中考数学专项复习：正多边形拓展运算的4种压轴题型（含答案及解析）

正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略

血

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目录

【典型例题】...................................................................................1

【考点一正多边形中边心距的计算】........................................................1

【考点二正多边形边长的计算】.............................................................2

【考点三正多边形中有关面积的计算】......................................................2

【考点四正多边形应用的拓展提高】.........................................................3

【过关检测】..................................................................................4

尸1

【典型例题】

【考点一正多边形中边心距的计算】

【例题1】如图，正六边形ASCDEF内接于【O,若正六边形的周长是12,则它的边心距为（）

A.2B.V2C.V3D.2A/3

【变式1】如图，正六边形ABCDfF内接于口。，过点。作OML3C于点M,若。的半径为4,则

边心距OM的长为.

AD

【变式2】已知正方形AHDG与正六边形ABCDEF都内接于圆。，若正方形边长为0,则=.

【变式3】如图，正六边形ABCDE/内接于O,O半径为4.

f

⑴求正六边形的边心距.

⑵求正六边形ABCDEF的面积.

【考点二正多边形边长的计算】

【例题2】如图，已知圆的内接正九边形的半径为R,则正九边形的边长为（）

A.2Rsin20°B.27?sin40°C.27?cos20°D.2Acos400

【变式1】如图，正方形ABCD内接于1。、E为BC上一点、,连接BE,CE.若NCBE=15。,BE=5,则正

方形ABCD的边长为.

AB

【变式2】如图.在RSABC中，ZC=9O°,BC=3cm,AC=4cm,。。为Rt4WC的内切圆，切点为D、E、

F,则。。的半径为（）

3

A.gemB.1cmC.—cmD.2cm

2

【变式3】如图，正,ABC外接圆的半径为2,求正二AfiC的边长，边心距，周长和面积.

【考点三正多边形中有关面积的计算】

【例题3】如图，已知在。。中，AB=4g,AF=6,AC是直径，AC1BD于F,图中阴影部分的面积是（)

C.-^-4>/3D.—^-473

33

【变式1】如图，CD为0直径，CQLAB于点尸，于E,AO=lcm,则阴影部分的面积为（）

D.VScm2

【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4,以为直径的半圆交对角线AC于点E,则阴影部分的面积是

)

A.16—2万B.16—71C.8—2万D.8—TC

【变式3】如图，半圆。的直径A8为10,点C、。在圆弧上，连接AC、BD,两弦相交于点E.若CE=BC,

5250525

C.一兀----------D.—71--------

2222

【考点四同底数幕乘除法应用的拓展提高】

【例题4】〃割圆术〃是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法：〃割之弥细，所失弥少，割之

又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣〃，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而

可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积.设圆的半径为R,则由圆内接正十二边形算得的圆周率约

为（）

A.3.14C.3.1D.3.141

【变式1】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，"周三径一"不是圆周率值，实际

上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的

周长就无限逼近圆周长，从而创立"割圆术"，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,

六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中

点，连结BG,C£BG交CF于点p,若CP=百-1,则PG的长为（）

A.0B.V3D-T

【变式2】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，"周三径一"不是圆周率值，实际

上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的

周长就无限逼近圆周长，从而创立"割圆术"，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,

六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点6为8的中

点，连结BG,C£BG交CF于点p,若CP=1二1,则PG的长为（）

2

,\/3—y/2,

2

【变式3】大自然中有许多小动物都是“小数学家"，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学

者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截面为正六边形MCDEF,如图

所示，若边心距OM=gmm,则这个正六边形的面积是

【过关检测】

一.选择题

1.如图，四边形ABCD为。。的内接正四边形,△AEF为。。的内接正三角形，若。F恰好是同圆的一个内

接正n边形的一边，则n的值为（）

A.6B.8C.10D.12

2.如图，点A,B,C在.。上，若BC,AB,AC分别是。内接正三角形.正方形，正〃边形的一边,

A.9B.10C.12D.15

3.如图，AB是O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30。得到AD,此时点C的对应点。落在AB上,

