中考数学专项复习：几何之三角形热考模型（含答案及解析）

第四章三角形

重难点08几何热考题二三角形热考模型

（10种模型汇总+专题训练+10种方法解析）

【题型汇总】

1.（2021九年级•全国•专题练习）如图，AABC^p,"=65。，直线DE交4B于点。，交4C于点E,贝（JNBDE+

MED=().

2.（2023•陕西西安・西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若

Z1=125。，则N2的度数为（）

2'

A.35°B.40°C.45°D.55°

3.（2020・四川广安・中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30。的角后得到一个六边形BCDEMN,

4.（2023•广东广州•统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得

到的N1与N2的和总是一个定值.则Nl+Z2=度.

5.（2023・贵州贵阳・统考一模）如图，在四边形纸片中，4=50。,若沿图中虚线剪去ND,则41+42='

1.如图，在由线段AB,CD,DF,BF,C4组成的平面图形中，ND=28。，则〃+NB+NC+NF的度数为（）.

B

A.262°B.152°C.208°D.236°

2..（2023临汾市模拟预测）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”,试说明：乙4+ZB=zC+ZD.

（2）如图（2）,AP,CP分另IJ平分N84D,4BCD,若NZBC=36。，^ADC=16°.求NP的度数.

（3）如图（3）,直线2P平分NBA。，CP平分立BCD的外角乙BCE,猜想NP与NB、乙D的数量关系是；

（4）如图（4）,直线4P平分NB4D的夕卜角NF4D,CP平分立BCD的夕卜角NBCE,猜想NP与NB、ND的数量关

系是•

A

P

A

D

图(1)图(2)图(3)图(4)

3.（2020九年级•全国・专题练习）阅读材料:

如图1,AB.CD交于点O,我们把△A。。和A80C叫做对顶三角形.

结论：若△49。和△80C是对顶三角形，则/A+NZ）=N3+NC.

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即/A+/B+NACE+/AO8+/E的度数.

解：连接CD,由对顶三角形的性质得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在△AC。中，VZA+ZACD+ZAZ）C=180o,

即ZA+Z3+Z1+Z2+Z4=180°,

，ZA+ZACE+ZB+ZE+ADB=ISQ°

即五角星的五个内角之和为180。.

解决问题:

(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=_；

(3)如图③，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=_；

(4)如图④，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN^

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程.

4.（2024八年级上.全国・专题练习）阅读材料，回答下列问题:

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.

【探索研究】

探索一：如图1,在八字型中，探索乙4、乙8、NC、乙D之间的数量关系为;

探索二：如图2,若28=36。，ZD=14°,求NP的度数为；

探索三：如图3,CP、AG分另IJ平分NBCE、^FAD,4G反向延长线交CP于点P,贝吐P、乙B、AD之间的数量

关系为.

【模型应用】

应用一：如图4,延长BM、CN,交于点4在四边形MNCB中，设NM=a,NN=0,a+13>180°,四边

形的内角NMBC与外角NNCD的角平分线BP,CP相交于点P,贝此4=（用含有a和夕的代数式表

示），NP=.（用含有a和£的代数式表示）

应用二：如图5,在四边形MNCB中，设NM=a,NN=S，a+。<180°,四边形的内角NMBC与外角NNCD

的角平分线所在的直线相交于点P,乙P=.（用含有a和0的代数式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如图6,若设NC=x,Z.B=y,/.CAP=^CAB,乙CDP=三乙CDB,试问NP与NC、NB之间的数

量关系为.（用％、y表示乙尸）

拓展二：如图7,AP平分CP平分乙员:。的令R补角猜想乙尸与乙8、△。的关系，直接写出结论

f,如图③，在飞镖模型中作乙48。靠4B的三等分线，作乙4CD靠4C的三等分线，两条三等分线交于点

H，……，依次方法，在飞镖模型中作428。靠2B的”等分线，作乙4CD靠4c的”等分线，两条”等分线

交于一点，贝（J/E九_1=.

