重庆某中学2025届高三一诊模拟考试数学试卷（含答案）

重庆育才中学高2025届高三（上）一诊模拟考试

数学试题

（本试卷共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号.

2、选择题必须使用2B铅笔填涂，非洗择颗必须使用0.5mm黑色签字笔答题.

3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题

无效.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1,已知集合,则满足N=|1,2,3,4的集合A/的个数是（）

A.1B.7C.8D.16

2.下列函数中，既是奇函数又在区间（”,0）上单调递减的是（）

A.r=x1B.y=|.xj

C.y=ln（-x）D.y=2'-2'

3.已知平面向量Z=|I.-215=（4,-3），且口£+可1£,则的值为（）

2

A.-2B.——C.2D.6

4.已知圆。：1+/_6工一2.1，+8=0的一条直径的两个端点分别是18，则它们到直线/rH

的距离之和为（）

A.3陋B.47rC.66D.86

5.已知直线I=。与双曲线C•匚-匚=lio>0b>01的两条渐近线围成的三角形面积为4,则双曲线的

a'b:

焦距的最小值为（）

A.2B.2y/1C.4D.4>/T

第1页/共5页

6.如图，现有一块半径为10m的半圆形草坪，圆心记为0,.40是圆。的一条直径，现计划在草坪内修建一

条步道]-8-C-D,8和C在弧4。上（不与人。重合）AB=CD则步道长的最大值为（）

A.25mB.30mC.20cmD.15+6缶

7.在平面直角坐标系xO.r中，1,（）（,曲线,=sinx与圆v-+厂=I在第一象限交于点A,设扇形。48的

面积为，则下列说法正确的是（）

兀C兀r兀Cn

A.——<S<—B.—<S<—

24161612

ITc兀兀c兀

C.—<S<-D.-<S<-

12886

8.对于数列q,：,若存在某三项41n,4,%（〃]<〃<p）成等差数列，则称它们是；《二的一个三元等差子数

列.现已知数列；@八中，fl,=1,0.=2x3--2-（〃22],则：*的三元等差子数列的个数是（

）

A.0B.1C.2D.无数

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据=1,2.“I，另一组样本数据工=ax.♦例">0|Ii=1,2...川，下列说法正确

的是（）

A.若样本数据，.7:的极差为R,则样本数据上（，=1,2，…,〃）的极差为加

B.若样本数据其〃=1,2，…,”的方差为广，则样本数据工什=1,2，…,”的方差为

C.若样本数据v|/=l,2…n\的中位数为M，则样本数据r.|/=l,2…,〃I的中位数为fl.W+h

D.若样本数据v,|/=l,2…〃I的平均值为v,则样本数据r,|/=1.2…,”的平均值为ax-b

10.已知函数/(x)的定义域为(X.0iu|0.trI./I,yv|=/'(x)+/(r|-I,且当x>1时，/]x)>I,

则()

A./(1)=1

第2页/共5页

B.是偶函数

c/(；)+/(；)+川)+八2)+/(3)=3

D.不等式〃2)+/(x)</(x+l)+l的解集为(-；,0卜(0,1)

11.平面直角坐标系中，设点川-1,0),8(1,0),动点P满足陷|+|尸8|=归/卜仍用，设点尸的轨迹为C，

则()

A.曲线C是轴对称图形，也是中心对称图形

B.I/^I•|/J/?|>4

C.曲线C与圆t-厂=16有公共点

D.42<|/<4|<2>72

第n卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为*Mu<卜，且.，.卜=22,侧面与下底面所成的二面角大小为

45-若四棱台的体积则。的最大值为.

14.已知，48('中，，48=65/5',/。8=/力6。=30"/分别是线段八.8(,上的点，且」£=2，

BF=L'为EF的中点，贝1Jtan/NBA=.

四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P.4BCD中，底面.4BCO是等腰梯形，,4。〃BC.PA1底面

ABCD.PA=tfC=4,4B=2,NABC=60.

第3页/共5页

(1)证明：.481PC；

(2)求二面角.』PCD的正弦值.