延长8,交:O于点E,若CE=2,则图中阴影部分的而积为（）

。・普

4.如图，等腰三角形OAB的顶角NAO3=90。，O与底边AB相切于点C,并与两腰03分别相交

于。，E两点，连接8,CE.若"4=4,则图中阴影部分的面积为（）

C.2兀—4也D.—^--72

4

二、填空题

5.如果正六边形的边长是1,那么它的边心距是

6.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少.割之又割，

以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"."割圆术"孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率万的

近似值为3.1416.如图，.O的半径为1,运用"割圆术"，以圆内接正六边形面积近似估计。的面积，可得

万的估计值为空，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得I的估计值为

2

7.如图，六边形"CD跖是.。的内接正六边形，记ZXACE的周长为G，正六边形A5CDEF的周长为C”

D

8.如图，。的半径为3,正六边形ABCDEF内接于二O,则正六边形的面积为

9.我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘微的“割圆术"（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周

长就越接近圆周长），他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后

七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年.依据“割圆术"，由圆内接正六边形算得的圆周率的近

似值是.

10.如图，AB,AC,AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若筋=4,有下面三个结

论，①该圆的半径为4；②BC=C£＞；③图中阴影部分的周长为40+4+§,其中正确结论的序号是

11如图，内接正八边形ABCDEFGH,若VADE的面积为12,则正八边形ABCDEFGH的面积为

12.如图，菱形ABCD中/ABC=60。，以点A为圆心，AB长为半径作弧，若BC=2,则图中阴影部分的

面积为.(结果保留兀)

AD

三、解答题

13.如图，在二。的内接正八边形ABCDEFG〃中，AB=2,连接DG.

A____//

T--------------

DE

⑴求证DG〃AB；

⑵DG的长为______.

14.(1)解方程：X2-X-2=0.

1(2)如图，正六边形ABCDE尸内接于O,半径“=4,求边心距OM的长.

"------7

B'------々

15.如图，AB,AC,AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2,

B

AD

(1)弧AC的长为；

(2)连接BC,CD,则ABC与ACD的面积比为.

16.如图，正六边形ABCDEF内接于O.

⑴若P是CO上的动点，连接3尸,小，求/出步的度数;

(2)己知△ADF的面积为2+.

①求NZMF的度数；

②求。的半径.

17.如图，五边形ABCDE是半径为R的圆内接五边形,P为粘的中点.求证：PAPB=R2-

⑴如图1,如果AC=80,求弦AC的长;

(2)如图2,如果E为弦2。的中点，求tan/钻。的值;

(3)连接3C,CD,DA,如果3C是：。的内接正”边形的一边，CD是.。的内接正("+4)边形的一边,

求.ACD的面积.

19.如图1,平行四边形ABCD中，AB1AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以P为圆心，力为半径

的OP与对角线AC交于A，E两点.

(1)如图2,当OP与边CD相切于点F时，求AP的长;

(2)不难发现，当OP与边CD相切时，OP与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，OP

与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取

值范围.

图1

正多边形拓展运算的4种压轴题型全攻略

城S

【考点导航】

【典型例题】..................................................................................

【考点一正多边形中边心距的计算】.......................................................

【考点二正多边形边长的计算】............................................................

【考点三正多边形中有关面积的计算】......................................................

【考点四正多边形应用的拓展提高】........................................................

【过关检测】..................................................................................

户】

【典型例题】

【考点一正多边形中边心距的计算】

【例题1】如图，正六边形ABCDEF内接于【。，若正六边形的周长是12,则它的边心距为（）

,V2C.6D.26

【答案】c

【分析】连接04、0B,过。作0GLAB于点G,根据正六边形的特点得到408=60。，AB=2,进而

ZAOG=-ZAOB=30°

证明nQAB是等边三角形，则。4=AB=2,2,据此可得答案.本题考查的是正多边

形和圆，等边三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，数形结合是解题的关键.