图①图②图③

2.(20-21八年级上•安徽亳州•阶段练习)如图①所示是一个飞镖图案,连接AB,BC,我们把四边形A8CZ)

叫做“飞镖模型

(1)求证：ZXDC=^DAB+Z.DCB+ZXBC；

(2)如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点。,若NEDF=120。，求N4+NB+NC+NG+

NE+NF的度数.

3.(21-22八年级•全国•假期作业)利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.

几何模型：如图(1),我们称它为“A”型图案，易证明：/EDF=NA+NB+NC.

运用以上模型结论解决问题:

(1)如图(2),“五角星''形，求＞4+/(2+乙43+/4+/45=?

分析：图中A/A3ZM4是乂”型图，于是所以/4+NA2+/A3+/4+/A5=

(2)如图(3),"七角星"形，求/A/+/A2+/A3+/A/+/As+/4+/A7的度数.

图⑴图⑵图⑶

4.（20-21七年级下•江苏镇江•期中）模型规律：如图1,延长CO交AB于点。，则NBOC=N1+NB=N4+

ZC+ZB.因为凹四边形力80C形似箭头，其四角具有“乙BOC=乙4+/8+乙。”这个规律，所以我们把这个

模型叫做“箭头四角形

模型应用

（1）直接应用：

①如图2,N4=60。,48=20。,乙。=30。，贝！=°；

②如图3,N4+NB+NC+ND+NE+乙F=°；

（2）拓展应用：

①如图4,乙48。、/AC。的2等分线（即角平分线）8。1、CO1交于点0「已知N80C=120。，ABAC=50°,

贝此BOW=°；

②如图5,B。、CO分另U为乙4B0、NZCO的10等分线（i=1,2,3,...,8,9）.它们的交点从上到下依次为。602,

。3、…、0g.已知N80C=120°,ABAC=50°,则ZB。7。=°；

③如图6,NAB0、NB4C的角平分线交于点。，已知NBOC=120°,ZC=44。,贝IJN/WB=°；

④如图7,Z.BAC,NBOC的角平分线力。、0D交于点、D,则＜8、“、4。之间的数量关系为.

题型04老鹰抓小鸡模型

老鹰抓小鸡模型

1.（2023・广东珠海•模拟预测）如图，将AABC沿着DE翻折，使B点与B点重合，若/1+/2=80。厕NB的度

数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

2.（2022上•湖北恩施•八年级期末）如图，把△ABC沿EP对折，折叠后的图形如图所示，乙4=60°,zl=96°,

则N2的度数为（）

A.30°B.24°C.25°D.26°

3.（2023杭州市模拟）如图，将△ABC纸片沿QE折叠，点A的对应点为4,若/B=60。，ZC=80°,则/

1+/2等于（）

B

4.（2022下•河南南阳•七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABC。中，Z/1=80°,乙B=75。,将纸片

折叠，使点C,。落在边上的点C，，）处，折痕为EF,则41+42=（）

5.（2023下•河南郑州•八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传

统文化在几何中可以得到新的解读.已知在AABC中，请根据题意，探索不同情境中N1+N2（或N1-N2）

与44的数量关系.

CCC

图①图②图③

（1）如图①，若NA=60。，沿图中虚线DE截去乙4,则Nl+N2=_.

（2）如图②，翻折后，点A落在点4处，若+N2=110。，求NB+NC的度数.

（3）如图③，△力8C纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，若Nl=80。，N2=28。，贝吐4的度数为

6.（2022下•山东烟台•七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文

化在几何中可以得到新的解读.已知在AABC中，请根据题意，探索不同情境中/1+/2（或/I—N2）与

/A的数量关系.

CCC

图①图②图③

c

(1)如图①，若NA=80。，沿图中虚线。E截去NA,则/1+/2=.