16.近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，

会等可能地开出3款玩偶(分别记为A款、8款、C款)中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒

玩偶且售价为3元/个.

(1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个A款玩偶的概率；

(2)若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒方式购买，并与

老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出A款

玩偶，老板就赠送一个A款玩偶给他.为了得到A款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请

说明理由.

17.已知.48C的三边u所对的角分别为48.030亩(/+8|=50M(.4B].

⑴若求tanC取值范围；

(2)若(二二acos8+/)cosJS=2，求4BC的面积.

18.已知函数f(x)=Rnx(入>0),g(x)=亨(a>0,x>0)，曲线y=f(x)与y=g(x)有公共

点，且在该点处的切线相同.

(1)用工表示a,并求a的最小值；

(2)求证：当.1>o时，/(、12g(x|；

(3)已知川=\山，若方程力(有两个不等实根r：,证明：A,,V(<w•1

19.已知〃个不同的椭圆£：:./+3/>O,i=l,2，…,用，射线(：y=4x(x20)与昂£,

“」，分别交于点4,4，一、4,射线与£pJ…分别交于点4，区，….8..

第4页/共5页

(1)证明：”4区；

(2)作射线/:.r=h(xNO|(异于/")与居,仆….E,,分别交于点月记/川上的面积为

S,(i=1,2,…，川.

(i)求当、的值；

I«31

(ii)若I二IJ,--4，且卬=二〃=1.2...〃卜记S=ZS'证明：S<—.

Ii=i42

(参考数据：4.5<vrr<4.6)

第5页/共5页

重庆育才中学高2025届高三（上）一诊模拟考试

数学试题

（本试卷共150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号.

2、选择题必须使用2B铅笔填涂，非洗择颗必须使用0.5mm黑色签字笔答题.

3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题

无效.

4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回.

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1,已知集合,则满足N-M=U，2,3,4的集合A/的个数是（）

A.1B.7C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的并集得出GMG[1,2,3,4｝，进而得出集合M的个数即可.

【详解】因为集合N=；1,2,3；且NuM=；1,2,3,41,

所以⑶匚“U123,4；,

则集合A/为：，

所以集合M的个数是8个.

故选：C.

2.下列函数中，既是奇函数又在区间（-凡0）上单调递减的是（）

A.）-=,r!B.

C.y=ln（-x）D.>-=2*-2*

【答案】D

第1页/共23页

【解析】

【分析】A选项，不满足单调性，BC选项，不满足奇偶性；D选项满足奇偶性和单调性，得到答案.

【详解】A选项，「=J在小上单调递增，不合要求，A错误；

B选项，定义域为R,且/(-X)=卜川=卜|，故J=N不是奇函数，B错误；

C选项，令7>(),解得1<。，故丁=ln|的定义域为(—人0),则j=ln|x)不是奇函数，C错误;

D选项，，g(x|=2'-2'的定义域为R,且g(-x)=2'-2-'=-(27-21=-g(x|，

故g(x|=2'，2'为奇函数，且「一2'在R上单调递减，尸=2‘在R上单调递增，

故.「-2'-2'在R上单调递减，则.1-2’一2’在「8,0「上单调递减，满足要求，D正确.

故选：D.

3.已知平面向量2=(1.2)万=(4,-3),且口£+可二，则/.的值为()

2

A.—2B.——C.2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得;17+人£=(),利用向量的数量积的坐标表示可求得;.的值.

【详解】因为(乂+可1G,所以(白+叶Z=o,所以筋\3=0，

又因为《=(L-2)1=(4,一3),所以；♦10二0，解得Z=-2.

故选：A.

4.已知圆C：Y+.F_6K_2.F+8=0的一条直径的两个端点分别是乩8,则它们到直线-J一〕

的距离之和为()

A.38B.4x/TC.66D.8a

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心C到直线的距离，再借助梯形中位线性质求得答案.

【详解】圆。：(、一3)2+(卜一1尸=2的圆心,

过LC.6分别作直线的垂线，垂足分别为r.c'./r,

第2页/共23页

圆心（.到直线4='I的距离为|CC'卜回芳批=45/1,

由C是线段,18的中点，乩4'//CCMBM，

故选：D.