【详解】解：连接04、0B,过。作OGLAB于点G,则/AGO=90。，如图所示,

多边形ABCDEF是正六边形，正六边形的周长是12,

..ZAOB=60°,48=2,

OA=OB,

OR是等边三角形,

ZAOG=-ZAOB=30°

._OA=AB=2,2

=cosZAOG=cos30°

AO

OG=AOcos30°=2x^=6

2

故选：C.

【变式1】如图,正六边形至CD所内接于O,过点。作OMLBC于点/W,若匚。的半径为4,则边心

距的长为.

【答案】2君

【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接O&OC.先证明△03C

是等边三角形，求出BC、BM,再根据勾股定理求出0M.

【详解】解：如图，连接°以℃.

六边形ABCDEF是正六边形,

NBOC=60°,OB=OC=4

...△OBC是等边三角形，

:.BC^OB=OC^4,

1."OMYBC,

:.BM=CM=2,

在RtAOBM中，OM=y)OB2-BM2=742-22=273,

故答案为：2道.

【变式2】已知正方形AHOG与正六边形MCDEF都内接于圆。，若正方形边长为0,则=

C-1

【答案］二-

【分析】连接A。，0E、OF,OG,设°G与即交于点N,根据勾股定理求出

AD=y/AG2+DG2==2OE=OF=OG=OA=-AD=1

，得出2，证明△OAF为等边三角形,

得出ZOAF=60。，AF==1,证明E尸〃AO,得出ZGMN=ZGAD=45°,利用垂径定理得出OG工所,

NF=-EF=-ON=y/OF2-NF2=—

22,根据勾股定理求出2,证明GMN为等腰直角三角形，得出

MN=GN=1~—

2,求出结果即可.

【详解】解：连接A。，OE、OF,OG,设0G与E尸交于点N,如图所示:

四边形AHDG为正方形，

...ZAGD=9Q°,AG=DG,

AD=7AG2+DG2=J（可+（何=2

.••人。为【。的直径,

OE=OF=OG=OA=-AD=1

.­.2,

360°

ZAFE=ZBAF=180°--------=120°

正六边形郎中6

360°

ZAOF=ZEOF=——=60°

6,

.；OF=OA,

・•.AOA尸为等边三角形，

,NOAF=60。，AF=OA=19

...六边形ABCDEF为正六边形，

，EF=AF=lf

,.,ZEFA+ZFAO=180°，

...EF//ADf

,,,NGMN=NGAD=450，

■■AG=DG,AF=DE,

...AG=OG,AF=DE

,.,GF=GE，

NF=-EF=-

...OGLEF,22,

,.•NGNM=ZOMF=90°，

ON=y/OF2-NF2=—

2

GN=OG-ON=1~—

2

.；/GNM=9Q°,ZGMN=45°,

...GMN为等腰直角三角形,

MN=GN=\-立

故答案为:2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，勾股定理，正六边形的性质，等边三角

形的判定和性质，等腰直角的三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判断.

【变式3］如图，正六边形内接于口。，O半径为4.

(1)求正六边形的边心距.

⑵求正六边形ABCDER的面积.⑴求正六边形的边心距.

⑵求正六边形至CDEF的面积.

【答案】(1)正六边形的边心距为2出；

(2产6.

【分析】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的

关键.

(1)连接℃、0D,过点。作CWCD于“，证明△COD等边三角形，利用三角函数即可求解;

(2)根据正六边形ABCDEF的面积=64c“即可求解；

【详解】(1)连接℃、OD,过点。作加工CD于“，则NOHC=/°/TO=90。，

E/_3

六边形ABCDEF是正六边形，

:.NCOD=60°

.-.ZCOH=30°,为等边三角形，

—=cosZCOH=cos30°

,.,OC,CD=OC=4,

.•.圆心O至U8的距离OH=4Xcos30°=2石，

即正六边形的边心距为2道；

=6Srnn=—x4x2^/3x6=24A/3

(2)正六边形ABCDEF的面积-2.