(2)如图②，若44=80。，沿图中虚线。E将/A翻折，使点A落在BC上的点4处，则/1+/2=

(3)如图③，翻折后，点A落在点々处，若Nl+N2=80。，求NB+NC的度数

(4)如图④，△ABC纸片沿。E折叠，使点A落在点々处，若Nl=80。，Z2=24°,求/A的度数.

行折叠，使点A与BC边上的点尸重合，折痕分别与4C、4B交于点。、点E.下列结论：①N3+NB=90。；

②41+42=90。；③N1=N2；@DFIIAB.其中一定正确的结论有()

2.(20-21七年级下•江苏泰州•期末)如图，将△A2C纸片沿OE折叠，使点A落在点A处,且平分NABC,

AC平分/ACB,若/用VC=120。，则/1+/2的度数为()

B

A.90°B.100°C.110°D.120°

3.(21-22七年级下•江苏南京•期末)已知△ABC中,〃=65。,将NB、NC按照如图所示折叠，若=35°,

4.(24-25八年级上•全国•阶段练习)如图，^AOB=a,点M是射线。4上的一个定点，点N是射线OB上的

一个动点，连接MN,把N20B沿MN折叠，点。落在乙4。8所在平面内的点C处.

图3备用图

(1)如图1,点C在乙4OB的内部，若NCMA=20。，NCNB=60。，则a=_.

(2)如图2,若a=45。，ON=V2,折叠后点C在直线。B上方，CM与OB交于点E,S.MN=ME,求NOMN的

度数及折痕MN的长.

(3)如图3,若折叠后，直线MC10B,垂足为点E,且。M=5,ME=3,直接写出此时ON的长.

5.(2024八年级上•黑龙江•专题练习)新考向【动手操作】一个三角形的纸片4BC,沿OE折叠，使点2落在

点4处.

(1)如图①，若乙4=40°,则Nl+Z2=°；

若乙4=55°,则Nl+Z2=°；

若N4=n°,贝!Ul+42=°；

【探索证明】

(2)利用图①，探索N1,N2与N4的关系，并说明理由；

【拓展应用】

(3)如图②，把A4BC折叠后，B4平分N4BC,C4平分N4CB,若41+42=108。，利用(2)中的结论

求乙84c的度数.

6.(2024.贵州贵阳.二模)综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动.

独立思考：

(1)如图①，将三角形纸片ABC沿OE折叠，使点4落在四边形BCDE内点4的位置，贝叱4与N1+N2之间的

数量关系为请说明理由；

深入探究：

(2)如图②，若点4落在四边形8CDE的边下方时，试猜想此时乙4与41,42之间的数量关系，并说明

理由；

结论运用：

(3)如图③，在四边形力BCD中，=ZC=90°,E,F分别是力B,CD边上的一点，沿EF将四边形2BCD折

叠，点2的对应点G恰好落在BC边上，且N1=75°,Z2=15°.

①NB的度数为；

②若BE=2V2,AD=^AE,求点”到BC的距离.

(1)如图1,B0平分△ABC的内角/ABC,CO平分△ABC的外角/ACD,试证明：ZBOC=|ZA；

【变式应用】：

(2)如图2,直线PQLMN,垂足为点O,作/PON的角平分线0E,在0E上任取一点A,在ON上任

取一点B,连接AB,作/BAE的角平分线AC,AC的反向延长线与NABO的平分线相交于点F,请问：

ZF的大小是否随着点A,B位置的变化而变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其度数;

(3)在(2)的基础上，若FC〃MN,则AB与0E有何位置关系？请说明理由.

2.(22-23七年级下•江苏盐城•期中)如图，是一个缺角(NZ)的三角板模型，现要知道乙4的大小.数学活动课

上，小李没有采用先直接量得NMBC和NNCB的度数，再求得乙4的度数，而是分别画出的角平分线与

A/VCB的外角平分线相交于点P,测得NP=26°,请告知N4=1

3.(22-23七年级下•吉林长春・期末)【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题:

如图①，在△ABC中，BP平分乙4BC,CP平分乙4CB,请你判断乙4和NP间的数量关系并说明理由.

刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程.

解：结论：NP=.

理由：；BP平分乙4BC,CP平分乙4C8,

:.4PBC=~^ABC,乙PCB=-AACB.

22

."P=180°-乙PBC-APCB

1

=180°--{/.ABC+ZXCB)

1

=180°--(180°-z4)

【模型发展】如图②，点P是AABC的外角平分线BP与CP的交点，请你判断N4和"间的数量关系并说明

理由.

【解决问题】如图③，在AABC中，BP平分4ABC,CP平分N4CB,点。是△PBC的外角平分线BQ与CQ的

交点.若乙4=68。，则NQ=度.

图①图②图③

4.(1)如图(1),在AABC中，/BAC=70。，点。在8c的延长线上，三角形的内角/A8C与外角/AC。

的角平分线BP,CP相交于点P,求/P的度数.(写出完整的解答过程)

【感知】：图（1）中，若/BAC=m。,那么/尸=_。（用含有m的代数式表示）

【探究】：如图（2）在四边形MNCB中，设NA/=a,NN=£,a+£>180。，四边形的内角与外角/NCD

的角平分线BP,CP相交于点P.为了探究/P的度数与a和4的关系，小明同学想到将这个问题转化图

（1）的模型，因此，他延长了边BM与CN,设它们的交点为点A,如图（3）,则NA=_（用含有a

和P的代数式表示），因此/尸=_.（用含有a和£的代数式表示）

【拓展工将（2）中的a+夕>180。改为a+£<180。，四边形的内角NMBC与外角NNCD的角平分线所在

的直线相交于点P,其它条件不变，请直接写出NP=.（用a,4的代数式表示）

5（22-23七年级下•江苏苏州•期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分

线的夹角和内外角平分线夹角问题.聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研

究过程如下:

（1）【问题再现】如图1,在AABC中，AABC,"CB的角平分线交于点P,若乙4=50。，贝此「=；

（2）【问题推广】如图2,在AABC中，NBAC的角平分线与△ABC的外角NCBM的角平分线交于点尸，过点8

作BH14P于点H,若=80°,求NPBH的度数.

（3）如图3,在△力BC中，AABC,N4CB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若

Nl+N2=100°,则Z_8PC=；

（4）【拓展提升】如图4,在四边形8CDE中，EB||CD,点厂在直线ED上运动（点尸不与£,。两点重合），

连接BF,CF,乙EBF、NDCF的角平分线交于点。，若NEBF=a,乙DCF=0,直接写出/。和a,£之间

的数量关系.

题型07三角形面积比问题

底相同高相同

1.（22-23八年级下•河北唐山・开学考试）小明学习了角的平分线后，发现角平分线力。分得的AABD和AADC

的面积比与两边长有关，在图中，若AB=10,AC=6,你能帮小明算出下面两个比值吗？

SxABD

S^ADC

2.（24-25七年级上•广西南宁•开学考试）如图；在A4BC中，LABE.4BEF、△BCF和四边形力£TC的面

积都相等.若DF:FC=3:2,△力BC的面积为728.（注：符号“△”表示“三角形”三个字）

A

BC

（1）线段4。与线段的比值黑=_____；

DB

（2）AGEF的面积是.

3.（2023.山东青岛.二模）【模型】

同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.

