解】根据题意有:y—6(x+3)2—6x3?=6x2+36x,
故选:D.
题目10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件,在一段时间里,单价是13.5元,销售量是500件,而单价
每降低1元就可多售出200件,当销售价为,元/件(7.5V2<13⑸时,获取利润g元,则沙与田的函数关
系为()
A.沙=(2-7.5)(500+/)B.y=(13.5-rc)(500+200z)
C.y=(re-7.5)(500+200a;}D.以上答案都不对
【答案】。
【分析】当销售价为上元/件时,每件利润为3-7.5)元,销售量为[500+200X(13.5—切,根据利润=每
件利润x销售量列出函数关系式即可.
【详解】解:由题意得io=(c—7⑸X[500+200x(13.5-切,
故选:D.
【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式,用含力的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的
关键.
题目11正方形边长3,若边长增加以增加后正方形的面积为与,的函数关系式为.
【答案】y—(x+3)2/y=(3+x)2
【分析】本题考查了列二次函数关系式,根据正方形面积等于边长的平方,即可求解.
【详解】解:依题意,y=3+3)2,
故答案为:9=(劣+3)2.
【题型04:特殊二次函数的图像和性质】
题目12|已知函数,8(3,纺),。(4,%)三点,则?/1,统,仍•的大小•关系是•
A.阴Vy2<y3B-y2<%Vy3C.y《y3<y2D,y2<y3<%
【答案】。
【分析】本题考查二次函数的性质,当开口向上时,距离对称轴越近,函数值越小;当开口向下时,距离对称
轴越近,函数值越大,解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.先找到对称轴和开口方向,根据点
到对称轴的距离比较函数值的大小即可.
【详解】解:;函数y=—(x—2)2,
图象开口向下,对称轴为直线;r=2,
图象上的点距离对称轴越近,函数值越大,
|2-(-y)|=y,|3-2|=1,|4-2|-2,
7
二阴<为<沙2,
故选:C.
题目对于二次函数V=2Q—1尸+3,下列说法正确的是(
A.开口方向向下B.顶点坐标(1,—3)C.对称轴是?/轴D.当劣=1时,沙有最小值
【答案】。
【分析】本题考查了二次函数的性质:根据抛物线的性质,由a=2得到图象开口向上,根据顶点式得到顶点
坐标为(1,3),对称轴为直线2=1,当,=1时,y有最小值3,再进行判断即可.
【详解】解:二次函数y=2(c—1)2+3的图象开口向上,顶点坐标为(1,3),对称轴为直线7=1,当a=1时,
夕有最小值3.
故选项D正确,
故选:D
=/的是
题目下列抛物线中,对称轴为直线x
A.y=(①一B.y=^x2C.y=x2+^-D.(a;+y)2-3
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式:/=—2.
2a
利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴,然后即可确定选项.
【详解】解:A^y—[x—发)2的对称轴为直线x=■,故选项符合题意.
B、y=-^-x2的对称轴为直线力=0,故选项不符合题意.
。、^=/+]的对称轴为直线/=0,故选项不符合题意.•••
。、夕=(劣+"|~)—3的对称轴为直线x——",,故选项不符合题意.
故选:A.
题目15在二次函数沙=—(,—1)2+3的图象中,若v随c的增大而减小,则立的取值范围是()
A.x>—lB.x<—1C.a;>1D.a;<1
【答案】。
【分析】本题考查了二次函数的性质,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键;
由题可知,函数图象开口向下,对称轴为a;=l,在对称轴右侧,沙随土的增大而减小;在对称轴左侧,g随a;
的增大而增大,据此即可得到答案.
【详解】解:由二次函数的解析式得,抛物线开口向下,对称轴为c=1,
当力>1时,夕随0的增大而减小.
故选:C.
题目16抛物线夕=一2(>+1)2+2的顶点的坐标是.
【答案】(一1,2)
【分析】本题考查了二次函数的性质,根据顶点式沙=a(x—h^2+k的顶点坐标为(儿k),即可求解.
【详解】解:抛物线沙=—2(,+1)2+2的顶点坐标是(—1,2),
故答案为:(—1,2).
