中考数学一轮复习重难点强化训练：相似三角形（知识串讲+13大考点）解析版

专题06相似三角形

考点1：比例的性质

模块四图形的性质

06讲相似三角形

’知识一遍过

（一）图形相似的性质

⑴相似多边形对应边的比叫做相似比.

（2）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形.

（3）相似多边形的性质为:

①对应角相等;

②对应边的比相等.

（4）如果两个多边形的对应角相笠，对应边的比相等,则这两个多边形是相似多边形

（二）平行线平分线段成比例

（1）比例线段在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即m那么这四条线段a,

b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

（2）比例的基本性质

①基本性质：-=-<^>ad=bc；（b>d#0）

bd

②合比性质：三=5=竽=岑；（b、*0）

bdbd

③等比性质：-==k（b+d+...+nr0）o”且二i"=k.（b>d、...、nrO）

bdnb+d+--+n-

（3）平行线分线段成比例定理及推论

①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

即如图所示，若l3〃l4〃h，则”

②平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

即如图所示，若AB〃CD,则空=

③平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

如图所示，若DE〃BC,贝lUADEs/XABC.

（4）黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果芯==t—=0.618,那么线段AB被点C黄金

ADZ

分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.

।--------------------------1------------------1

ACB

（三）相似三角形的判定

〜»

.x\小

相似三角形的判定

."T山

如图

判定1:两个三角形对应边成比例，则这两个三角形

相似•.•丝=江=空；.•.AABCSAA，"

A'B'A!CB'C

判定2：两个三角形有两个角对应相等，则这两个三如图

角形相似：ZA=ZA'ZB=ZB'；AABCsM'B'C

如图

判定3：两个三角形有两边成比例，及其夹角相等，

AHAT

则这两个三角形相似・・・——=——；ZA=ZA'；・•・AA5csAA'5'C

A'B'A'C

（四）相似三角形的性质

如图：两个三角形相似，则有对应边成比例

..L

•_AC_BC_

AABCsAWC'；R

/\'AB'~A'C~B'C'~

如图；两个三角形相似，则有对应角相等

,ZAABCsAA，8C.

ZA=NA'ZB=ZB'ZC=ZC

如图：两个三角形相似，则有对应边上中线的比等于

相似比

―一―，八…AMABAC,

4小；；

•?AABCsAA\BC♦------=------=-------=k

A'M'A'B'A'C

BMC6，C,

A如图：两个三角形相似，则有对应边上高线的比等于

/

相似比

\AAABCsM^B'C；Z,飞凶==k

HHC*/rH*<**AH'AB'A'C

如图：两个三角形相似，则有对应角的角平分线的比

等于相似比

,AOABAC

■DCJJ*TVf

"AD'~~A'B'~~AC'~~"

如图：两个三角形相似，则两个三角形周长的比等于

相似比

A:AABCsAA，B，C.

\/J\

.C.BC__—C_卜

"CZMVI,DR,cr,A'D'~A'B'~A!C'~

如图：两个三角形相似，则两个三角形面积的比等于

相似比

.-\J.3

\/\•••AABC^AAB'C；

\._A.

@-AHxBC

",•.,n2

•-•-AA3C—_________—_VJx.

SAA，B，C‘-A'H'XB'C

2

（五）常见的相似模型

模型一：A字模型

A4A

E1X?11

2ZZ\Ezxi

BCBCBc

△ABCs“DE△ABCS^ACD

△ABCs/\4DE

ADAB=AEACAC2=ADAB

模型二：8字模型

模型三：子母模型（射影定理）

模型四：一线三等角模型

模型五：手拉手模型（旋转模型）

旋转相似，成对出现

△ABCsLADEo下=—'NBAD=NCAE=AABD^AACE

(六)相似三角形的应用举例

(1)测量物体的高度.①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似

三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等"的原理解决.②测量方法：在同一时刻测量出

参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度.

(2)测量物体宽度(测量距离).①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造"A"型或"X"

型相似图，三点应在一条直线上.必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形.②测

A.1B.±1C.1或一2D.2

【答案】C

【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键.分两种情况进行讨论：①当a+b+c#0时,

根据等比性质计算得出结果；②当a+6+c=0时，则a+b=-c,代入k=W计算得出结果.