BD

已知，如图1,△ABC中，。为线段BC上任意一点,连接4。，则有:S»ABD_

SxACDCD

【模型应用】

(1)如图2,任意四边形ABC。中，E、尸分别是4B、CD边的中点，连接CE、AF,若四边形力BCD的面积为

S，则S四边形4ECF=--------

(2)如图3,在任意四边形力BCD中，点E、F分另I」是边AB、CO上离点力和点C最近的三等分点，连接力F、CE,

若四边形4BCD的面积为S,则S四边形AECF

(3)如图4,在任意四边形4BCD中，点E、F分别是边4B、CD上离点B和点D最近的几等分点，连接2F、CE,

若四边形力BCD的面积为S,则S四边形AECF

【拓展与应用】

(4)如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、。、P、Q、R分另U是4B、CO、DE、EF、FG、H1、

〃、"边上离点4、C、E、E、尸、H、I、4最近的四等分点，连接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ.01、GP,

则图中阴影部分的面积是.

4阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是AABC中BC边上的中线，则S^BD=

=

SRACD2SA4BC•

[11

理由：••,BD=CD,；.SA4BD=380x4/1=5(7。X4H=SAACD=5SA4BC，

即：等底同高的三角形面积相等.

操作与探索

在如图2至图4中，A2BC的面积为a.

(1)如图2,延长2V1BC的边BC至I］点D,使CD=BC,连接D4.若△4CD的面积为SI，则S1=(用

含a的代数式表示)；

(2)如图3,延长&4BC的边BC到点D,延长边C4到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若ADEC的面积

为S2,则52=(用含a的代数式表示)，并写出理由；

(3)在图3的基础上延长4B到点尸，使BF=AB,连接FD,FE,得到ADEF(如图4).若阴影部分的面积为S3,

则S3=；(用含a的代数式表示)

拓展与应用：

(4)如图5,已知四边形48CD的面积是a,E、F、G、H分别是4B、BC、CD、的中点，连接FH,EG交于

5.(23-24九年级上•湖北武汉.阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点。为8c延长线上一点，连接4D,

点E为4D上一点，连接CE,ZDFC=60°,

图1图2

(1)求证：BE平分N4EC

(2)如图2,点P是4B上一点、CD=BF,连接CF交BE于点求证：点M为CF中点.

(3)在(2)的条件下，若黄=|，直接写出AAEC与ABCM面积的比值.

6.阅读下面资料:

小明遇到这样一个问题：如图1,对面积为a的△ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至Ai、

Bi，Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,顺次连接Ai、Bi、Ci,得到AAiBiCi,记其面积为Si,

求Si的值.

小明是这样思考和解决这个问题的：如图2,连接AC、BiA、CiB,因为A|B=2AB,BC=2BC,QA=2CA,

根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以S/AiBC=S^B1c4=SgBC=S"IAB=2SAABC=2a,由此继续推

理，从而解决了这个问题.

（1）直接写出Si=_（用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：

（2）如图3,P为AABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把

△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC的面积.

（3）如图4,若点P为△ABC的边AB上的中线CF的中点，求SAAPE与SABPF的比值.

1.（24-25八年级上•江苏扬州•阶段练习）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的

面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积

法”.如图1,在等腰三角形48c中，48=2C,2C边上的高BD记为是底边BC上的任意一点，M到腰AB、

AC的距离ME、MF分别记为h1、h2.

图1图2图3

(1)兴趣小组现需要证明八=hr+h2,请根据所学知识帮助其完成如下证明过程(将正确答案填在相应的横

线上).

证明：连接AM,由题意得BD=h,ME=电,MF=h2,

,*,^^ABC=^LABM+S_,S^ABM=万'ABXME=Xll],

x

S—MC=5xACxMF—xh2>S>ABC=鼻"。BD=-ylCxh,

111

••—2ACx/i=—2ABx/i-1i4—2ACxh2z,

又・・,4B=AC,

：.-ACxh=-ACx比+-ACxh2=-AC(),

fl=M+&•

(2)当点M在BC延长线上时(M点在C点的右边)，fl1、电、九之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明

理由(可利用图2作图进行证明).

(3)利用以上结论解答：如图3,在平面直角坐标系中有两条直线小y=|x+6,Z2：y=—3x+6,若%上

的一点M到11的距离是2,请直接写出点M的坐标.