5.已知直线I=6与双曲线C：L-匚=]">0力>0'，的两条渐近线围成的三角形面积为4,则双曲线的

4rb

焦距的最小值为（）

A.2B.2aC.4D.4y/2

【答案】D

【解析】

【分析】求出双曲线的两条渐近线方程，借助三角形面积求出口,/）的关系，再利用基本不等式求出最小值.

【详解】双曲线c•二-工=1渐近线方程为I土妙=。，由r="，解得一=土”,

a2h2[hx±ay=O[y=/>

因此直线I=「与双曲线C的两条渐近线的交点为（7J）,（0,6）,

直线「二”与双曲线C的两条渐近线围成的三角形面积•力=4,则"=4,

2

双曲线C的焦距2c=2^ci'4h:>2J2ah=45/2，当且仅当u=h时取等号，

所以双曲线C的焦距的最小值为46.

故选：D

6.如图，现有一块半径为10m的半圆形草坪，圆心记为0,40是圆。的一条直径，现计划在草坪内修建一

条步道4-8-C-D,8和。在弧,40上（不与工。重合）.IB=CD,则步道长的最大值为（）

第3页/共23页

A.25mB.30mC.2。后D.15+156nl

【答案】B

【解析】

【分析】作出辅助线，设NCO。=8，0<0<-,表达出CN二DN二10§in上，（,1/=BM=lOcosfl，

22

/石、2

化简求出/6+CD+5C=-40（sing-；］+30，结合0<64］，得到最大值.

【详解】取8JCD的中点M不，连接0”,0\,08.0C，

则OM±fiC,o.v±CD，

因为A8=CD，所以=/DOC=乙aOB，

因为OB=OC,所以N0C8=ZOBC，

因为/DOC+N.4O8+/8OC=/OC8+NO8C+/8OC=x，

所以/OC8=/O8C=NDOC=//O8，

故.48CD，故。”±AD，

设/CO0=8，O<0<-,则/DON=NCON=2，ACOM=--6>

222

故CN=0N=IO$ing，CM=BM=10sin|y-0j=lOcosO,

^LAB+CD+BC=20sin—+20sin—+20cos9=40sin—+2ofl-2sin2—

22212）

oo（oiy

=-40sin2—+40sin—+20=-40sin-------+30，

22I22）

因为0<84P，所以0<2勺¥,0<sin-<>

22422

第4页/共23页

故当sin2=，，即e=¥时，T0（sin，一1丫+30取得最大值，最大值为30,

223{22）

故步道长的最大值为30m

7.在平面直角坐标系工。>中，8（1,0）,曲线J=sinr与圆「+厂=|在第一象限交于点A，设扇形048的

面积为，则下列说法正确的是（）

兀c兀兀cn

A.——<S<—B.——<S<—

24161612

7T7T—兀c兀

C.—<S<—D.—<S<—

12886

【答案】C

【解析】

【分析】令/（x）=sinx--r（0<x<—）,可得r=sin,r在J-r的下方，设直线「=（与圆「+/=|交于

点C，从而可得S<P,设点。（口,1）,设00与单位圆交于点.，可得S>Sr,可得结论.

8、2，则jtjoo.w12

【详解】令/（x）=sinx-x（0<》<；），求导得门【）=cosx-I<0，

所以所以<I，所以「二sin.r在J=I的下方，

设直线J:工与圆v：+厂:I交于点C，直线的倾斜角为石，弧长1B二Nxl二四，

444

则扇形。48的面积S<=-x—x1=—,

248

设点。（：，I），y=sin.v（0<.v<勺在直线00的上方，直线0。的斜率为三>巫，

22n3

所以00的倾斜角大于三，设00与单位圆交于点“，sK„„>lx-xi=2L,

6G龙。8"2612

又扇形0.48的面积S>=—.

故选：c.