题目17点4一3,%),B(2,纺)均在二次函数沙=—"+2的图象上,则%纺.(填“>”或“<”)
【答案】<
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质.根据开口向下的二次函数,离对称轴越远函数值越小进
行求解即可.
【详解】解:;二次函数解析式为沙=一/+2,
二次函数开口向下,对称轴为夕轴,
离对称轴越远函数值越小,
•••0—(-3)=3>2—0=2,
:.yi<y2,
故答案为:V.
【题型05:与特殊二次函数有关的几何知识】
题目应:如图,OO的半径为2,G是函数,的图象,02是函数呼的图象,则阴影部分的面积
是(
•M
A.4兀B.2兀C.7iD.无法确定
【答案】8
【分析】据函数y=1■/与函数y=一1]的图象关于c轴对称,得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可.
【详解】解:•••Ci是函数/的图象,0?是函数?/=—//的图象,且当立相等时,两个函数的函数值互
为相反数,
函数y=-1-2;2的图象与函数y——■的图象关于尤轴对称,
阴影部分面积即是半圆面积,
面积为:微■兀x2?=2兀.
故选:B.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象,根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键.
题目19如图,已知点44…,4024在函数9=2/位于第二象限的图像上,点为玛,…,32024在函数U=
2/位于第一象限的图像上,点G,G,…,C2024在g轴的正半轴上,若四边形QAQBCAaB.…,。2023
A2024c202田2024都是正方形,则正方形C2023A2024C2024B2024的边长为()
A.1012B.1012V2C.弩&D,卷工
【答案】B
【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得05与?/轴的夹角为45°,然后表示出05的解析式,再与抛
物线解析式联立求出点Bi的坐标,然后求出O旦的长,再根据正方形的性质求出OG,表示出。1瓦的解析
式,与抛物线联立求出马的坐标,然后求出。田2的长,再求出GG的长,然后表示出。2八的解析式,与抛
•••
物线联立求出瓦的坐标,然后求出C2B3的长,从而根据边长的变化规律解答即可.
【详解】解:O4GB1是正方形,
.•.OB与沙轴的夹角为45°,
.♦.OB的解析式为夕=工,
联立方程组得:("二:2,
B点的坐标是:(',与),
同理可得:正方形G4GB2的边长G3=2x#;
依此类推,正方形G023A202Q2024B2024的边长是为2024X夸=10122.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的对称性,正方形的性质,表示出正方形的边长所在直线的解析式,与抛物线
解析式联立求出正方形的顶点的坐标,从而求出边长是解题的关键.
题目龙如图,正方形O4BC有三个顶点在抛物线v=[疗上,点。是原点,顶点口在夕轴上则顶点A的坐
标是()
A.(2,2)B.(V2.V2)C.(4,4)D.(272,272)
【答案】。
【分析】连接AC^y轴于点。,设点B坐标为(0,m),根据正方形的性质可得OD=^m,AD=fn,从而
得到,再代入u=即可求解.
【详解】解:如图,连接AC交夕轴于点。,
•M
y
D
ox
设点_B坐标为(0,m),
•/四边形OABC是正方形,
OD=^OB,CD=AD,AC_L夕轴,
:.OD=-^-m,AD=—m,
,A在抛物线g=~^-x2上,
1_12
,ym-T
解得m=0(舍去)或8,
・•・点力的坐标为(4,4).
故选:C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,正方形的性质,利用数形结合思想解答是解题的关键.
题目21如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4).若
抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是
【答案】士WaW4
16
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系,二次函数图象上的点的坐标特征等知识,求出抛物线经过两
个特殊点时的a的值即可解决问题.
【详解】解:•.•正方形ABCD的顶点A、B、。的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4).
1),
当抛物线经过点B(l,4)时,则a=4,•M
当抛物线经过。(4,1)时,a=占,
16
观察图象可知,抛物线夕=a/的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围是二&a<4,
16
故答案为:占
10
【题型06:二次函数y=aa:2+bc+c的图像和性质】
题目22将抛物线夕=1—4必+3绕原点。顺时针旋转180°,则旋转后的函数表达式为()
A.y—X2+4X—3B.y——x^+^x+3C.y——x2—4x—3D.y——x2+4:x—3
【答案】。
【分析】本题考查了二次函数的旋转变换,熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键.