【考点二正多边形边长的计算】

【例题2】如图，已知圆的内接正九边形的半径为R,则正九边形的边长为()

A.2Hsin20,B.27?sin40°C.2Acos200D.27?cos40°

【答案】A

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解

BD=CD=-BC

答此题的关键，过点。作加上3C,则2，根据正多边形求出角度，解直角三角形即可得

到结论.

此多边形是正九边形，

360°

/.ZCOB=——=40°

9,

ZBOD=-ZBOC=20°

2,

在RtABDO中，

BD=OBsinZBOD=Rxsin20°,

.\BC=2BD=2Rsin200

故选：A.

【变式1】如图，正方形ABCD内接于。、E为BC上一点,连接3ECE,若NCBE=15。,BE=5,则正

方形ABCD的边长为.

【分析】连接AO,2O，E°,由圆的性质可得。4=OB=°E,再由圆内接正四边形的性质以及/CBE=15。,

/OBC=45°,进而证得是等边三角形，得到OB=BE=5,根据勾股定理求出AB,即可求解.

【详解】解：连接AO,50,石°,如图:

...正方形ABCD内接于圆0,

,\OA=OB=OE.

360°

ZAOB=——=90°,AB=BC,

4ZABC=90°,

ZOBC=ZABC-AOBA=45°,

•ZCBE=15°,

/./OBE=ZOBC+ZCBE=60°,

。跖是等边三角形,

:.OB=BE=5

:.OA=5,

AB=yJo^+OB2=50,

正方形瓯D的边长为5a,

故答案为：5E.

【点睛】本题考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证得一。旗

是等边三角形.

【变式2】如图.在RtzMBC中，ZC=9O°,BC=3cm,AC=^cm,。。为RtAABC的内切圆，切点为。、E、

F,则。。的半径为（）

A.2cmB.lcmC.2cmD.2cm

【答案】B

【详解】连接OD、OE、OF,

•■•OO为AABC的内切圆，

•••AD=AE,BD=BF,CE=CF,OE1AC,OF1BC,即NOFC=NC)EC=90°,

・2C=90°,

四边形CEOF是矩形，

•.♦OE=OF,

.•・四边形CEOF是正方形，

设O。的半径为rem,贝l|FC=EC=OE=rcm,

在RtZ^ABC中，zACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,

...AB=』AC~+BC~=5cm,

vAD=AE=AC-EC=4-r,BD=BF=BC-FC=3-r,

•1-4-r+3-r=5,

解得r=l,即。0的半径为lcm,

故选B.

【变式3】如图，正.ABC外接圆的半径为2,求正ABC的边长，边心距，周长和面积.

【答案】正AABC的边长为26，边心距为工，周长为66，面积为36

【分析】如图：连接延长A0交BC于D,根据等边三角形性质得出,

BD=CD=-BC,ZOBD=30°

2,进而求得°。；再根据勾股定理求出8。，即可求出BC,进而求得周长和

面积.

【详解】解：如图：连接°旦0A,延长A。交于D,

...正口ABC外接圆是【O,

AD1BC,BD=CD=-BC,ZOBD=-ZABC=1x60°=30°

...222,

OD=OB=—OB=—x2=1

边心距22,

BD2222

由勾股定理得：=^OB-OD=V2-l=V3；

...三角形边长为23。=2g,AD—AO+OD=2+1=3,

r--BC-AD=-x2^x3=3V3

.­.ASC的周长是3BC=3x2代r=6g；AfiC的面积是22

【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识

点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键.

【考点三正多边形中有关面积的计算】

【例题3］如图，已知在。0中，AB=4g，AF=6,AC是直径，AC1BD于F,图中阴影部分的面积是（）

-7T-2y[3—7T-2yj3-^--4^3—^--473

A.3B.3C.3D.3

【答案】D

【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4>/3,连接OB、OD、BC,先求得NABC=90。，进而根据射影定理求得

FC=2,从而求得直径的长，根据余弦函数求得NBAF=30。,进而得出NBOD=120。,最后根据S阴影=S扇形-SZ\BOD

即可求得阴影的面积.