8.对于数列aj,若存在某三项牝|，4，%（小〈〃<.）成等差数列，则称它们是：《二的一个三元等差子数

第5页/共23页

歹U.现已知数歹中，%1=2x3--21〃之2],则；q；的三元等差子数列的个数是(

)

A.0B.1C.2D.无数

【答案】A

【解析】

【分析】由已知，求出数列|““：的通项公式，若存在某三项41n,4,%(，”<〃<p)成等差数列，由

a.+4Nq=3"“-2””+1和=2x3"-2"”，得见,+q>2%，所以数列｛q｝的三元等差子

数列的个数是0.

【详解】因为数歹!J：q：中，％=1,%=2x3-2"

则%=4+(%“』+&%)+...+(%-%)

=I+(2X3-2|+(2X32-22)+-+(2X3*'1-2-')

=1+2(3+32+•••+3"-')-(2+2:+-+2-')

3(1-3-')2(1-2-')

=l+2x_l-----L__1-----1=3'-2"(〃N2)，

1-31-2

又4=|满足上式，所以勺=3"-2",

若存某三项(m<〃<p)成等差数列，

则一方面，…=|3-2)+(3“-2-1=3八-2'+1,

另一方面，2%=2(3"-2"j=2x3"-2"，,

显然—>2。,,，

所以数列|«二中不存在三元等差子数列.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用累加法求出数列：q：的通项公式是求解问题的关键.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知一组样本数据门i=1,2，…,〃|,另一组样本数据上=。「加a>0"i=l,2…下列说法正确

第6页/共23页

的是（）

A.若样本数据，：的极差为R,则样本数据=1,2…〃）的极差为加

B.若样本数据工（，=1,2，…,的方差为则样本数据工|，=1,2，…,n\的方差为八：

C.若样本数据工"=1,2…川的中位数为“，则样本数据］=1,2，…,〃|的中位数为a"+b

D.若样本数据.v,|/=l,2…,//I的平均值为x,则样本数据M〃=12，…,〃I的平均值为af・h

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，设最大值为工,，最小值为工，占-Q=R，根据F=ax+/）|a>（"在R上单调递增得

到样本数据上（，=1,2，…,山的极差为,次；B选项，根据方差的性质得到B错误；C选项，根据

r=ax+h\a>（））的单调性得到C正确；D选项，由平均数的性质得到D正确.

【详解】A选项，设样本数据=，…,〃1中，最大值为X,,最小值为

则\\-X,=R,

由于】=axb\a>0|在R上单调递增，

故样本数据J1，=1.2〃|中，最大值为Ini-b,最小值为।-；।r+卜，

故）\y.=axK4hax,b=a\x;|=a/?,

则样本数据.1,2，…,n\的极差为,火，A正确；

B选项，根据方差的性质，样本数据y|j=l,2，…,〃i的方差为0：.『，B错误；

C选项，由于）,=ax+/>（a>0）在R上单调递增,

样本数据\（/=1,2，…,〃）与相对应的上（，=1.2，…,〃|从小到大排列的顺序不变，

则样本数据］2…〃|的中位数为u”+h，C正确；

D选项，由平均数的性质可知，样本数据y{i=1,2，…,川的平均值为/>,D正确.

故选：ACD

10.已知函数/5）的定义域为（-8,0）30,+8）,/5，）=/K）+〃田-1，且当x>l时，f{x}>\，

第7页/共23页

则()

A-/111=1

B.是偶函数

c./(；)+/(；)+*[+”2)+川)=3

D.不等式/(2)+/(x)</(x+l)+l的解集为(-g,0u(O,l|

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，赋值法得到=kB选项，令r=「=-I得〃-1)=1,再令尸-1得

f(-X)=/(.VbB正确；C选项，令AW得/(；)+/(4=2,从而

/(；)+/⑶=/(；)+〃2)=2,求出/(；)+/(；)+/口+/|2)+〃3)=5；D选项，定义法得

到〃在(0,+<»)上单调递增,变形得到

/P，r)</|x+l|=>/(|2x|)</(|x+l|).所以|2x|<|x+l],两边平方，结合函数定义域，求出解集

【详解】A选项，/(=/(1)+/")1中，令x=j=l得

./'(II=2/|li1,解得〃11=1,A正确；

B选项，的定义域为(x,OiUlO,-Fxj,关于原点对称，

又/IvvI=/(.vi+/(yI•1中，令JT=「=-I得

II,又〃1|=1,故/(1|=1,

/(XV)=/(x)+/()•)-1+>令y=-I得==,

故/(x)是偶函数，B正确;