2.(23-24八年级上•广西南宁•期中)我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的

有关问题，这种方法称为等面积法.

⑴如图1,BC是"边上的高，CD是4B边上的高，我们知道SA=：X底X高，贝凡谢=^AC-BC=.

(2)如图1,若乙4cB=90。，AC=3,BC=4,AB=5,CD是斜边AB上的高线，用等面积法求CD的长.

(3)如图2,在等腰三角形力8c中，AB=AC=13,BC=10,过A作4H1BC于点X,且=12,尸为底

边BC上的任意一点，过点P作PM1AB,PN1AC,垂足分别为M,N,连接4P,利用工"©=S4ABP+SFCP，

求PM+PN的值.

3.(23-24九年级上•四川成都・期中)教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰△48C中，SMBC=

A

S4PB+SAApc--DC=3AB-MP+^AC-PN,'：AB=AC,：.DC=SP+PN,MP+PN是个固定值.

图1图2图3

(1)如图1,在矩形4BCD中，AC与DB交于。，AB=3,AD=4,P是4D上不与A和。重合的一个动点，过

点尸分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E,F,贝IJPE+PF的值为.

知识应用:

(2)如图2,在矩形48CD中，点M,N分别在边AD,BC上，将矩形力BCD沿直线MN折叠，使点。恰好与点

B重合，点C落在点6处.点P为线段MN上一动点(不与点N重合)，过点尸分别作直线BM,BC的垂

线，垂足分别为E和尸，以PE,PF为邻边作平行四边形PEQF,若DM=13,CN=5,团PEQF的周长是否为

定值？若是，请求出回PEQ尸的周长；若不是，请说明理由.

(3)如图3,当点尸是等边.△力BC外一点时，过点P分别作直线AB、AC,BC的垂线、垂足分别为点E、D、

F.若PE+PF-PD=3,请直接写出△4BC的面积.

4.(22-23八年级下•山东济南・期末)已知△48C中，48=14C于点跖点Z)在直线BC上，DE148,

垂足为点E,DF1AC,垂足为点尸.

AAA

MM

EF

BDCD

图1图2图3

(1)如图1,点。在边8c上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了DE,DF,

三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是；

(2)如图2,图3,当点。在点8左边或者在点C右边的直线上时，问题(1)中DE,DF,三线段的数量

关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三

线段新的数量关系，并进行证明.

题型09维维亚尼模型

类型点D在4ABC内点D在4ABC外

条件△ABC是等边三角形

图示AE

D

BFC

BCF

G

结论DE-DG+DF=BHDE-DG-DF=HCDE+DF-DG=HC

1.(2023•宁夏银川•二模)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相

等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等

性质解决有关数学问题.在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简

便快捷.

请用等面积法的思想解决下列问题：

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4,则该直角三角形斜边上的高的长为

（2）如图1,反比例函数y=〉0）的图像上有一点尸，PAI无轴于点A,点B在y轴上，贝必P48的面

积为.

（3）如图2,P是边长为a的正△ABC内任意一点，点。为△4BC的中心，设点2到44BC各边距离分别为比，

修七，连接”，BP,CP,由等面积法,易知］（色+h2+七）=S-BC=3SAOAB，可得％+h2+h3=ya；

如图3,若尸是边长为4的正五边形48CDE内任意一点，设点P到五边形4BCDE各边距离分别为上，电，拉3，

h4,h5,参照上面的探索过程，求扭1+九2+九3+%+色的值.（参考数据：tan36°~|,tan54°~|）

（4）如图4,已知。。的半径为1,点A为。。外一点，。4=2,AB切O。于点2,弦BCIIQ4,连接4C,求

图中阴影部分的面积.（结果保留兀）

（5）我国数学家祖唯，提出了一个祖地原理：“累势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所

有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂

直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖），其中曲线ZOC和BOD均是以1为半径的半圆.用

任意平行于帐篷底面A8CD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，且该正方形的面积恰好等于与帐篷

同底等高的正四棱柱中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥后同高度截面的面积（图8中阴影部分的面积）,

因此该帐篷的体积为.（正棱锥的体积U1底面积x高）

2.（23-24八年级上•浙江绍兴.阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称

为“面积法”.已知等边A/IBC,点P是平面上任意一点，设点P至IU4BC边力B、4C边的距离分另IJ为PD、PE,

△ABC的边上的高为ZM.回答以下问题：

（1）如图（1）,若点P在三角形的BC边上，PD、PE、AM存在怎样的数量关系？请给出证明过程.