【详解】解：「AC是直径,AC1BD于F,

.-.BF=DF,BC=DC,

•••ZBAC=ZDAC,

在RTAABF中，BF=^AB2-AF2=2百

...BD=2BF=45

连接OB、OD、BC,

vAC是直径,

.■•ZABC=90°,

.­•BF2=AF«FC,即（2后）2=6FC,

•••FC=2,

二直径AC=AF+FC=6+2=8,

•••OO的半径为4,

vAB=4^3,AF=6,

6

cosZBAF=---

AB4A/3-2

.-.ZBAF=30°,

.-.ZBAD=60°,

.-.ZBOD=120°,

vOC=4,FC=2,

/.0F=2,

-兴氏2号一班

.s阴影二s扇形一S,

故选择：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积、及直角三角函数和勾股定理等知识，难度适中.

【变式1】如图，CD为0直径，。。，45于点尸，AOJ_BC于E,AO^lcm,则阴影部分的面积为（）

【答案】A

【分析】连接0B,由垂径定理可得NAOD=NBOD,利用等量代换求出NC的度数，进而求出OF、AF、AB的

长度，根据S阴影=S扇形人。8-54人。8计算即可.

【详解】连接0B,

•••CD1AB,CD为直径，

；.AF=BF,AD=BDI

/.ZAOD=ZBOD,

vZAOD=ZCOE,

.,.Z.BOD=ZCOE,

vZB0D=2ZC,

.,.ZC0E=2ZC,

vAOlBC,

.-.ZOEC=90°,

.-.ZCOE=60°,

.-.ZAOF=60°,

.-.ZOAF=30°,ZAOB=120°,

•••OF=2cm,AF=2cm,

.■•AB=^cm,

120;rxl2IJ£73

••.S阴影=S扇形AOB-Sz^AOB=360-2xV3x2=(3-4)cm2.

故选A.

【点睛】本题主要考查垂径定理以及圆周角定理，求不规则图形的面积一般采用割补法.

【变式2】如图，正方形ABCD的边长为4,以BC为直径的半圆交对角线AC于点E,则阴影部分的面积是

A.16-2万B.16—71C.8—27rD.8-7T

【答案】D

【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用三角形筋。的面积减去扇形0防的面积即可得出结果.

【详解】解一•正方形ABCD,边长为%

,AB=BC=4,ZABC=90°,ZACB=45°

•・•以5c为直径的半圆交对角线AC于点E,

OE=OC=OB=LBC=2

2

・/CEO=45。

...ZEOC=90°,

.ZBOE=90°

1/90万-2o

・•・阴影部分的面积一S枷"彩BOE=—x4x44-------x2=8一%

2360

故选：D.

【变式3】如图，半圆。的直径A8为10,点C、。在圆弧上，连接AC、BD,两弦相交于点E.若CE=BC,

则阴影部分面积为（）

C.L*525

D.—71-----

2222

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接°D、OC,根据CE=BC,

得出/£>3C=/C£B=45°,得出“OC=90°,根据S阴影=S扇形一5口。火即可求得.

【详解】连接°。、℃,

C

AB

A3是直径，

ZACB=90°t

•:CE=BC,

:.ZDBC=ZCEB=45°,

•••OC的度数为90°,

ZDOC=90°,

ac_90^X521<-2525

•.S阴影=S扇形ODC=—^-------X5x5=—7T-—

故选：B.

【考点四同底数幕乘除法应用的拓展提高】

【例题4】"割圆术"是我国魏晋时期的数学家刘徽首创的计算圆周率的方法："割之弥细，所失弥少，割之

又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即随着边数增加，圆内接正多边形逐步逼近圆，进而

可以用圆内接正多边形的面积近似表示圆的面积.设圆的半径为R,则由圆内接正十二边形算得的圆周率

D.3.141

【答案】B

【分析】过点A作求出帅C的面积，再表示出正十二边形的面积，最后根据可以用圆内接正

多边形的面积近似表示圆的面积即可求解.