C选项，/(、),)=〃x)+/(,)T中，令得

第8页/共23页

川)=/3+/]卜，即/3+咽=2,

所以/(；)+〃3)=/(；)+〃2)=2,

故/(1+/(；)+/⑴+/I2+.3)=5,

又/⑴=1,c错误;

D选项，任取为,与w(0,+8],Y[<Y,

/(AT)=/(.\)+/(.F)1中，令工=.卬I=上得

X|

=〃$)+/隹]—1,即/(制一/㈤=/(%]—1,

<Xl)IX|/

因为,Ww<0,+工I,L<丫，所以”>1,

x\

/\

又x>l时,r(x)>b故/Z-l>o,

UJ

故/($)</(xJ,在(O,+<»)上单调递增，

/(2)+/(x)</(x+l)+l=>/(2)+/(x)-l</(x+l)

=>/(2x|</|x+l|=>/(|2x|)<+.

所以|2\<x+1，两边平方得$/<「+?x+1，

解得一,<x<l,又xwO，

3

故解集为j-1,0u(0,l|,D正确.

故选：ABD

11.平面直角坐标系中，设点.4(-1,0),8(1,0)，动点P满足|P4|+|P8|=|/MPB，设点p的轨迹为C，

则()

A.曲线。是轴对称图形，也是中心对称图形

B.\PA\+\PB\>4

第9页/共23页

C.曲线C与圆「-rIh有公共点

D.y/2<\PA\<2+y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A：根据题意结合几何性质分析判断即可；对于D：根据题意结合|P$-|P8<48=2运

算求解即可；对于B：根据题意结合对勾函数单调性运算求解即可；对于C：假设成立，根据

|P/『+|P8『=2（|「0『+|0厂）解得|尸/|+|?6|=屈±1,进而得出矛盾.

【详解】因为川-1,0）,8（1,0|,可知0（o,o）为线段AB的中点，

又动点?满足/川+|尸8|=|尸/卜俨川，则可得|PA|>1-

四|=晶>0

对于选项A：设动点「关于y轴对称的点为P,则俨川=/汹”到=山山，

可得出川+出8|=PtA\PtB，所以曲线C关于y轴对称;

设动点尸关于原点对称的点为P：,可知尸为平行四边形,

网=/4可得艮川+内用=归4|代用，所以曲线c关于原点对称;

综上所述：曲线（’是轴对称图形，也是中心对称图形，故A正确；

对于选项D：因为P$-|P8<AB\=2,

即伊力一/"r'2,解得应《|户山42+JI,故D正确；

对于选项B：因|F+|P8|=|P/|+合+=（俨/|-1）+由「>+2,

令r=[拒-1,VF+l],则|P4|+|PB|=r+l+2,

第10页/共23页

由对勾函数可知（|=/+1+2在[Jf-lj]内单调递减，在（I,JJ+1]内单调递增，

且/（1）=4,/（6-1）=/（"+1）=2+28，可得/（“"4.2+2C]，

所以|P/|+|P8|£[4,2+28],故B正确；

对于选项C：因为石，+而2=（所+方『+（而一刀/=2（而，+万

即|P/『+|P8『=2（|P01+|0厂），

若曲线C与圆、-厂;16有公共点，则仍。|=4,

可得|P"+|P8『=2伊0『+|0硝=34,则（附|+则/-2附卜网=34，

又因为|P/|+俨训=归/卜仍用，

可得（|P川+|P8『-2（附|+|P8|）=34，解得俨H+|P8|=屈±1，

注意到附|+|「同6[4,2+26],且2+2逝＜屈一1＜屈+1，

可知|?才|+|尸6|=屈±1均不符合题意，

所以曲线C与圆t-「二16没有公共点，故C错误；

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：对于选项BD：根据几何性质归山-|P8＜482解出的取值范围，再结合对

勾函数单调性求|“/为|的范围，进而解决问题.