【详解】解：分两种情况:

①当a+b+c力0时，得k==1；

②当a+b+c=0时，

贝!Ja+b=—c,k==—2；

综上所述，%的值为1或-2.

故选：C.

【变式1]（2024上,北京石景山•九年级统考期末）若3久=4y（y丰0）,贝拉的值是（）

3477

----

A.4B.34D.3

【答案】B

【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质.

【详解】ffl3x=4y（y丰0）,

回设x=4k,y=3k（k力0）,

膻=竺=±,

y3k3

故选：B.

【变式2]（2023上,甘肃酒泉•九年级统考期中）如果:那么牛等于（）.

b3b

A.3:2B.2:5C.5:3D.3:5

【答案】C

【分析】由蓝=|可得a=|b，然后再代入誓计算即可；掌握比和除法的关系以及分式的约分是解题的关键.

【详解】解:哼=|,

2

团a=一b,7

3

故选C.

【变式31（2023上•江西抚州•九年级江西省抚州市第一中学校考期中）已知正数且三=—==

b+cc+aa+b

k,则下列四个点中在正比例函数丫=依图象上的点的坐标是（）

A.（1,0B.（1,2）C.D.（1,-1）

【答案】A

【分析】本题考查比例的性质，正比例函数的性质等知识，解题的关键是求出k的，学会利用待定系数法,

解决问题.

根据公=高=缶=匕可得a+b=*b+c=*a+c=*相加可得2(a+b+c)=*a+6+c),由

此可求出k的值，将k代入函数丫=依可确定此函数解析式，将选项中的坐标一一代入函数解析式中进行验

证即可.

【详解】解：0-^--=。、b、C为正数，

b+cc+aa+b

团a+b=-,b+c=—,a+c=一,

kkk

上式连加得2(a+b+c)=[(a+b+c),

解得k=I，

将k=|代入y=kx有y=|x,

A、把x=1代入y=(x中可得y=|xl=1,所以点(1彳)在正比例函数y=质图象上，故此选项符合题意；

B、把x=1代入y=1%中可得y=|xl=|^2,所以点(1,2)不在正比例函数y=kx图象上，故此选项不符

合题意；

C、把x=1代入y=(x中可得y=：x1=(#所以点(1,一习不在正比例函数丫=kx图象上，故此选项

不符合题意；

D、把x=1代入y=1x中可得y=]x1=/H-1,所以点(1,-1)不在正比例函数y=kx图象上，故此选项

不符合题意；

故选：A.

考点2：线段的比

典例2：(2023上,浙江绍兴•九年级统考期末)已知点P是线段4B的黄金分割点，AP>PB,贝ij4P:PB的值为

()

A.—B.—C.0.618D.V5-1

22

【答案】B

【分析】根据黄金分割比求出AP,PB计算即可；

【详解】四点P是线段2B的黄金分割点，AP>PB,

那=旦，

AB2

令AB=x,

“PV5-1Vs+l

回一=F=---

PB3-V52

故答案选B.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键.

【变式1](2023上•四川•九年级校考阶段练习)△ABC中，F是AC的中点，D、E三等分BC、BF与AD、AE分

别交于P、Q,贝!)BP:PQ:QF=().

A.5:3:2B.3:2:1C.4:3:1D.4:3:2

【答案】A

【分析】过尸作FN〃BC,交4E于M,AD于N,利用F为AC中点，得到FM是△4EC中位线，由中位线性质有

MF=-CE,CE=2FM,从辅助线FM//BC看出△PMQElZk86、得丝=也，由中位线FN//BC看△FNPI3A

2BQBE

BDP,的詈=篝，通过计算BP=(BF,FQ=|SF,PQ=PF-QF=.三者作比即可.

【详解】过F作FN〃BC,交1于M,AD于N,

回产为4C中点，13尸M是A4EC中位线,

I3MF=-CE,CE=2FM,

2

团=DE=CE,

ME=2CE=4FM,

0FM“BC,

[?]△FMQ^BEQ,

「FQFM1

(E~-==~f

BQBE4

EIFN是AaDC的中位线，

B1FN-CD=CE=BE

2

0FNI]BC,

I3AF/VPSABDP,

「BPBDy

0—=—=1,

PFFN

国BP=PF,

春,，

BQ4

型二，

BF5

MQ=^1BF,

0BP=|BF,FQ=^BF,

团PQ=PF-QF=：1BF-1：BF3==BF,

国BP:PQ:QF=QBF):(^BF):QBF)=5:3:2.