【详解】解：如图，A2是正十二边形的一条边，点c是正十二边形的中心,

过点A作

NACB=^^=30°

则12AC=BC=R,

:.AD=-AC=-R

22,

111R2

:.S,=—AD-BC=—又一RxR=—

aAABRCr2224

2

R2,

12S,BC=12x—=37?

正十二边形的面积为4

:圆的面积为兀叱，

3R2=TIR2

【点睛】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.

【变式1】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，"周三径一"不是圆周率值，实际

上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的

周长就无限逼近圆周长，从而创立"割圆术"，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,

六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为的中

点，连结8G,CRBG交CP于点P,若CP=6-1,则尸G的长为（）

【答案】A

【分析】设正六边形MCD£尸的外接圆的圆心为0,连接。A、OB、0G、0D,则NCO/=180。，所以

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

心。在CP上，由点6为8的中点，得2，可求得/GCP=75。，由BOC是

等边三角形，得/℃8=60°,则/CBG=15。，所以/GPC=NGCP=75。，则PG=CG,作P/LCF交BC

于点I,则/P/C=30°,所以/3B=/CBG=15。，则C/=2G-2,8/=P/=3-追，于是得CO=3C=^+1,

CPCG______

再利用CGPsCOG,得CG-CO,则尸G=CG=J"C0,即可求得答案.

【详解】解：如图，设正六边形的外接圆的圆心为0,连接。4、OB、OG、0D.

ZA0F=ZA0B=ZB0C=NC0D=-x360°=60°

6

/CGP=-xNBOC=30°

.../CO产=3x60°=180°,2

二圆心在CF上,

...点G为CD的中点，

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

.2

.：OC=OG,

■:OB=OC,N3OC=60°,

80c是等边三角形.

,.,ZOCB=60°，

ZCBG=-ZCOG=15°

.•.2,

,.•Z.GPC=ZOCB+ZCBG=75°=Z.GCP，

,.,PG=CG，

作尸/,CF交5c于点i,贝ij/CP/=90°,

...ZP/C=90°-60°=30°,

..CP=V3-1,

.C/=2CP=2x（百—l）=2g—2

...ZIPB=ZPIC-ZCBG=15°=ZCBG,

BI=PI=^CI2-CP2=J（2CP）2-CP2=V3CP=^X（V3-1）=3-V3

ACO=BC=2A/3-2+3-V3=V3+1

...ZCGP=ZCOGf/PCG=NGPO,

CP_CG

.CGPsCOG.'CG~~CO

••f••，

PG=CG=y/CPCO=百+1）=V2

故选:A.

【点睛】本题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的

直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题

的关键.

【变式2】我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，"周三径一"不是圆周率值，实际

上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的

周长就无限逼近圆周长，从而创立"割圆术"，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法.如图2,

六边形尸是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点G为。的中

点，连结8G,CRBG交C尸于点P,若二1,则PG的长为（）

【答案】B

【分析】设正六边形MCD跖的外接圆的圆心为0,连接。4、OB、0G、0D,则/C0口=3x60。=180。，

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

所以圆心0在W上，由点G为CD的中点，得2,可求得NGCP=75。，由

NCBG=-ZCOG=15°

BOC是等边三角形,得NOCB=60。，则2，所以NGPC=/GCP=75。，则PG=CG,

作PIJ_CF交BC于点则ZP/C=30°,所以ZIPB=NCBG=15。,则

CO=BC=^^-CPCG

CI=2CP=若一1,BI=PI=y[3CP=

2,于是得2,再证明：CGPsCOG,得CGCO,

PG=CG=y/CPCO=—

则2,于是得到问题的答案.