第II卷

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数二=-1—,贝。|二=__________.

1+i11

【答案】^##1x/2

22

【解析】

【分析】利用复数除法法则得到二=L-L,利用复数模长公式求出答案.

77

第11页/共23页

故答案为邛

13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为“小川〈h,且d+厂=22，侧面与下底面所成的二面角大小为

45>若四棱台的体积J7>1，则。的最大值为.

【答案】2

【解析】

【分析】先设正四棱台，再根据二面角的平面角的大小计算出高OG=PT=i,然后利用台体体积公

2

式结合/+犷=22化简求解即可.

【详解】设正四棱台为,43CD—44G。，

如下图，延长棱台母线交于点，过作SG1平面.48CD于G,交平面」B1于0,连接S,G与A2

中点RSF交儿用于尸

因为侧面与下底面所成的二面角大小为45,所以』SFG=45".

过p作户TiFG于T，则FT=〜，所以。G=P7="m,

22

„I/,.,,\b-ab}-o'

=才。一+V+ab)x——=---，

JL0

又因为o'+b'=22

所以匕…=22~2a->1,所以u<2，则”的最大值为2.

故答案为：2•

14.已知.48。中，48=66,/。48=/48。=30',£,厂分别是线段，4('.8('上的点，且」£=2,

第12页/共23页

BF=4..V为EF的中点，则tan/N/M=

【解析】

(八.

【分析】先根据已知条件建系再应用边长关系得出-；-，：，进而得出正切值

(221

即可.

【详解】

4

在ABC中，AB=66*NCAB=ZABC=30,则40=BO=3®NOCB=ZACO=60-JO

AC=BC=6,

分别以18,0C为T.J,轴建系，

因为=2..4C=6,8F=i.8C=6.V为EF的中点，

所以E(-2VJ,1"(VI,2),N--，

所以lan/NB/=

故答案为：避

7

四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P-18C0中，底面.48C0是等腰梯形，,4。//BC,PA,底面

IBCD.PA=5(=4,AB=2,^ABC=60

第13页/共23页

（1）证明：.481PC；

（2）求二面角.』PCD的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵晅

19

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可求得H'=利用勾股定理的逆定理可得/8.4C=90-可证JS1AC

,由题意可证Pd,IB，可证,48i平面，可证结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得平面PC。的一个法向量］又可得刀;（2,0、0）为平面

PAC的一个法向量，利用向量法可求二面角』PCD的正弦值.

【小问1详解】

因为PX1底面.48CD，48底面.48。。，所以PX一48，

又,48=2.448C=60.8C=4，

由余弦定理可得=48?+8C，-2/B・BC・cos//BC=4+16-2x2x4x1=12,

2

所以4C=24,所以1（.：•48：=，12=16=8L，所以/84C=9（T，

所以.461JC,又P41,1C-.1,PJ.JCc平面P.4C，

所以彳81平面广」（、，又PCu平面P.4C，所以.481PC；

【小问2详解】

以A为坐标原点，48JC,.■!P所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

第14页/共23页

二

因为.4。〃8C，Z.4BC=60'"所以/8/D=120，所以一C.1D=3Q'，

因为底面dBCD是等腰梯形，所以j」DC=12(T，所以一KD=3(l

所以=CD=8C=2，

则4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2瓜0),P(0,0,4),。(一1,6,0)，

所以»=(0,0,4),X=(0,2>/3,0),CD=(-1,-AO),CT=(0,-2>/J,4)，

设平面PCD的法向量为G：(,t,r,-)>

nr[wCD=-x-V3v=0人.，ll

则，___,令r=2,则<=-?5>2—,

/rP=-2V3y+4z=O

所以平面PC。的一个法向量为7=(-26.2、JJ)，

又481平面P4C，所以而=(2,0.0)为平面P4C的一个法向量,

彳展斤_-4。2x/57

所以cosAB,n=

|jfi||w|-2xVl2+4+319

因为04而，万，兀，所以sin,4反”=

所以二面角」PC。的正弦值为闹.