故选择：A.

【点睛】本题考查一直线上三条线段的比值问题，掌握比例线段的性质，利用平行线辅助线构成相似三角

形作媒介找到三条线段之间的关系是解决问题的关键.

【变式2］（2023•河北唐山・统考一模）如图，在平行四边形ABCD中,E为CD上一点，DEI3EC=2I33,连接

AE、BD,且AE、BD交于点F,则DFEIBF等于（）

DE「

AB

A.2团5B.2团3C.3回5D.3团2

【答案】A

【分析】利用平行四边形的性质可得出ABE1CD且AB=CD,结合DEI3EC=2I33可得出案=|,由ABEICD可得

出小DEF八BAF,再利用相似三角形的性质即可求出DFI3BF的值.

【详解】解：回四边形ABCD为平行四边形，

0ABECD,且AB=CD.

0DE0EC=2［33,

「回D一E=--D-E--=_2=——DE.

DCDE+EC5BA

团AB回CD,

0ADEFBAF,

^DFDE2

F?U--=——=_

BFBA5,

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：

3找出DE：BA的值是解题的关键.

【变式3］（2023上•九年级校考单元测试）把一个矩形剪去一个尽可能大的正方形，若剩下的矩形与原矩形

相似，那么原矩形的长与宽（宽<长<2宽）的比为（）

A.（1+V5）:2B.（1+V3）:2C.（1+V2）:2D.（1+巡）:2

【答案】A

【分析】根据相似多边形对应边的比等于相似比，设出黄金矩形的长和宽，就可得到关于长宽的方程，从

而可以解得.

【详解】设原矩形的长为x,宽为y（y<%<2y）,由题意，得三=上,整理,得/一町一y2=0,解得乂=亨y,

yxy,

因为x>0,

所以刀=萼>，即］=萼.

故选A.

【点睛】此题考查黄金分割，解题关键在于根据相似比列出方程.

考点3：成比例线段

典例3：（2023上•吉林长春•九年级校考阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.a=l,b=2,c=4,d=6B.a=4,b=6,c=6,d=8

C.a=5,b=6,c=7,d=10D.a=1,b=V2,c=V3,d=V6

【答案】D

【分析】根据成比例线段的定义逐项判断即可.

【详解】解：A、由;力士可知这一组线段不成比例，所以A不符合题意；

26

B、由J73可知这一组线段不成比例.所以B不符合题意；

86

C、由;可知这一组线段不成比例.所以C不符合题意；

610

D、专=母=得=手由，可知这一组线段成比例.所以D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了成比例线段的判断，理解定义是解题的关键，即如果四条线段a,b,c,d满足1=J,

bd

那么这四条线段称为比例线段.

【变式1](2023上•广东佛山•九年级校考阶段练习)下列各组中的四条线段a,b,c,d是成比例线段的是

()

A.a=1,b=1,c=1,d=5B.a=1,b=V2,c=2V2,d=8

C.a=2,b=V5,c=2V3,d=D.a=y[2,b=3,c=2,d=8

【答案】C

【分析】根据成比例线段的定义进行计算，逐一判断即可解答.

【详解】解：晤=；=1，7=P

b1d5

卑吟，故A不符合题意；

同a1V2c2V2V2

叱=五=3,石===7'

卑行，故B不符合题意；

a_2_2V5c_2V3_2V5

叱=西=可，1=屋=可，

卑=5,故C符合题意；

膻=也，£=』，

b3d84

卑地，故D不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键.

【变式2］（2022上•九年级单元测试）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,6cmB.2cm,3cm,4cm,5cm

C.lcm,2cm,3cm,4cmD.3cm,4cm,6cm,9cm

【答案】A

【分析】根据四条线段成比例的定义逐项判断即可.若四条线段a,b,c,d成比例，贝（或a：b=c：d或

bd

ad=bc）,是有顺序的，位置不能随意颠倒.

【详解】解：A>2X6=3X4,

•••四条线段成比例，故符合题意；

B、2X54X3,

•••四条线段不成比例，故不符合题意；

C、T1x4大2x3,

•••四条线段不成比例，故不符合题意；

D、3X974x6,

•••四条线段不成比例，故不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题考查了比例线段，验证第一条线段与第四条线段的长度乘积是否等于中间两条线段的长度乘

积是解题的关键.特别注意，成比例线段是有顺序关系的.