设P(c,g)为旋转之后所得抛物线上的一点,P绕原点。顺时针旋转180°点户(―2,—g),则P是在旋转后
的抛物线上,然后代入化简即可解答.
【详解】解:设P(,,g)为旋转之后所得抛物线上的一点,P绕原点。顺时针旋转180°点尸(一⑨一切,
由题意可知:P(―①,一沙)是在抛物线y=re2—4z+3上,即:—y=x2+4x+3,化简得:夕=—x2—4x—3.
故选C.
题目23直线夕=aa:+b与抛物线y=ad+bc+&在同一坐标系里的大致图象正确的是()
【答案】。
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象,根据题意和各个选项中的函数图象,可以得到一次函
数中a和6的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况,然后即可判断哪个选项中的图象符合题意,解
题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
【详解】解:4、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,6<0,故选项不符
合题意;
B、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,6V0,故选项不符合题意;
。、由一次函数的图象可知a>0,6>0,由二次函数的性质可知图象a>0,b>0,ab>0,而抛物线对称轴
位于y轴右侧,则ab<0,故选项不符合题意;
。、由一次函数的图象可知a>0,b>0,由二次函数的性质可知图象a>0,b>0,对称轴位于沙轴左侧,则
ab>0,故选项符合题意;
故选:D.
题目24已知一个二次函数夕nd+W+c的自变量0与函数"的几组对应值如下表,
X-4-2035•M
y-24-80-3-15
则下列关于这个二次函数的结论正确的是()
A.图象的开口向上B.当2>0时,夕的值随力的值增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线,=1
【答案】。
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质.先利用待定系数法求得二次函数解
析式,再根据二次函数的性质逐一判断即可.
(4a—2b+c——8(a——1
【详解】解:由题意得{c=0,解得{c=0,
[9a+3b+c=-31b=2
二次函数的解析式为y——x1+2x——(x—1)2+1,
KO,
.•.图象的开口向下,故选项A不符合题意;
图象的对称轴是直线,=1,故选项。符合题意;
当0<z<1时,夕的值随力的值增大而增大,当,>1时,y的值随①的值增大而减小,故选项B不符合题
意;
•.•顶点坐标为(1,1)且经过原点,图象的开口向下,
图象经过第一、三、四象限,故选项。不符合题意;
故选:D.
题目25如图,平面直角坐标系中有两条抛物线,它们的顶点P,Q都在,轴上,平行于加轴的直线与两条
抛物线相交于四点,若AB=10,BC=5,CD=6,则PQ的长度为()
A.7B.8C.9D.10
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM,QN,交AD于点、M,N,得四边形PMNQ是矩形,利用抛物线
的对称性计算即可.
本题考查了抛物线的性质,矩形的性质,熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
【详解】分别作出两条抛物线的对称轴刊\么QN,交AD于点河,N,
四边形PMNQ是矩形,
:.MN=PQ,
AB=10,BC=5,CD=6,
AM=MC=4C=-y(AB+BC)=学,BN=ND=^BD=*CD+BC)=%
:.MN=AD-AM-ND=(AB+BC+CD)—A/Vf—7VD,=21-宁—昔=8,
PQ=8,
故选3.
题目26二次函数夕=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于2的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是
()
A.只有一个实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根
【答案】。
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质,一元二次方程的判别式,
首先根据二次函数的图象得到aV0,b>0,然后判断一元二次方程的判别式求解即可.
【详解】•.•二次函数图象开口向下,对称轴大于零,
aV0,—~~>0
2a
:.b>Q
方程/J匕力+a=0的判别式A=b2—4ac=(―b)2—4x1义a=fe2—4a>0
・,・关于力的一元二次方程/2—b/+Q=0的根的情况是有两个不相等的实数根.
故选:C.
题目抛物线y=/+14c+54的顶点坐标是()
A.(7,5)B.(7,-5)C.(-7,5)D.(-7,-5)
【答案】。
【分析】依据题意,由抛物线为y—a?+14a;+54=(rr+7),+5,从而可以判断得解.
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