（2）如图（2）,当点P在△ABC内，已知4M=10,求PD+PE+PF的值.

（3）如图（3）,当点P在AABC外，请直接写出4M与P。、PF、PE的数量关系，不用证明.

1.（24-25八年级上•贵州黔南•期中）如图，已知D,E分别是等边三角形ABC中4B,4C边上的点，且力。=CE,

连接CD,BE,交于点F.请判断NDFB与N2C8之间有怎样的数量关系，并说明理由.

2.（24-25九年级上•湖北•阶段练习）在等边△A8C中，点。，E分别是BC,4B上的动点，且4E=BD,4D交

CE于点F.

图1图2图3

(1)如图1,填空：D,E在运动过程中，4D与CE的数量关系为：；NCFD的度数为

(2)如图2,过C作CP于尸，PF=1；

①求CF之长；

②若乙CEB=75°,求4B之长；

(3)如图3,CPVAD^-P,连接BF,若BF1CF,求证：PF=AF.

第四章三角形

重难点08几何热考题二三角形热考模型

（10种模型汇总+专题训练+10种方法解析）

【题型汇总】

1.（2021九年级•全国•专题练习）如图，AABC^p,"=65。，直线DE交4B于点。，交4C于点E,贝（JNBDE+

MED=().

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【分析】

根据三角形内角和定理求出乙4DE+乙4ED,根据平角的概念计算即可.

【详解】

解：：4力=65°,

•••^ADE+^AED=180°-65°=115°,

•••乙BDE+MED=360°-115°=245°,

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.

2.（2023・陕西西安・西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若

zl=125°,则N2的度数为（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【分析】根据三角形外角的性质可得N3=N1-N4,根据平行线的性质可得N2=Z3.

【详解】解:如图,

D

由题意知44=90。，AB\ICD,

•••41=N4+N3,Z1=125°,

z3=zl-Z4=125°-90°=35°,

•••ABWCD,

z.2-z3=35°.

故选A.

【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的外角等于与它

不相邻的两个内角的和；两直线平行，同位角相等.

3.（2020•四川广安・中考真题）如图,在五边形ABCDE中,若去掉一个30。的角后得到一个六边形BCDEMN,

则/1+N2的度数为（）

ED

--军---、B

A.210°B.110°C.150°D.100°

【答案】A

【分析】根据三角形的内角和定理可得NAMN+NANM=150。，根据平角的定义可得Nl+/AMN=180。，

Z2+ZANM=180°,从而求出结论.

【详解】解：：NA=30。，

/.ZAMN+ZANM=180°-ZA=150°

VZl+ZAMN=180°,Z2+ZANM=180°

.\Zl+Z2=180o+1800-(ZAMN+ZANM)=210°

故选A.

【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键.

4.(2023•广东广州•统考一模)在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得

到的N1与N2的和总是一个定值.则41+42=度.

【分析】由等边三角形的性质可得乙4=60。，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解.

【详解】解：如图，

Z-A=60°,

•・•zl=Z.i4+Z.AED,42=4/+Z-ADE,

+42=乙4+Z,AED+Z.A+乙ADE,

•・•Z.AED++Z,ADE=180°,

Z1+Z2=+180°=60°+180°=240°,

故答案为：240.