【变式3］（2023上•四川成都•九年级四川省成都列五中学校考阶段练习）下面四条线段成比例的是（）

A.a=1,b=2,c=3,d=4B.a=3,b=6,c=9,d=18

C.a—1,b=V3,c=2,d=V6D.a=1,b—2,c=4,d—6

【答案】B

【分析】根据四条线段成比例的特点可知外项之积等于内项之积，从而可以解答本题.

【详解】A：回1x422x3,回四条线段不成比例；

B、03x18=6x9,回四条线段成比例；

C、01XV6*V3X2,回四条线段不成比例；

D01x6*2x4,回四条线段不成比例；

故选：B.

【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是明确成比例线段的特点.

考点4：平行线平分线段成比例

典例4：（2023上•江苏南通•九年级校考阶段练习）如图，3|引％若45=3,BC=2,则等于（）

Er

N

c

A-1

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

是解题的关键.

直接利用平行线分线段成比例定理列出比例式即可解答.

【详解】解：叫I。%，

喘若，

BAB=3,BC=2,

故选B.

【变式1］（2023上•山西长治•九年级统考期中）如图，AB||CD||EF,直线"，"与这三条平行线分别交于

点A,C,尸和点B,D,E.若黑=|，则与的值为（）

【答案】D

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键.根据平行

线分线段成比例定理可得受=第=；,由此即可得.

CFDE3

【详解】解："AB||CD||EF,ff=|,

DE3

AC_BD_2

CF~DE~3

AC_2

AF~5

故选：D.

【变式2】（2023•全国•九年级专题练习）如图，直线/这/2团乐直线AC,。尸分别交"，物〃于点A，B,C

和点。，E,F,连接AR作2G0AE若丝=1BG=9,则AB的长为（）

EF3

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【详解】回直线网2砾，啮=篝=|,喘=平=（

EIBG0AF,肆竺=①，即竺=三，0AF=

BGCB93

【变式3］（2023上•河北邯郸•九年级校联考期中）如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个〃X〃，与

横格线交于4B,C,D,。五点，若线段=4cm,则线段CD=（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【答案】C

【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点。作0E14B于点E,延长EO交CD于点F,根据平行线分线段

成比例可得罢=当，代入计算即可解答.掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键.

【详解】解：如图，过点。作。E12B于点E,延长E。交CD于点尸,

0Z4EO=90°,

团作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等,

ONDF。=AAEO=90°,

EIOF1CD,

ABOEnr-t42

01—=—,即一=-

CDOFCD3

解得：CD=6,

经检验，CD=6是原方程的解且符合题意,

0C£)=6(cm)

考点5：相似三角形的判定一一证明题

典例5：（2022上,全国・九年级专题练习）已知：如图，在AABC中，AB=6,AC=8,。、E分另（J在AB、AC

上，BD=2,CE=5.求证：△ZEDSAABC.

【分析】本题考查相似三角形的判定，理解并熟练运用相似三角形的判定方法是解题关键.根据题意可求

出祭=笫且其夹角相等即可证明△4ED-4BC.

【详解】EL4B=6,BD=2,

^AD=4,

团4c=8,CE=5,

24E=3,

0"—E=3-=1a—o=4-=1-

AB62AC82

团NEzW=Z.BAC,

0AAEDABC.

【变式1】（2024上•陕西西安•九年级统考期末）如图，在四边形力BCD中，NBA。=90。，对角线AC1BC,

过点。作DE14C于点E.

⑴求证：△ABCsADAE；

(2)若tan/B力C=|,AC=4,DE=3,求CD的长.

【答案】⑴见解析

⑵当

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质

是解题的关键.

(1)根余角的性质得NB2C=/.ADE,再由乙4cB=Z.AED=90°,即可得出结论；

(2)先根据等角的正切值相等求出4E,进而求出CE,然后利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：回4比4。=90°,DE1AC,

^BAC+^DAE=90°,^ADE+^DAE=90°,

^\Z-BAC=Z.ADE,

又乙4cB=^AED=90°,

[HAABC〜匕DAE；

(2)解：[EtanZ^C=I，ABAC=AADE,

回tanZJlOE=tanZ-BAC=

2

t-fAE1口口_AE1

DE232

^\AE=

2

固4c=4,

田CE=AC-AE=~,

2

0C£>=yJCE2+DE2=

2

【变式2](2023上•江苏南京•九年级南京外国语学校仙林分校校考期末)如图，在△ABC中，点。、E分别

在力B、AC上，且NBCE+NBDE=180°.