【详解】解：如图2,设正六边形至CD跖的外接圆的圆心为0,连接。4、OB、OG、OD,

(ffl2)

ZAOF=ZAOB=ZBOC=ZCOD=-x360°=60°

6

ZCOF=3x60°=180°,ZCGP=-ZBOC=30°

••・圆心O在cv上,

•・,点G为CO的中点，

ZCOG=NDOG=-ZCOD=30°

2,

QOC=OG,

ZGCP=ZOGC=|x(180°-30°)=75°

；OB=OC,ZBOC=60°

•••BOC是等边三角形，

ZOCB=60°

■■ZCBG=-ZCOG=15°

2

:.Z.GPC=NOCB+Z.CBG=75°=NGCP,

\PG=CG,

作P/J_CF交BC于点i,则/CP/=90。，

ZPIC=90°-60°=30。,CP=

2,

ZIPB=ZPIC-NCBG=15。=NCBG,CI=2CP=2x-——=g-1

2,

BI=PI=VCZ2-CP2=«2CP)2-CP?=6cp=&

,rnRrA1+3-V36+1

22,

•;ZCGP=/COG,ZPCG=ZGPO

.・.CGPsCOG,

CPCG

：.CG=cd,

D「rrImmly/3—l~~A/3+10

PG=CG=7CP•CO=J-------x--------=——

,.•V222，

故选：B.

【点睛】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中3。°角所对的

直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题

的关键.

【变式3】大自然中有许多小动物都是“小数学家"，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学

者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF,如图

所示，若边心距0河=石mm,则这个正六边形的面积是mm2.

【答案】6也

【分析】连接08,℃,证明BOC为等边三角形，得出03=3C=℃,根据勾股定理求出

=（石）SBOC=—BCOM=—x2x73=

（2）,得出30=2,求出22V,得出六边形的面积

即可.

【详解】解：连接08,℃,如图所示:

•••六边形MCD跖是正六边形,

0B=0C,

・•.50c为等边三角形,

,.,0B=BC=0C，

BM=MC=-BC/BOM=-/BOC=30°

f22

BM=-BO

2.

222

根据勾股定理得：BO-BM=OMt

解得：30=2,负值舍去,

...BC=BO=2mm,

2

S.]B0C=|BC-OM=1x2xV3=V3（mm）

q66mm之

•2六边形ABCDE尸=6sB0C=

故答案为：6G.

【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解答本题

的关键是明确正六边形的特点.

【过关检测】

1.如图，四边形ABCD为的内接正四边形，AAEF为。。的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内

接正n边形的一边，则n的值为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】连接AC，°n°b,先根据圆内接正多边形的性质可得点。在AC上，且AC是NR4D和/EA歹的

ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°

角平分线，从而可得22,再根据角的和差可得/04尸=15。，然

后根据圆周角定理可得产=2/加=30。，最后根据正多边形的性质即可得.

【详解】解：如图，连接ACOROJ

...四边形ABC。为。的内接正四边形，△出为1°的内接正三角形,

.•.点0在AC上，且AC是/BAD和/胡尸的角平分线，ZBAD=90°,ZEAF=60°；

ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°

22,

ZDAF=ZCAD-ZCAF=15°,

:.ZDOF=2ZDAF=30°,

。/恰好是圆。的一个内接正〃边形的一边,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键.

2.如图，点A,B,C在。上，若BC,AB,AC分别是：。内接正三角形.正方形，正“边形的一边,

A.9B.10C.12D.15

【答案】C

360。

【分析】分别连接OB、OA、OC,根据正多边形的中心角=丁，可分别求得NBOC、NAOB的度数，从而可

360。

得NAOC的度数，再根据正多边形的中心角=”,可求得边数n.

【详解】分别连接OB、OA、OC,如图所示

•••8C是1°内接正三角形的一边

.•.NBOC=3

同理，可得：ZAOB=90°

••.ZAOC=Z.BOC-ZAOB=30°

...AC是：。正〃边形的一边

亚=3。。

n

.，•n=12

故选：C.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=«,掌握这一知识是解决本题的关键.

3.如图，AB是。的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30。得到AD,此时点C的对应点。落在4B上,

延长CD,交：O于点、E,若CE=2,则图中阴影部分的而积为（）

【答案】C

【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的计算，连接°E、

℃、BC,推出△EOC是等腰直角三角形，再由$阴影=$扇形。EC-S^EC,进行计算即可得出答案，熟练掌

握扇形面积的计算公式是解此题的关键.

【详解】解：如图，连接°E、℃、BC,

由旋