19

16.近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，

会等可能地开出3款玩偶(分别记为A款、8款、C款)中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒

玩偶且售价为3元/个.

(1)若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个A款玩偶的概率；

第15页/共23页

（2）若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与

老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出A款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出A款

玩偶，老板就赠送一个A款玩偶给他.为了得到A款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请

说明理由.

【答案】（1）—

27

（2）去甲家商店购买更划算，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）首先设至少开出2个僦玩偶为事件£,结合独立重复事件概率公式，即可求解概率；

（2）根据方案二的结果求分布列及再根据方案一平均花费为元，即可比较判断.

【小问1详解】

设至少开出2个A款玩偶为事件E

【小问2详解】

方案一：直接去乙商店购买花费3元；

方案二：设X表示开盲盒的次数，即花费为丫=工，

故X的所有可能取值为1，2,3,4,

P(X=4)=P(Y=4)=信)xl=5P(x=3)=P(y=3)=径]=*

(2121

p[x=2)=p(r=2)=l、pix=i|=p(y=i)=1,

方案二平均花费为上＜3元，方案一平均花费为元，故小明应该选择去甲家商店购买更划算.

27

第16页/共23页

17.已知的三边u.k所对的角分别为人民C,3sin(4+6)=5sin(4-8).

(1)若8求tanC的取值范围;

(2)若=acosfi+/»co、4./>—2,求.48('的面积.

【答案】(1)tanC

⑵巫

10

【解析】

【分析】(1)利用两角和与差的正弦公式化简为sinAcos/J=4cosAsinB，整理得tanJ=4tan,所以

tanC=51anB,换元后得(un。〃八=二_,最后利用函数单调性即可求解；

4tanfi-1'4厂-I

(2)余弦定理代入=oco$8+frcosJ中得c=1，由sin,4co$8二4co$/sin8与

c'=acosB+6cosJ=I可以计算出cosA=—，进而得sinA=-——，最后代入S郎=—Acsin.1即可

10102

【小问1详解】

因为3§in(4+B)=5sin(4一8),所以3§in4co§8+3co$.4§in8=5§in/co§8・5co§/$in8，

则sinAcosB=4cosAsinB，即tanJ=4tanfl，

ABB

tanC=tan[-(J+S)J=-tan|J+51tan+tan5tan

I-tanAtanB4tan:fl-1

H/6^,1时，.r=4jy=」均为增函数，所以入⑺在为增函数,

所以，?卜川/)<大(1),即冬入(r)<3，

第17页/共23页

所以即tanC.你5闾

3

【小问2详解】

因为C：=0COS0+ftcosX'

由cos3=上士Q,cosA=力+U代入整理有：

2ac2bc

2tr+L-6,b+c-a*2c,

-ax———+ftx--=---二cnc二1，

lac2bc2c

所以r=«cos8+bcos/=l，

因为sinAcos£=4cosAsinB，力二2，

由正弦定理有：acosB=46cosA=8cosA,

代入c*=tfcosfi*frcos.1=1^:10C0sJ=1，得cos/I=—»

因为0<4<IT,所以sin/=Jl-coy4=Jl=土叵,

Vlioj10

所以c111)i3而3而

所以S=-ftcsinJ=­x2x1x-----=-----.

山221010

所以48C的面积为：力叵.

10

18.已知函数/(x)=Ahr(，>0|,g[x)=~—(a>0,x>0|,曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点，

且在该点处的切线相同.

(1)用A表示a,并求。的最小值；

(2)求证:当x>0时，〃“2g(x|；

(3)已知川x)=xliu，若方程力(x|="I有两个不等实根T1.一，证明：V,-A,<W-I.

【答案】(1)1(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据公共点处切线相同可得利用导数可求。的最小值；

第18页/共23页

(2)利用同构即证e」2x,结合导数可证该不等式成立;

(3)结合(2)可得0<玉4，〃+1.0<壬1，从而可得不等式成立.

【小问1详解】

f\-vl=--=

XX

AInx0=----

设公共点的横坐标为x.，贝/A°，故；llng=l-;l，

A_aA

XoV

故0=入广其中」设叩i)=Ae