⑴求证：AADEMACB；

(2)连接BE、CD,求证：AAEBfADC.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，牢记性质及判定是解题关键，

(1)根据NBCE+乙BDE=180°,Z.ADE+Z.BDE=180°,可得NBCE=/.ADE,进一步可证△ADE-AXCB；

(2)根据MAEsA4CB,Pi^AD-.AE=AC-.AB,根据NE4B=N/MC即可得证;

【详解】(1)证明：SZ.BCE+/.BDE=180°,/.ADE+^BDE180°,

团乙BCE=Z.ADE,

^1Z.DAE=Z.CAB,

ISAADEACB；

(2)证明：[?]△ADE~XACB,

^AD\AE=AC:AB,

又团乙£\48=Z.DAC,

[?]△AEB-LADC.

【变式3](2023上•广东深圳•九年级深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)如图，四边形2BCD是菱形,

点G是BC延长线上一点，连接2G,分别交BD、CD于点E、F,连接CE.

⑴求证：/-DAE=乙DCE；

（2）求证：4ECF-4EGC.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（]）根据菱形的性质可得=DC,^ADE=乙CDE,然后证明△4DE三△CDE（SAS）即可得出结论；

（2）根据平行线的性质可得4DAE=4G,结合（1）中结论可得NDCE=NG,然后根据相似三角形的判定

定理得出结论.

【详解】（1）证明：国四边形4BCD是菱形，

国DA=DC,Z,ADE=乙CDE,

又即E=DE,

0AADE=△COE（SAS）,

^DAE=Z.DCE；

（2）团四边形ZBCO是菱形，

^ADWBC,

国乙DAE=Z.G,

由（1）得上DAE=乙DCE,

^\Z-DCE=zG,

又回ZFEC=Z.CEG,

[HAECFs△EGC.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌

握相关判定定理和性质定理是解题的关键.

考点6：相似三角形的判定一一添加条件

典例6：（2023上•全国•九年级专题练习）如图，已知41=42,那么添加一个条件后，仍不能判定AABC与

△2DE相似的是（）

B

AA.NCc=〃EDB.ZB=ZDCC,A-B=-BCD,-AB=-AC

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的

比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三

角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；逐一判断即可求解，掌握相似

三角形的判定方法是解题的关键.

【详解】解：团乙1=42,

^\Z-DAE=Z.BAC,

A、当=根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似"，能判定4人⑶0与4

ADE相似，故该选项不合题意；

B、当乙B=£D,根据“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”，能判定AaBC与AADE

相似，故该选项不合题意；

C、当哼=装，不能判定AABC与AADE相似，故该选项符合题意；

ADDE

D、当*=笠，根据"如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似"，能判

ADAE

定AABC与A4DE相似，故该选项不合题意；

故选：C.

【变式1］（2023上•江苏徐州•九年级校考阶段练习）如图，下列条件中不能判定AACDsAABC的是（）

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定方法依次判断即可.

本题主要考查了相似三角形的判定，相似三角形的判定方法有："两角对应相等，两三角形相似"，"两边对

应成比例且夹角相等，两三角形相似"，"三边对应成比例，两三角形相似"，熟练掌握相似三角形的判定方

法是解题的关键.

【详解】A、由图知Aac。和AABC中，乙4=乙4,要使两三角形相似应该满足*=故A选项不能判定

ACAD

^ACD-AABC,符合题意；

B、由图知△4CD和AABC中，乙4=乙4,若乙4DC=4ACB,根据“两角对应相等，两三角形相似"可得△ACD“

△4BC,故B选项能判定△4CDSAABC,不符合题意；

C、由图知△〃£）和△力BC中，/,A=/.A,若乙4CD=N8,根据“两角对应相等，两三角形相似"可得△4C0〜

△ABC,故C选项能判定AACDsAABC,不符合题意；

D、由图知和AABC中，”=乙4,^AC2=AD-AB,则若=竿，根据"两边对应成比例且夹角相

ACAD

等，两三角形相似"可得Aac。sAaBC,故D选项能判定△4C£>SA4BC,不符合题意.