【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌

握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

5.（2023・贵州贵阳・统考一模）如图，在四边形纸片中，/。=50。,若沿图中虚线剪去功，则Nl+/2='

【答案】230

【分析】根据三角形的内外角之间的关系可求解.

【详解】解:三角形的内角和等于180。，ZD=5O°,

1.Nl=ND+乙DFE,42=ND+4DEF.

•••乙DEF+乙DFE+NO=180°,

•••Z1+Z2=KDEF+乙DFE+ND+ND=180°+50°=230°.

故答案为：230.

1.如图，在由线段48,。。,。尸,3£以组成的平面图形中，40=28。，则乙4+/8+“+/尸的度数为（）.

B

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】C

【分析】如图标记41/213,然后利用三角形的外角性质得=48+乙/=40+43,乙2=乙4+乙。,

再利用42,43互为邻补角，即可得答案.

【详解】解：如下图标记41/213,

•・•41=+4尸=+N3,

•・•乙D=28°,

z.3=Z-B+Z-F—28°,

又丁z2=乙4+Z.C,

z.2+z.3=Z-A+Z.C+Z-B+Z-F—28°,

•••42+43=180°

180°=NZ+4C++乙产一28°,

.•・+乙9=180°+28°=208°,

故选C.

【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角

的意义是解答此题的关键.

2..（2023临汾市模拟预测）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”,试说明：NA+NB=NC+ND.

(2)如图(2),AP,CP分另!］平分乙BCD,若Z71BC=36。，/.ADC=16°.求NP的度数.

(3)如图(3),直线2P平分NH4D,CP平分NBC。的外角乙BCE,猜想NP与乙8、乙D的数量关系是

(4)如图(4),直线4P平分N8力。的夕卜角NF2D,CP平分ABCD的外角NBCE,猜想4P与NB、ND的数量关

系是.

A

P

图⑴图⑵图⑶

【答案】(1)见解析；

(2)26°；

(3)乙P=90°+|(zB+ZD)；

(4)NP=180°-|(zF+ZD)

【分析】(1)根据三角形的内角和等于180。和对顶角的性质即可得证；

(2)设NB4P=/.PAD=x,乙BCP=乙PCD=y，产:解方程即可得到答案；

」(%+乙P=y+乙ADC

(3)根据直线4P平分NB力D,CP平分NBCD的外角NBCE,得到

4PAB=^PAD=^BAD,乙PCB="CE=沁⑺从而可以得至U180°-2("4B+乙PCB)+ND=出再

根据NP+^PAD=乙PCD+ND,4BAD+NB=4BCD+ND得至1」NP-AB=^PAD+乙PCB=4PAB+APCB

即可求解；

(4)连接PB,PD,求得N4PC+ZABC+乙PCB+^PAB=360°,AAPC+^ADC+乙PCD+4PAD=360°,

再力艮据NPCE+NPCD=180°,APAB+APAF=180°,^FAP=^PAO,Z.PCE=Z.PCB,即可求解.

•••Z.A+Z.B+Z.AOB=180°,Z.C+Z.D+乙COD=180°,

Z-A+Z-B+Z-AOB=Z.C+z-D+(COD.

•・•乙AOB=乙COD,

Z-A+Z-B=Z.C+Z-D；

(2)如图.

B

•••AP,CP分另ij平分4840,(BCD,设NBZP=APAD=%,Z-BCP=匕PCD=y,

则有配归

•'•Z-ABC—Z-P—Z-P—Z-ADC,

・•・4尸=：1^ABC+4ADC)=；1(36°+16°)=26°

(3)如图.

,•・直线4P平分NBA。，CP平分NBCO的外角NBCE,

11

••・/.PAB=Z-PAD=-/-BAD,乙PCB=乙PCE=^cBCE,

22

：.2Z,PAB+=180°-2乙PCB+乙D,

・•・180°-2(乙PAB+乙PCB)+乙D=LB

VZP+乙PAD=乙PCD+ZD,乙BAD+乙8