故选：A

【变式2］（2023上•北京延庆・九年级统考期中）如图，点E是ATIBC的边4B上一点，要使得AACE与A4BC

相似，添加一个条件，不正确的是（

A.Z.ACE=乙BB.Z.AEC=Z.ACB

AC_AErACCE

D.—=—

"AB-ACABBC

【答案】D

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.

【详解】解：若NACE=NB,乙4=乙4,则△ACEsAABC,故选项A不合题意;

若乙4EC=N4CB,乙4=乙4,则△aCE-AABC,故选项B不合题意；

若有=条乙4=乙4,贝必/CEsdBC,故选项C不合题意;

若有=黑，不能证明△/3一△ZBC,故选项D符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键.

【变式31（2022上,湖南株洲•九年级校考期中）如图，已知Nl=42,添加下列条件后，仍无法判定△ABC-A

ADE的是()

ABAD「ABBC

AA.——=—B.乙B=乙DC.Z.C=Z-AEDD.—=—

ACAEADDE

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两

个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可.

【详解】解回41=42,

EINDAE=Z-BAC,

若祭=寮乙DAE=LBAC,对应边成比例，夹角相等,

EIAABC-AADE,故A不符合题意;

若=Z.BAC,乙B=Z.D,

0AABCs&ADE,故B不符合题意;

若z_C=Z.AED,Z.DAE=Z.BAC,

^ABC-LADE,故C不符合题意;

/.DAE=/.BAC,对应边成比例，不是对应边的夹角,

0—AD=—DE,

团无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意;

故选：D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，熟记知识点是解题关键.

考点7：相似三角形的性质一一求解

典例7：（2023上•天津和平•九年级统考期末）如图，在A/IBC中，DE\\BC,EF\\AB,若四边形BDEF

DB2

的面积为16,则△>!£>《的面积是（）

BF

A.4B.—C.2D.—

75

【答案】A

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可得答案，解题的关键是熟

练掌握三角形的面积比等于相似比的平方，

【详解】喘=；,

UD2.

0"—0=-1,—BD=2

AB3AB3

WEWBC.EFWAB,

ADESRABC,△CEFCAB,四边形BDEF为平行四边形，

团BD=EF,

蕾"DE=，"丫=71X2=1S^EFC==/££\2=/2\2=4

S：；；c\3/9,SxABC\i4B7\3/9’

设S—DE=k,则S^EFC=4k,SAABC=9k,

团四边形BDEF的面积为轨=16,解得：k=4,

团SfDE=4,

故选：A.

【变式11（2023上•四川成都•九年级成都七中校考阶段练习）如图，在团4BCD中，点E在DC边上，连接AE交

BD于点F,若DE:EC=2:1,则△的面积与△DEF的面积之比为（）

A.1:4B.4:9C.9:4D.2:3

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，利用平行线判定乩结合

48:DE=3:2计算选择即可.

【详解［00XBCD,

团4B=CD,AB||CD,

0AABFEDF,

0^凶变=伴Y，

S^EDF\DEJ

唠=2,

2_2

1+2-3

9

4，

【变式2］（2023上•安徽安庆,九年级统考期中）将一张三角形彩纸ABC按如图所示的方式折叠，使点B落

在边4C上，记为点F,折痕为已知4B=AC=6,BC=8,若以点C,D,尸为顶点的三角形与△力8C相

似，贝UBD的长是（）

【答案】D

【分析】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，先根据折叠性质得到BD=DF,设8D=x,

则CO=8-x,两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到BO的长，找到

边长之间的关系是解题的关键.

【详解】解：回AABC沿DE折叠，B和尸重叠，

WD=DF,

设BD=DF=x,

0BC=8,

EICZ）=8—久，

当AFDC5A4BC时，

FD_DC

AB-BC'

国4B=AC=6,

解得：£=

即BD=—；

7

当ADCF-AABC,

DC_DF

AB~AC'

团48=AC=6,

解得：%=4,

即BO=4；

当△CFO〜△ZBC时，同理可得=4,

故BD=m或4，

故选：D.

【变式3］（2023上,福建泉州•九年级统考期中）如图，在△ABC中，D,E分另U是ZB,AC的中点，BE,CD相

交于点。，则下列四个结论中，错误的是（）

cOE1

B.—=一

OB2

△4QE的周长_1△4QE的面积_1

△4BC的周长-2四边形BCED的面积—4

【答案】D

【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，根据相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比,

面积比为相似比的平方，逐一判断即可.

【详解】解：：D,E分别是AB,4C的中点,

11

DEWBC,AD=BD=^AB,AE=CE=-AC,

ADE^△ABC,△ODE^AOCB,

?1D_/IE_DE_1

AB~AC~BC~2

...吟=等=器=工，故选项A、B正确，不符合题意;

OCOBBC2

・•・丝空陪故选项c正确，不符合题意；

△ABC的周长2

DE1

•••△/WE〜△ABC,S—=—--=一,

BC2

.SAADE_1

,,~——~,

ShABC4

••・四边形BCED的面积为S“BC-SMDE，

设SAADE=k,贝！JS-BC=4k,

四边形BCED的面积为S-BC-SAADE=3k,

赢鬻乐/故选项D错误，符合题意;

・・・△4DE的周长为：AD+DE+AE,△4BC的周长为：AB^-BC+AC,

△4DE的周长_1(4B+BC+4C)

I，故选项C正确，不符合题意;

△/BC的周长—AB+BC+AC

故选：D.

考点8：相似三角形的性质一一坐标

典例8：(2022上•河南三门峡•九年级统考期末)如图，在直角坐标系xOy中，4(-4,0),B(0,2),连接AB

并延长到点C,连接C。，若4COB"CAO,则点C的坐标为.

【答案】G，|)

【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=(x+2,从而可设点C的坐标为C(aJa+2),过点C

作CD1x轴于点D,从而可得。D=a,CD=|«+2,再根据正切的定义可得tan/OZB=%然后根据相似三

角形的性质可得NBOC=N04C,=ZO71C,最后在RtACOD中，利用正切三角函数建立方

程，解方程求出a的值，由此即可得出答案.

【详解】解：设直线2B的解析式为y=kx+b,

将点4(—4,0),B(0,2)代入得：厂气+b；0,解得卜=|,

则直线4B的解析式为y=|x+2,

设点C的坐标为C(a*a+2),

如图，过点C作CD，支轴于点。，

则。£>=a,CD=]a+2,CD||OB,

•••Z.BOC=Z-OCD,

•・・4(—4,0),B(0,2),

OA=4,OB=2,

・•・tanZ.OAB

OA2

•・,△COBCAO,

•••Z.BOC=Z-OAC,

Z.OCD=Z.OAC9

i

•••tanZ.OC£)=tanZ-OAC=一，

2

在RtAC。。中，tanzOCD=%=J-=工,

CD1+22

解得a=p

经检验，a=(是所列分式方程的解，

贝咛a+2="：+2=g,

所以点C的坐标为仪需），

故答案为：©［）.

【点睛】本题考查了一次函数、相似三角形的性质、正切等知识点，熟练掌握相似三角形的性质和待定系

数法是解题关键.

【变式1］（2023•黑龙江大庆•统考一模）如图，已知矩形045。与矩形尸瓦）0是位似图形，尸是位似中心,

若点A的坐标为（0,6）,点E的坐标为（2,3）,则点8的坐标为.

【答案】（—4,6）

【分析】根据位似图形的概念得到。&/0P,OD//BC,AB//0P,根据相似三角形性质求出3C,进而求出

点B的坐标.

【详解】解：回点A的坐标为（0,6）,点石的坐标为（2,3）,

0O£）=3,AD=3fDE=2,

团矩形O48C与矩形是位似图形，尸是位似中心，

团OE//0尸，OD//BC,AB//OP,

她ZXDO,

^\OP=AB=OC,

中DEIIOP,

配L4£>£0她OH

胖="，即三=工,

OPAOOP2

解得，。尸二%

⑦OD//BC,

团回尸0。回团尸C5,

PO31

团有。一。=——,即Rn——=-

BCPCBC2

解得，BC=6,

团点B的坐标为（一4,6）,

故答案为：(—4,6).

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、

对应边平行仰角相似三角形的性质是解题的关键.

【变式2](2023•江苏苏州•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点4B的坐标分别为(-4,0)、(0,4),

点C(3,n)在第一象限内，连接AC、BC.已知=2NC4。，则n=.

【分析】过点C作C£0y轴，交y轴于点D,则